以黎曼命名的这个函数，欧拉早先就研究过。对大于 1 的实数 $s$，级数 $$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$是收敛的。欧拉算出了它的好几个值，比如 $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$，也就是巴塞尔问题的答案。 欧拉乘积 欧拉最深刻的发现是在 1737 年：同一个函数可以写成对所有素数的乘积： $$\zeta(s) = \prod_{p \text{ 为素数}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \frac{1}{1 - 2^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 3^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 5^{-s}}\cdots$$原因在于唯一分解定理。每个因子都是一个等比级数：$\frac{1}{1 - 2^{-s}} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$。把所有素数的因子乘起来再展开，每个整数 $n$ 恰好出现一次，作为它的各个素因子的幂的乘积。例如，$\frac{1}{12^s}$ 来自在 2 的因子中选 $\frac{1}{4^s}$、在 3 的因子中选 $\frac{1}{3^s}$。左边只谈整数，右边只谈素数。这个公式是连接二者的桥梁，欧拉正是用它给出了素数有无穷多个的新证明。 复变量 黎曼的博士论文研究的就是复变函数，他在 1859 年的论文中迈出了决定性的一步：让 $s$ 取复数，$s = \sigma + it$。只要实部 $\sigma$ 大于 1，级数仍然收敛，因为 $|n^{-s}| = n^{-\sigma}$。