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参考文献与图片来源

延伸阅读 Euler, Leonhard. Lettres à une princesse d’Allemagne sur divers sujets de physique et de philosophie. Saint Petersburg, 1768–1772。第 102 至 108 封信用圆讨论三段论。 Venn, John. On the diagrammatic and mechanical representation of propositions and reasonings. The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine, 10, 1880, 第 1–18 页。 Peirce, Charles S. Collected Papers, vol. 4. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1933。关于图与图式推理。 Clagett, Marshall (ed.). Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions. Madison: University of Wisconsin Press, 1968。 Playfair, William. The Commercial and Political Atlas. London, 1786。 Tufte, Edward R. The Visual Display of Quantitative Information. Cheshire: Graphics Press, 1983。 Huff, Darrell. How to Lie with Statistics. New York: W. W. Norton, 1954。 Cleveland, William S. The Elements of Graphing Data. Monterey: Wadsworth, 1985。 Argand, Jean-Robert. Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques. Paris, 1806。 Nahin, Paul J. An Imaginary Tale: The Story of √−1. Princeton: Princeton University Press, 1998。 Nelsen, Roger B. Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking. Washington: Mathematical Association of America, 1993。 Abbott, Edwin A. Flatland: A Romance of Many Dimensions. London: Seeley, 1884。 Garland, Ken. Mr Beck’s Underground Map. Harrow Weald: Capital Transport, 1994。 图片来源 图片 来源 许可 普莱费尔的英国与非洲进出口图(1786) Wikimedia Commons 公有领域 约翰·斯诺的霍乱地图(1854) Wikimedia Commons 公有领域 弗洛伦斯·南丁格尔的死亡原因图(1858) Wikimedia Commons 公有领域 查尔斯·米纳德的俄国战役图(1869) Wikimedia Commons 公有领域 阿尔冈文章的扉页(1806) Wikimedia Commons 公有领域 1652 年的柯尼斯堡,梅里安后人的版画 Wikimedia Commons 公有领域 《平面国》扉页,1885 年美国版 Wikimedia Commons 公有领域 平面国房屋的平面图,艾勃特绘 Wikimedia Commons 公有领域 欧拉圆、奥雷姆的纬度和阶梯求和的示意图是为本书制作的,图中没有文字,因此适用于四种语言。交互图形(图表的刻度、阿尔冈平面和超立方体)在本站的四种语言中都能使用。下载图片的记录及每个文件的哈希值见 data/semiotica_imagens.json。

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如何阅读一张图:指南与术语表

本章读的是图。下面的指南汇集了一些问题,帮助我们像读公式一样仔细地读图。 关于一张图的五个问题 图复制了什么? 一张图是某些关系的图像符号,从来不是全部关系的。在图论的图里,只有连接;在维恩图里,只有包含关系。找出重要的东西,忽略其余的。 什么是约定? 刻度、坐标轴的起点、颜色、图框的比例。这些选择不以陈述的形式出现,却会改变眼睛得出的结论。 长度、面积还是角度? 眼睛比较长度很好,比较面积很差,比较角度更差。问问是哪一个承载着信息,它是否按正确的比例画出。 图是在证明还是在说明? 如果眼睛用到的每一种关系都能由论证保证,图就是证明。否则它只是说明,而且可能骗人。 漏掉了什么? 多出的一个维度、放不下的一个变量、被坐标轴截掉的一个值。每张图都是一种选择,而选择本身就说明了什么。 对一张报纸图表的完整解读 一份报纸用折线图显示某种商品一年内的价格从 10.00 涨到 10.50,纵轴从 9.90 到 10.60。那条线从图的底部一直穿到顶部。 复制了什么: 价格随时间的先后顺序。这是对的。 约定: 坐标轴不从零开始。在折线图里这可以是合理的,但高度不再度量大小。 承载信息的是什么: 斜率。它看起来很陡,因为图框被竖向拉长了。 证明还是说明: 图说明了 $5\%$ 的上涨,却暗示了一次暴涨。 漏掉了什么: 这段时间的通货膨胀。如果通胀是 $6\%$,价格按实际计算其实下降了,图把故事讲反了。 术语表 图。 用平面上图形的排列来表示关系的符号。 关系的图像符号。 在皮尔斯看来,不是在事物上、而是在事物之间关系的结构上与对象相似的符号。 欧拉图。 按集合之间已知的关系摆放的圆:在里面、在外面或相交。 维恩图。 总是相交的圆,显示全部 $2^n$ 个区域,用阴影表示空区域。 纬度与经度(奥雷姆)。 性质的强度(竖直)沿着广延(水平)的分布。函数图像的祖先。 对数刻度。 每走同样长的一步就乘以同一个因子的坐标轴。把指数增长变成直线。 截断的坐标轴。 不从零开始的坐标轴。在条形图中会夸大差异。 复平面(阿尔冈平面)。 把 $a+bi$ 表示为点 $(a,b)$。乘以 $i$ 就是旋转 $90°$。 图(图论)。 点(顶点)和连线(边),其中只有谁连着谁才重要。 平面图。 能画得没有交叉的图。 无字证明。 用很少或不用解释,让证明一目了然的图。 投影。 一个对象在较低维空间中的影子,比如立方体在纸上的画法。 练习:用一用指南一张饼图显示四家公司的市场份额分别为 23%、25%、26% 和 26%。指南怎么说? 信息在角度里,而眼睛比较角度很差:四片看起来一样大。如果问题是“谁领先?”,比较长度的条形图会显示出差别。如果问题是“市场是否被瓜分?”,饼图回答得很好,恰恰因为它隐藏了细小的差别。

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第四维:画出看不见的东西

本章所有的图都有一个优势:所表示的对象总能以某种方式放到纸上。但数学谈论四维、十维甚至一百万维的空间时,毫不费力。代数没有任何困难:四维空间中的一个点,只是四个数的一张清单 $(x,y,z,w)$。然而眼睛生活在三维里。怎样画出看不见的东西? 平面国 《平面国:一个多维的传奇》的扉页,署名“一个正方形”,1885 年美国版。真正的作者是英国校长埃德温·艾勃特。Edwin A. Abbott · Wikimedia Commons · 公有领域 1884 年,伦敦一所学校的校长埃德温·艾勃特以一个正方形为笔名,出版了一部名为《平面国》的小说。叙述者是一个生活在二维世界里的正方形,那里住着三角形、正方形、五边形和圆。居民们只能看见线段:从侧面看,每个多边形都是一条线。 有一天,一个球来到平面国。正方形看见一个点出现,长成一个圆,又缩小、消失:那是球穿过平面时的一个个截面。他无法理解球是什么,直到他被带离平面,从上方看见自己的世界。回去之后,他试图谈论第三维,结果因异端罪被关进了监狱。 艾勃特亲手画的一座平面国房屋的平面图:一个五边形,一扇门给男人,另一扇给女人。对居民来说,这是看一座房子唯一可能的视角。Edwin A. Abbott · Wikimedia Commons · 公有领域 艾勃特的教训是一种方法:用类比推理。我们就是面对球的那个正方形。一个穿过我们空间的四维物体,会显现为一连串先长大后缩小的三维截面。我们无法看见它的全貌,但可以问:比它低一维的居民会怎样看见它? 不用看也能数 用数字,类比更有效。看看各个维度中的“立方体”序列: 维数 对象 顶点 棱 0 点 1 0 1 线段 2 1 2 正方形 4 4 3 立方体 8 12 4 超立方体 16 32 要从一个维度到下一个维度,就把对象复制一份,把每个顶点与它的副本连起来。顶点数加倍:$2^n$。棱数是原来的棱、副本的棱和新的连线:$2E+V$。从立方体到超立方体:$2\cdot12+8=32$。没有人看见过超立方体的 32 条棱,但这个计数是确定的。记号和推理到达了眼睛到不了的地方。超立方体的另一个名字四维立方体(tesseract),是英国数学家查尔斯·霍华德·辛顿在 1888 年创造的。 超立方体的影子 能画出来的是影子。立方体在纸上的影子是两个顶点相连的正方形。超立方体在我们空间里的影子是两个立方体,顶点相连,一个套在另一个里面。而这个影子在纸上的影子,就是下面这张图。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 让超立方体在 $xw$ 平面上旋转。这个平面混合了我们空间的一个方向和第四个方向,对我们来说并不存在。结果看起来不可思议:里面的立方体变大,外面的变小,两者互相穿过、交换位置。对平面国的居民来说,一个转出平面的立方体同样会像是在里外翻转。这张图展示的不是超立方体本身,而是我们用现有的眼睛能知道的关于它的东西。

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无字证明

1993 年,美国数学协会出版了一本奇特的书,由罗杰·尼尔森编辑:《无字证明》。每一页有一张图,有时下面有一个公式。一句话也没有。意思是让读者看、理解、被说服,而不需要任何人解释。这本书非常成功,后来又出了两卷,《数学杂志》至今仍在刊登这样的证明。 变成矩形的阶梯 一个有 1、2、3、4 个小方块的阶梯,以及两个相同的阶梯拼成的 4×5 矩形。为本书制作的教学示意图。 $1+2+3+4$ 等于多少?用一排排小方块画一个阶梯。再复制一个,转过来拼在旁边:两个阶梯组成一个 $4\times5$ 的矩形,有 $20$ 个小方块。每个阶梯占一半: $$1+2+3+4=\frac{4\cdot5}{2}=10.$$而且这张图并不依赖于 $4$。一个 $n$ 级的阶梯,两份拼成 $n\times(n+1)$ 的矩形,于是 $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$第4章用代数归纳法证明过这个公式。图用另一种方式证明了同一件事:不是一步步地推,而是看出为什么会出现半个矩形。 “看!” 最有名的无字证明,是据说出自十二世纪印度数学家婆什迦罗的勾股定理证明。把四个直角边为 $a$ 和 $b$、斜边为 $c$ 的直角三角形放进边长为 $c$ 的正方形里,中间留下一个边长为 $b-a$ 的小正方形。据传说,婆什迦罗在下面只写了一个词:“看!”。面积给出 $$c^2=4\cdot\frac{ab}{2}+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2.$$有趣的是,这个“无字证明”需要一行代数来核对。图展示了各个部件;计算保证它们拼得上。 图什么时候是证明,什么时候在骗人 第1章讲过希腊人对图形的不信任。这种不信任是有道理的。业余魔术师保罗·柯里在 1953 年推广的消失的方格谜题,用四块拼成一个三角形,交换各块的位置后,又拼成一个同样大小的三角形,却少了一个小方格。面积到哪里去了? 秘密在于,这两个“三角形”都不是三角形。两块三角形的斜率不同,分别是 $\frac25=0.4$ 和 $\frac38=0.375$,所谓的“斜边”其实是一条折线:在一种拼法里稍稍向内凹,在另一种拼法里稍稍向外凸。两者之差正好是一个小方格,摊在一条细得眼睛看不见的窄带里。 只有当眼睛依赖的每一种关系——“这些线平行”“这些点共线”“这些块拼得上”——都能由论证来保证时,无字证明才是证明。当眼睛假设的比图所保证的更多时,图就变成了错觉。 不断对半分的正方形 取一个面积为 $1$ 的正方形。涂一半,再涂剩下的一半,再涂剩下的一半。涂上的面积是 $\frac12$、$\frac14$、$\frac18$,白色部分越缩越小,却永远不会消失。图不用任何计算就表明 $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=1$:没有任何东西漏掉,也没有任何东西超出正方形。这正是第5章用级数的等号读过的那个级数。 练习:奇数之和第4章展示过一张图,其中每个奇数是一层 L 形。用这个想法,不做加法算出 $1+3+5+\cdots+19$。 从 $1$ 到 $19$ 的奇数是 $10$ 层,$10$ 层组成边长为 $10$ 的正方形。和是 $10^2=100$。

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图与地图:只看谁连着谁的图

1652 年版画中的柯尼斯堡,有普雷格尔河、两个岛和七座桥。为了解决七桥问题,欧拉几乎扔掉了这幅画所显示的一切。Merian-Erben · Wikimedia Commons · 公有领域 普鲁士的柯尼斯堡城被普雷格尔河穿过,河中形成两个岛,七座桥把城市的四个部分连在一起。居民们想知道,能不能散一次步,每座桥恰好走一次。1736 年,欧拉证明了不能。历史书在柯尼斯堡七桥那一篇里讲了这个证明。这里关心的是欧拉对图做了什么。 扔掉地图 城市地图显示街道、房屋、距离、河的宽度、岛的形状。欧拉意识到,这些对问题都不重要。重要的只是城市的哪些部分由哪些桥连接。每个部分变成一个点;每座桥变成两点之间的一条线。结果就是今天所说的图:四个点和七条线。 在这张图里,大小、距离和形状都不再有意义。可以把一条线拉长,把一个点挪个位置,把一切都弄弯:只要连接关系不变,图就还是那张图。用皮尔斯的话说,图是一种非常特殊的图像符号:它只在连接关系上与城市相似。这是一种严格挑选了复制什么的图像符号。 正是这张被简化了的图让答案显现出来。散步时,每次从一座桥进入一个点,就要从另一座桥离开;所以路线中途的每个点都必须连着偶数条线。在柯尼斯堡,四个点分别连着 $5$、$3$、$3$ 和 $3$ 条线:全是奇数。这样的散步是不可能的。 不再是地图的地图 1931 年,伦敦地铁的一位技术绘图员哈里·贝克提出了一种新的地图。旧地图遵循地理:线路在市中心缠成一团,在郊区四散开来,没人看得懂。贝克意识到,乘客不需要知道车站在哪里,而需要知道车站按什么顺序排列、在哪里换乘。他只画直线——水平的、竖直的和 $45°$ 的——车站之间的距离都相等。 1933 年出版的贝克地铁图是一张图,而不是一张地图。它完全扭曲了地理,而这正是它好用的原因。几乎世界上所有的地铁——包括圣保罗、东京和上海的地铁——都采用了同样的原则。代价是游客有时会坐地铁去一个步行五分钟就能到的车站,因为在图上它看起来很远。 同一个图,不同的画法 由于只有连接关系重要,同一个图可以有非常不同的画法。一个画了两条对角线的正方形,和从上方看的三棱锥,是同一个图:四个点,两两相连。判断两张画是否表示同一个图,对大的图来说是一个出奇困难的问题,它有一个名字:图同构问题。 有时画法确实重要。如果一个图能画得没有任何两条线交叉,它就是平面图。这决定了,比如说,一块印刷电路能否只用一层做成。 三间房子与三种公用设施 一个古老的谜题要求把三间房子分别连到三种公用设施——水、电、煤气——而且任何两条管道都不交叉。每个尝试的人最后都会遇到一个交叉,这不是因为技术不够:一边三个点、另一边三个点、九条连线全都连上的图,叫作 $K_{3,3}$,它不是平面图。1930 年,波兰人卡齐米日·库拉托夫斯基证明:一个图是平面图,当且仅当它里面没有藏着 $K_{3,3}$,也没有藏着五个点两两相连的图 $K_5$。 练习:第八座桥如果居民们建造第八座桥,连接河的两岸,散步会变得可能吗? 两岸原来各连着 $3$ 条线;有了新桥,各连 $4$ 条。度数变成 $5$、$4$、$4$ 和 $3$:只有两个奇数点。每座桥走一次的散步变得可能,从一个奇数点出发,在另一个奇数点结束。 练习:为什么 K₃,₃ 不是平面图用平面图的欧拉公式 $V-E+F=2$(顶点数减边数加面数)证明 $K_{3,3}$ 不是平面图。 $K_{3,3}$ 有 $V=6$,$E=9$。如果它是平面图,就有 $F=2-6+9=5$ 个面。$K_{3,3}$ 里没有三角形(每条连线都从房子连到设施),所以每个面至少有 $4$ 条边。由于每条边最多是 $2$ 个面的边界,$4F\leq2E$,即 $20\leq18$,矛盾。所以不存在没有交叉的画法。 本章目录 · ← 阿尔冈平面:找到位置的虚数 · 无字证明 →

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阿尔冈平面:找到位置的虚数

从十六世纪起,意大利的代数学家就知道,解某些三次方程时,即使最后的答案是实数,也得经过负数的平方根。他们用 $\sqrt{-1}$ 时很不自在。笛卡儿称之为虚数,这个名字流传了下来。莱布尼茨把它描述为“介于存在与不存在之间的两栖动物”。 问题是符号学的。$\sqrt{-1}$ 是一种遵守代数规则的写法,却不指向任何可以看见或测量的东西。实数在数轴上有位置;$\sqrt{-1}$ 却无处容身。 给虚数一个位置 《论在几何作图中表示虚量的一种方法》(巴黎,1806)的扉页,出版时没有署作者名。这本书上有朱尔·乌埃尔的手写题赠,他在 1874 年重新出版了这篇文章。Jean-Robert Argand · Wikimedia Commons · 公有领域 答案来自两位业余者。1797 年,挪威测量员卡斯帕尔·韦塞尔向丹麦科学院提交了一篇论文,一个世纪里没有人读过。1806 年,住在巴黎的瑞士簿记员让-罗贝尔·阿尔冈自费、不署名地出版了一篇小文章,提出了同样的想法:把虚数放在一条与实数轴垂直的直线上。 数 $a+bi$ 变成点 $(a,b)$:水平方向 $a$ 个单位,竖直方向 $b$ 个单位。数 $1$ 在原点右边;$-1$ 在左边;$i$ 在上方;$-i$ 在下方。原来没有对象的写法有了一个位置。有了位置,就有了意义。 乘以 i 就是旋转 看看乘以 $i$ 时会发生什么: $$1\xrightarrow{\times i}i\xrightarrow{\times i}-1\xrightarrow{\times i}-i\xrightarrow{\times i}1.$$在平面上,这四个点分别是右、上、左、下:每乘一次 $i$,就逆时针转四分之一圈,即 $90°$。这对任何数都成立:$i(a+bi)=-b+ai$,就是点 $(a,b)$ 绕原点转了 $90°$。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 现在,那个看似荒谬的等式 $$i^2=-1$$说的是一件显而易见的事:两个四分之一圈就是半圈,而半圈把 $1$ 带到 $-1$。符号没有变,却不再神秘。这正是第2章借杜瓦尔研究过的现象:转换到另一个表征域——几何的表征域——揭示了代数表征域所隐藏的东西。 乘法就是旋转加伸缩 图也解释了一般的乘法。每个复数都有一个模,即到原点的距离,和一个辐角,即与实轴的夹角。规则是: 两个复数相乘,模相乘,角相加。 一次乘法变成一次旋转加一次伸缩。1831 年,高斯赋予这个想法它所缺少的声望,使用了复数一词,并开始在平面上画数。从那以后,$\sqrt{-1}$ 这种写法不再令人畏惧,复数成了电学、波动和量子力学的语言。

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从奥雷姆到函数图像:画出一个变化的性质

速度–时间图看上去再自然不过。但想想它做了什么:它把时间变成水平长度,把速度变成竖直长度,而这两个量都不是长度。这是一种大胆的翻译,总得有人把它发明出来。 奥雷姆的纬度 1350 年前后,法国人尼科尔·奥雷姆——巴黎的学者,后来成为利雪主教——写了一部关于性质的构形的论著。一种性质,比如一根棒的热度或一个物体的速度,可以从一点到另一点、从一刻到另一刻变化。奥雷姆提议把它画出来: 经度,一条水平线,表示广延:棒的长度或运动的持续时间; 在每一点上,纬度,一条竖直线段,表示那里性质的强度。 所有纬度合起来组成一个图形,图形的形状描述了变化。 奥雷姆的三种构形:均匀的(所有纬度相等,一个矩形)、均匀变化的(纬度均匀增长,一个三角形或梯形)和非均匀变化的(其他任何变化,一条曲线)。为本书制作的教学示意图。 奥雷姆为三种基本形状起了名字。均匀的性质给出矩形。均匀变化的性质均匀增长,给出三角形或梯形。非均匀变化的性质以其他任何方式增长,给出顶部弯曲的图形。今天我们会说:常函数、线性函数和非线性函数。 用面积证明 奥雷姆的图不只是插图。他用它证明了牛津默顿学院的学者们几十年前提出的一条规则:一个匀加速运动的物体所走的距离,等于它以平均速度匀速运动时所走的距离。 在图中,距离就是图形的面积。从静止开始的匀加速运动是一个三角形;以平均速度的运动是一个高度减半的矩形。三角形和矩形面积相等,因为三角形高出矩形的那一块,正好等于下面缺的那一块。比伽利略得出同样的规则早了两个半世纪,这个证明就是一张图。 通向函数图像的路 人们很自然地以为,1637 年把几何化为方程的笛卡儿,画的图像和今天一样。其实不然。笛卡儿的书里没有两条标了数字的互相垂直的坐标轴,负坐标也受到怀疑。坐标这个词来自莱布尼茨,是 1692 年的事。带坐标轴、刻度和曲线的函数图像,在整个十八世纪里才慢慢确立;而像下一篇里那样的数据图表,直到 1786 年才诞生。 第2章借雷蒙·杜瓦尔说明,从公式到图像是表征域之间的一次转换,许多学生会算却不会画。奥雷姆的故事提醒我们,这种转换并不是天生的:它花了几个世纪才被发明出来。 奥雷姆与调和级数 同一个奥雷姆证明了级数 $1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots$ 会无限增大,方法是把各项分成一组组,每组都大于 $\frac12$。这是最早的无穷级数结果之一,历史书在调和级数那一篇里讲了这个证明。 练习:平均速度定理一辆车从静止开始,在 $4$ 秒内匀加速到 $10$ m/s。它走了多远? 在奥雷姆的图中,这是一个底为 $4$、高为 $10$ 的三角形:面积 $\frac{4\cdot10}{2}=20$ 米。平均速度是 $5$ m/s,$5\cdot4=20$ 米:平均速度的矩形面积相同。 练习:一个梯形速度在 $3$ 秒内从 $2$ m/s 均匀增加到 $8$ m/s。走了多远? 图形是上下底分别为 $2$ 和 $8$、高为 $3$ 的梯形:面积 $\frac{(2+8)\cdot3}{2}=15$ 米。这与平均速度 $5$ m/s 乘以 $3$ 秒相同。 本章目录 · ← 欧拉圆与维恩图 · 拯救生命的图表:普莱费尔、斯诺、南丁格尔和米纳德 →

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欧拉圆与维恩图

1760 年至 1762 年间,莱昂哈德·欧拉给一位年轻的德国公主——普鲁士国王的侄女——写了两百多封信,教她物理、天文和哲学。这些信从 1768 年起以《致一位德国公主的信》为题出版,成为那个世纪读者最多的科普书之一。在其中几封信里,为了解释逻辑推理,欧拉画了圆。 三句话,三张图 用圆画出两个集合之间的三种关系:“所有 A 都是 B”(A 在 B 里面)、“没有 A 是 B”(两圆分开)和“有些 A 是 B”(两圆相交)。为本书制作的教学示意图。 想法是:每个概念占据一个区域,逻辑语句就变成位置关系: “所有 A 都是 B”:圆 $A$ 在圆 $B$ 里面。 “没有 A 是 B”:两个圆分开。 “有些 A 是 B”:两个圆相交,公共部分里有东西。 现在看看三段论会怎样。“所有 A 都是 B。所有 B 都是 C。”把第一个圆画在第二个圆里,第二个圆画在第三个圆里。不需要再做任何事:结论**“所有 A 都是 C”**已经在图里了,因为 $A$ 已经落在 $C$ 里面,而没有人特意把它放进去。图免费完成了推理。 关系的图像符号 第2章讲过的哲学家查尔斯·桑德斯·皮尔斯解释了这为什么行得通。一个圆既不像猫的集合,也不像哺乳动物的集合。但圆与圆之间的关系——一个在另一个里面——却像集合之间的关系。这是一种关系的图像符号:图复制的是结构,而不是事物。皮尔斯甚至说,一切演绎推理归根结底都是对一张图的观察,这张图或画在纸上,或画在想象里。 欧拉的问题与维恩的解决 欧拉圆有一个缺点:它迫使人在知道之前就决定位置。如果唯一的信息是“有些 A 是 B”,两个圆就得相交;但也许 $A$ 整个都在 $B$ 里面,而图没有办法说“也许”。