数论 | Euler's Eyes

亚历山大的欧几里得：没有面孔的作者

年表约前 530 年毕达哥拉斯和他的追随者在意大利南部研究数和图形。约前 387 年柏拉图在雅典创办学园。据传门上写着：“不懂几何者不得入内”。前 331 年亚历山大大帝在尼罗河三角洲建立亚历山大城。约前 300 年欧几里得在托勒密一世时代于亚历山大城讲学，写下《几何原本》。约前 250 年叙拉古的阿基米德引用《几何原本》。约公元 100 年埃及俄克喜林库斯出土的一张纸草保存了第二卷的一段。约 370 年亚历山大的赛翁编订的版本，成为此后几个世纪传抄的底本。约 450 年普罗克洛斯为第一卷写注释，留下了关于欧几里得的少量记载。约 800 年《几何原本》在巴格达被译成阿拉伯文。约 1120 年巴斯的阿德拉德把阿拉伯文本译成拉丁文。 1482 年埃哈德·拉特多尔特在威尼斯印出第一个印刷版。 ◀ 上一站沿路线走一遍下一站 ▶ c. 387 a.C. 雅典柏拉图创立学园。欧几里得将要整理的几何学在希腊的学校里成长起来。 c. 300 a.C. 亚历山大欧几里得在托勒密一世时代讲学，写成十三卷《几何原本》。 c. 250 a.C. 叙拉古阿基米德已在著作中引用《几何原本》。 c. 100 俄克喜林库斯在城市垃圾堆中发现的一张纸草保存了第二卷的一段文字和一幅图。 c. 370 亚历山大亚历山大的赛翁编订了后来被传抄一千年的版本。 c. 450 雅典普罗克洛斯为第一卷作注，留下了关于欧几里得仅有的一点消息。 c. 800 巴格达在智慧宫，《几何原本》被译成阿拉伯文。 c. 1120 巴斯巴斯的阿德拉德把阿拉伯文本译成拉丁文，此书重返欧洲。 1482 威尼斯埃哈德·拉特多尔特印出第一个版本，图画印在页边。此后又出了一千多个版本。请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。《几何原本》的旅程：从雅典和亚历山大到威尼斯的第一个印刷本。地图：© OpenStreetMap 贡献者

October 14, 2026 阅读

索菲·热尔曼的一生

年表 17764 月 1 日生于巴黎，父亲是一位富有的丝绸商人。 178913 岁时正值大革命，她读到阿基米德之死的故事，决定学习数学。 1794巴黎综合理工学院成立，不招收女性。索菲弄到课程讲义，以勒布朗先生的名义把一篇论文寄给拉格朗日。 1801高斯出版《算术研究》。 1804她开始给高斯写信，仍以勒布朗先生的名义。 1806法军占领不伦瑞克。索菲请一位与家里相熟的将军保护高斯，高斯由此得知她是谁。 1809科学院悬赏征求振动板的数学理论。 1816第三次尝试时获奖，成为第一位获得科学院奖项的女性。 1823勒让德公布了她关于费马大定理的定理。 1829得知自己患了乳腺癌。 18316 月 27 日在巴黎去世，享年 55 岁。 ◀ 上一站沿路线走一遍下一站 ▶ 1776–1794 圣但尼街在富有的丝绸商父亲家中长大。13 岁时，正值大革命，她决定学习数学。 1794 巴黎综合理工学院学校不招收女性。她设法弄到讲义，以勒布朗先生的名义把一篇作业寄给拉格朗日。 1804–1806 不伦瑞克她给高斯写信讨论数论。1806 年城市被占领，她请一位法国将军保护高斯，高斯由此得知她的真实身份。 1816 法兰西学会第三次尝试时，她获得科学院关于振动板的奖项，成为第一位获得科学院奖的女性。 1831 拉雪兹神父公墓6 月 27 日去世，享年 55 岁。据说她的死亡证明上登记的是 rentière（靠收入生活的人），而不是数学家。请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。索菲·热尔曼的巴黎，以及寄往不伦瑞克给高斯的信。地图：© OpenStreetMap 贡献者 1776–1794 · 圣但尼街1794 · 巴黎综合理工学院1804–1806 · 不伦瑞克1816 · 法兰西学会1831 · 拉雪兹神父公墓索菲·热尔曼的巴黎，以及寄往不伦瑞克给高斯的信。被关在家里的女孩玛丽-索菲·热尔曼 1776 年出生在巴黎圣但尼街的一所房子里。她的父亲安布鲁瓦兹-弗朗索瓦·热尔曼是一位富有而有教养的丝绸商人，1789 年当选为三级会议的代表，正是这个议会揭开了法国大革命的序幕。家里有一座很好的藏书室，女孩就在那里度过了法国历史上最动荡的岁月。

October 14, 2026 阅读

约瑟夫-路易·拉格朗日的一生

年表 17361 月 25 日生于撒丁王国首都都灵，原名朱塞佩·洛多维科·拉格朗吉亚。 175317 岁时读到埃德蒙·哈雷的一篇文章，决定献身数学。 1755写信给欧拉，提出后来发展成变分法的方法。9 月，19 岁的他被任命为都灵炮兵学校教授。 1757参与创立后来成为都灵科学院的科学学会。 1764解释了月球为什么总是以同一面朝向地球，获得巴黎科学院的奖项。 1766迁居柏林，在腓特烈大帝的科学院接替欧拉的位置。 1770证明每个正整数都是四个平方数之和，并开始研究方程根的置换。 1772因三体问题与欧拉分享巴黎科学院奖，拉格朗日点就出现在这项工作中。 1787腓特烈去世后迁居巴黎，住进卢浮宫。 1788出版《分析力学》。 1790加入创立公制的委员会。 1794拉瓦锡被送上断头台。拉格朗日成为新成立的巴黎综合理工学院教授。 1797出版《解析函数论》，书中使用记号 $f'(x)$。 1808拿破仑封他为帝国伯爵。 18134 月 10 日在巴黎去世，安葬于先贤祠。 ◀ 上一站沿路线走一遍下一站 ▶ 1736–1766 都灵19 岁时担任炮兵学校教授，写信给欧拉，提出了后来发展为变分法的方法。 1766–1787 柏林接替欧拉在腓特烈大帝科学院的职位。证明四平方和定理，发现拉格朗日点。 1787–1813 巴黎住在卢浮宫，出版《分析力学》，参与创立米制，在巴黎综合理工学院任教。葬于先贤祠。请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。拉格朗日的三座首都：都灵、柏林和巴黎。地图：© OpenStreetMap 贡献者 1736–1766 · 都灵1766–1787 · 柏林1787–1813 · 巴黎拉格朗日的三座首都：都灵、柏林和巴黎。一位失去一切的父亲拉格朗日 1736 年生于都灵。他的家族在曾祖父那一支有法国血统，曾祖父曾为萨伏依公爵效力。孩子受洗时取名朱塞佩·洛多维科·拉格朗吉亚，一生中用过许多种署名，最后定为法文形式：约瑟夫-路易·拉格朗日。他是十一个孩子中的老大，只有两个活到成年。父亲是王国公共工程与要塞事务的司库，这是个体面的职位，家里很富裕。但他在金融投机中几乎赔光了家产。年老时，拉格朗日谈起这件事时很幽默：如果我当初很富有，大概就不会献身于数学了。 — 约瑟夫-路易·拉格朗日，据其传记作者德朗布尔哈雷与转向父亲希望他当律师，年轻的拉格朗日也乐于学习拉丁文和古典文学。希腊几何让他觉得乏味。转变发生在 17 岁左右：他偶然读到英国天文学家埃德蒙·哈雷 1693 年的一篇文章，讲的是代数方法在光学中的好处。拉格朗日被这种用计算、不用图形来解决问题的想法迷住了，决定自学数学。这种偏好一辈子都没有离开他。

October 14, 2026 阅读

《几何原本》：定义、公设和公理

点是没有部分的东西。线是只有长度而没有宽度的。 — 欧几里得，《几何原本》第一卷，定义 1 和 2 设想你要让一个人毫无疑问地相信，三角形的内角和总是 180°。测量是不够的：量角器有误差，而且你只能量几个三角形。你需要一个论证。但任何论证都要从某处出发。从哪里出发呢？如果每个论断都要由另一个论断来证明，而那个论断又要由另一个来证明，这条链子就永远没有尽头。欧几里得的办法是在第一页就明确宣布他从哪里出发。其余的一切都必须证明。三类基础《几何原本》第一卷以三份清单开头。定义（第一卷有 23 条）：说明所谈论的是什么。“点是没有部分的东西。““圆是由一条线围成的平面图形，从图形内一点到这条线的所有直线都相等。” 公设（5 条）：请读者接受的、关于在几何中能做什么的事情。公理（又称"公共概念”，5 条）：对任何量都成立、不只限于几何的一般真理。五条公设，意译如下：从任一点到任一点可以作一条直线。一条有限直线可以沿直线连续延长。以任意中心和任意半径可以作圆。所有直角彼此相等。如果一条直线与两条直线相交，在同侧所成的两个内角之和小于两直角，那么这两条直线无限延长后，必在这一侧相交。前三条描述了用没有刻度的直尺和圆规能做的事：画直线、延长直线、画圆。《几何原本》中的每一个作图都只用这两件工具。第四条保证直角是一个标准度量。第五条比其他几条长，也不那么显然，这就是著名的平行公设。五条公理是：等于同量的量彼此相等。等量加等量，其和相等。等量减等量，其差相等。彼此重合的东西彼此相等。整体大于部分。第一条就是我们今天写的：若 $a=c$ 且 $b=c$，则 $a=b$。它在第一个命题里就用上了。十三卷的总图卷内容一三角形、平行线和毕达哥拉斯定理二几何代数：矩形和正方形的面积三、四圆与内接多边形五欧多克索斯的比例论六相似图形七至九数论：最大公约数、素数、完全数十不可公度量，例如 $\sqrt2$ 十一至十三立体几何与五种正多面体全书最后证明，正多面体恰好有五种：正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。柏拉图把它们与自然界的元素联系起来，有人认为整本书就是为了到达它们而写的。圆与穷竭法第十二卷回答了一个非常古老的问题：圆的面积是多少？埃及人有一个配方。在大约公元前 1550 年的莱因德纸草书中，直径为 9 的圆形田地的面积等于边长为 8 的正方形的面积，这相当于取 $\pi\approx\frac{256}{81}\approx3.16$。在《圣经》中，所罗门圣殿的大铜海"从这边到那边十肘"“周围三十肘”（《列王纪上》7:23）：在那里，$\pi=3$。

October 14, 2026 阅读

勒布朗先生的信：余数的算术

1804 年索菲·热尔曼给高斯写信时，两人说的是一种刚刚诞生的语言。三年前，在《算术研究》中，高斯引入了一个新符号 $\equiv$，以及一种看待整数的新方式：不看它们是什么，而看它们在除法中留下的余数。索菲后来关于费马的所有工作，都是用这种语言写成的。值得学一学。钟表上的算术如果现在是 9 点，5 小时后是几点？看指针表盘的人不会回答 14，而会回答 2。钟表只记住除以 12 的余数。高斯把它写成 $$14\equiv2\pmod{12},$$读作“14 模 12 同余于 2”。一般地，$a\equiv b\pmod m$ 表示 $a$ 和 $b$ 除以 $m$ 余数相同，也就是 $a-b$ 是 $m$ 的倍数。最大的好处是，同余式可以像等式一样相加、相乘。如果 $a\equiv b$ 且 $c\equiv d\pmod m$，那么 $$a+c\equiv b+d\qquad\text{且}\qquad a\cdot c\equiv b\cdot d\pmod m.$$这样就可以在计算中途用很小的余数代替巨大的数。例如，$7^{100}$ 的个位数是多少？个位数就是除以 10 的余数。7 的幂的个位依次是 $7, 9, 3, 1$，然后循环，因为 $7^4=2401\equiv1\pmod{10}$。所以 $$7^{100}=\left(7^4\right)^{25}\equiv1^{25}=1\pmod{10}.$$$7^{100}$ 有 85 位，我们不用算出其他任何一位，就知道了最后一位。精心挑选的符号高斯解释说，他选择 $\equiv$ 是因为同余和相等之间有很大的相似性。这个符号比 $=$ 多一横，好像在提醒：这种相等只是“就余数而言”。这是历史上最成功的记号之一：几十年之内，人人都在用它。幂与余数高斯最喜欢的题目，后来也是索菲最喜欢的，是模一个素数的幂。取素数 $p=7$，把每个数立方，只保留除以 7 的余数：

October 14, 2026 阅读

变分法：一位十九岁青年的信

牛顿和莱布尼茨的微积分会找曲线的最高点：就在导数为零的地方。但还有另一类问题。两点之间最短的路是什么？滑梯做成什么形状，小球滑下来最快？一根挂着的链子是什么曲线？在这些问题里，答案不是一个数，而是一整条曲线，要从无穷多条可能的曲线中挑出来。最速降线 1696 年，约翰·伯努利向全欧洲的数学家发出挑战。给定两点 $A$ 和 $B$，$B$ 比 $A$ 低，但不在 $A$ 的正下方。一个小球只靠自身重量、无摩擦地滑行，沿哪条曲线从 $A$ 到 $B$ 用时最短？这个问题的名字来自希腊语：brachistos 意为最短，chronos 意为时间。直线是最短的路，却不是最快的。一开始陡一点往下冲，早点获得速度，即使路程变长也划算。约翰、他的哥哥雅各布、莱布尼茨、洛必达，还有一位大家都认出是牛顿的匿名作者回应了挑战。答案是摆线，即滚动的轮子上一点所画出的曲线。每个解法都是一个各不相同的巧妙技巧。例如约翰把小球想象成一束光，穿过密度越来越小的一层层玻璃，用的是折射定律。还缺一个一般的方法。欧拉的方法欧拉花了多年寻找这种方法，并在 1744 年把它发表在一本名为《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》的书中。思路是几何的：用一个边数很多的多边形代替曲线，只移动其中一个顶点，看看要优化的量如何变化。这个方法管用，但计算冗长，而且每个问题都需要单独画一幅图。 1755 年的信 1755 年 8 月 12 日，欧拉收到一封来自都灵、一位 19 岁无名青年的信。拉格朗日提出了另一种做法：不去移动一个顶点，而是一次改变整条曲线。如果 $y(x)$ 是要找的曲线，他考虑一条邻近的曲线 $$y(x)+\delta y(x),$$其中 $\delta y$ 是一个小扰动，在两端为零，因为端点 $A$ 和 $B$ 是固定的。$\delta$ 是希腊字母的 d，这是个新符号：它表示函数的变化，正如莱布尼茨的 $d$ 表示变量的变化。这类问题中，许多都要求让一个积分取最小或最大值： $$J=\int_a^b F(x,y,y')\,dx,$$其中 $F$ 依赖于点的位置、曲线的高度和它的斜率。例如，曲线的长度是 $$J=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\,dx.$$方程拉格朗日的计算只需三步。第一步，积分的变化等于 $y$ 和 $y'$ 的变化各自引起的变化之和： $$\delta J=\int_a^b\left(\frac{\partial F}{\partial y}\,\delta y+\frac{\partial F}{\partial y'}\,\delta y'\right)dx.$$第二步，由于 $\delta y'$ 是 $\delta y$ 的导数，分部积分可以把导数转移到另一个因子上。边界项消失了，因为 $\delta y$ 在两端为零：

October 14, 2026 阅读

《分析力学》：一本没有图的书

翻开牛顿 1687 年的《原理》，几乎每一页都有图：三角形、椭圆、箭头、切线。翻开一百年后、1788 年出版的拉格朗日《分析力学》，一幅图也看不到。作者本人在序言里自豪地预先说明了这一点，并补充道：热爱分析的人会高兴地看到力学成为分析的一个新分支，并会感谢我这样扩展了它的领域。 — 约瑟夫-路易·拉格朗日，《分析力学》序言（1788）《分析力学》（Méchanique analitique）初版扉页，巴黎，1788 年。Joseph-Louis Lagrange · Wikimedia Commons · 公有领域这本书是在柏林写的，带到巴黎时已经差不多完成了。没有出版商愿意为这样一本艰深的论著冒险，是年轻的阿德里安-马里·勒让德说服了一位书商出版它，并校对了校样。据说印好的书送来后，拉格朗日在一段消沉的日子里两年都没有打开它。力的麻烦在牛顿力学里，要知道一个物体怎样运动，必须列出作用在它上面的所有力，再像箭头一样把它们加起来。比如在单摆中，作用的有重力和绳子的张力。重力好办，张力却不然：它每时每刻都在变化，事先谁也不知道。它的作用只是让小球拴在绳上，但即便如此，还是得先把它算出来，才能得到运动。拉格朗日想要一种方法，让这些约束力根本不出现。一个函数管全部拉格朗日的想法是用随意选择的坐标来描述系统，哪种最自然就用哪种。对单摆来说，一个数就够了：绳子与竖直方向的夹角 $\theta$。然后用这些坐标写出两种能量： $T$，运动的能量（今天叫动能）； $V$，因位置而储存的能量（今天叫势能）。再组成一个函数，今天叫作拉格朗日量： $$L=T-V.$$真实的运动就是满足欧拉-拉格朗日方程的那一个，只是现在用时间 $t$ 代替 $x$： $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0,$$其中 $q$ 是坐标，上面带一点的 $\dot q$ 是它的速度，这是牛顿的记号。这是一份配方：写出 $L$，求导，令其为零。没有图，也没有箭头。第一个检验：自由落体对于高度为 $h$、质量为 $m$ 的物体，运动的能量是 $T=\frac12m\dot h^2$，储存的能量是 $V=mgh$。于是 $$\begin{aligned}L&=\tfrac12m\dot h^2-mgh,\\ \frac{\partial L}{\partial\dot h}&=m\dot h,\qquad\frac{\partial L}{\partial h}=-mg.\end{aligned}$$方程变成 $m\ddot h+mg=0$，即 $\ddot h=-g$：物体以恒定加速度 $g$ 下落。这是伽利略的定律，一个箭头也没画就重新得到了。单摆现在来看让牛顿吃力的例子。质量为 $m$ 的小球挂在长为 $\ell$ 的绳子上。设角度为 $\theta$，小球的速度是 $\ell\dot\theta$，位于悬挂点下方 $-\ell\cos\theta$ 的高度。所以

October 14, 2026 阅读

热尔曼定理与费马大定理

大约在 1637 年，皮埃尔·德·费马在一本书的页边写道，当 $n$ 大于 2 时，方程 $$x^n+y^n=z^n$$没有正整数解，并说他有一个绝妙的证明，可惜页边太窄写不下。这就是费马大定理。没有人找到过他的证明，这个问题直到 1994 年才由安德鲁·怀尔斯解决。到 1800 年为止，进展很有限。费马证明了 $n=4$ 的情形，欧拉证明了 $n=3$ 的情形。只需研究素数指数 $n=p$ 就够了，但每个素数都需要专门的技巧，没有人能越过 3。索菲·热尔曼是第一个一次就对无穷多个指数证明了某种结论的人。两种情形索菲把问题分成两部分。假设存在一个解 $x^p+y^p=z^p$。要么 $x$、$y$、$z$ 三个数都不是 $p$ 的倍数，今天称为第一情形；要么其中某个是，称为第二情形。她的定理处理的是第一情形。热尔曼定理。如果 $p$ 是奇素数，且 $2p+1$ 也是素数，那么不存在都不是 $p$ 的倍数的整数 $x, y, z$，使得 $x^p+y^p=z^p$。 $2p+1$ 也是素数的素数 $p$，今天称为索菲·热尔曼素数：$3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, \ldots$ 以 p = 5 为例的思路我们来看 $p=5$ 时证明的核心，这时 $2p+1=11$。假设 $x^5+y^5=z^5$。把一切都放到模 11 下来看。正如我们在写给高斯的信中看到的，五次幂模 11 只能是 $0$、$1$ 或 $-1$。如果三个数都不是 11 的倍数，三个五次幂就都是 $\pm1$。但两个 $\pm1$ 之和只能是 $-2$、$0$ 或 $2$，而这些模 11 都不是 $\pm1$：

October 14, 2026 阅读

第一个命题：等边三角形

在一条给定的有限直线上作一个等边三角形。 — 欧几里得，《几何原本》命题 I.1 在定义、公设和公理之后，《几何原本》以一个小而美的问题开头。你有一条线段 $AB$，想只用直尺和圆规，作一个三条边都等于 $AB$ 的三角形。这是全书 465 个命题中的第一个，它用寥寥几行展示了其余所有命题的运作方式。作图欧几里得只用了前三条公设：以 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径作圆（公设 3）。以 $B$ 为圆心、同样以 $BA$ 为半径作另一个圆（公设 3）。两圆相交于一点 $C$。连接 $CA$ 和 $CB$（公设 1）。三角形 $ABC$ 就是所求的三角形。命题 I.1 的作图。绿色圆以 A 为圆心，蓝色圆以 B 为圆心，两圆半径都是 AB，相交于 C。Euler’s Eyes 绘图证明作出来还不够：还必须证明这个三角形是等边的。证明有三步，每一步都注明依据： $C$ 在以 $A$ 为圆心的圆上，所以 $AC=AB$，依据圆的定义：所有半径都相等。 $C$ 在以 $B$ 为圆心的圆上，所以 $BC=BA$，理由相同。 $AC$ 和 $BC$ 都等于 $AB$，所以 $AC=BC$，依据公理 1：等于同量的量彼此相等。因此

October 14, 2026 阅读

拉格朗日点：引力平衡的地方

2021 年 12 月 25 日，一枚火箭从法属圭亚那起飞，载着詹姆斯·韦伯空间望远镜。它没有像哈勃那样被送入绕地球的轨道，而是飞行了一个月，到达离我们 150 万千米、始终位于背向太阳一侧的一个空无一物的点，然后停在那里。这个点的位置来自拉格朗日 1772 年的一篇获奖论文。它叫作 L2。三个天体牛顿完全解决了两个相互吸引的天体的运动，比如太阳和一颗行星：每个都画出一个椭圆。换成三个天体，比如太阳、地球和月球，一切就复杂了。每个天体都在拉另外两个，运动可能变得混乱。18 世纪的数学家知道这不容易，巴黎科学院多次把这个问题定为悬赏题目。 1772 年，这项奖由欧拉和拉格朗日分享。拉格朗日的论文《论三体问题》没有找到一般解。事实上，这样的公式解并不存在，庞加莱在 1890 年证明了这一点。但他找到了令人惊讶的东西：一些特殊解，在这些解中三个天体像一个刚体一样一起转动，它们构成的图形形状始终不变。有两种方式可以做到这一点。三个天体可以排成一直线，欧拉在 1767 年已经找到了这种解。也可以位于一个等边三角形的三个顶点上，三角形大小不限，绕质心旋转。第二种是拉格朗日的发现。五个点当三个天体中有一个非常小时，比如太阳和地球附近的一艘飞船，这些解就变成空间中的五个位置。放在其中任意一处的飞船会和地球一起绕太阳转动，相对于两者的位置始终不变。日地系统的五个拉格朗日点。L1、L2 和 L3 位于连接两个天体的直线上；L4 和 L5 与它们构成等边三角形，分别在地球前方 60° 和后方 60°。Euler’s Eyes 绘图 L1 在地球和太阳之间，那里地球的引力抵消了太阳引力的一小部分。 L2 在地球的另一侧，那里两者的引力相加。 L3 在太阳的另一侧，比地球稍远一点。 L4 和 L5 是等边三角形的顶点。 L2 的计算为什么 L2 在 150 万千米之外，而不是别处？一个物体位于地球外侧距离 $r$ 处，它到太阳的距离是 $R+r$，其中 $R$ 是日地距离。要和地球一起转动，它必须用同样的时间，也就是一年，绕太阳一周。离太阳更远时，单靠太阳的引力不足以做到这一点；地球的引力朝同一方向拉，补上了缺少的部分。写出总引力与沿曲线运动所需的力相等的关系，并利用 $r$ 远小于 $R$，就得到一个简单的公式：

October 14, 2026 阅读

欧几里得式的毕达哥拉斯定理

在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角的两边上的正方形之和。 — 欧几里得，《几何原本》命题 I.47 早在希腊人之前，埃及的测量员每次尼罗河泛滥后都要重新划定田界，他们被称为拉绳人。据说他们用一根打了 12 个等距结的绳子：拉成边长 3、4、5 的三角形，就得到一个直角。巴比伦人知道的要多得多：约公元前 1800 年的一块泥板普林顿 322，列出了许多边长为整数的直角三角形，有些非常大，比如 3 367、3 456 和 4 825。本站旧的几何课程从最简单的例子讲起： $$3^2+4^2=9+16=25=5^2,\qquad 6^2+8^2=36+64=100=10^2.$$埃及人和巴比伦人缺少的，是这个关系对所有直角三角形都成立的证明。传统上把它归于公元前六世纪的毕达哥拉斯，但他的证明没有一个流传下来。我们所有的最古老的证明是欧几里得的，即第一卷的倒数第二个命题。（在中国，这一关系称为"勾股定理"。）风车证明设三角形 $ABC$ 在 $A$ 处为直角，直角边 $AB=c$，$AC=b$，斜边 $BC=a$。在每条边上各作一个正方形。得到的图形像一架风车，这个证明因此得名；阿拉伯数学家称之为"新娘的椅子"。命题 I.47 的图。从 A 引出的高（虚线）把斜边上的正方形分成两个矩形：左边的与 AB 上的正方形面积相等，右边的与 AC 上的正方形面积相等。Euler’s Eyes 绘图欧几里得的思路是，过 $A$ 作 $BC$ 的垂线，把 $BC$ 上的大正方形分成两个矩形，然后证明每个矩形都与一个小正方形面积相等。证明只用到两个已证明的事实： I.4：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，面积相等。 I.41：与平行四边形同底同高的三角形，面积是平行四边形的一半。对左边的矩形，欧几里得考察两个以 $B$ 为顶点的三角形。第一个由 $B$、$A$ 以及下方正方形中位于 $B$ 正下方的顶点构成；第二个由 $B$、$C$ 以及 $AB$ 上的正方形中与 $B$ 相邻且不是 $A$ 的那个顶点构成。这两个三角形有两边对应相等，一边是 $AB$ 上正方形的边，一边是 $BC$ 上正方形的边，而且夹角相等：都是三角形的一个角加上一个直角。由 I.4，它们面积相等。

October 14, 2026 阅读

索菲·热尔曼素数与密码学

如果素数 $p$ 满足 $2p+1$ 也是素数，就称 $p$ 为索菲·热尔曼素数。5 是，因为 11 是素数。7 不是，因为 $15=3\cdot5$。这个序列是这样开始的： $$2,\ 3,\ 5,\ 11,\ 23,\ 29,\ 41,\ 53,\ 83,\ 89,\ 113,\ 131,\ldots$$与每个 $p$ 对应的素数 $2p+1$ 称为安全素数：$5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, \ldots$ 索菲·热尔曼在她的费马定理中需要它们。两个世纪后，它们在保护互联网连接。会用完吗？ 100 以内有 10 个索菲·热尔曼素数；1000 以内有 37 个。它们越来越稀少，但一直在出现。没有人能证明它们有无穷多个。这是一个悬而未决的问题，与孪生素数猜想属于同一类，后者问的是：像 $11$ 和 $13$ 这样相差 2 的素数对是否有无穷多个。链有时这个操作可以重复。从 $2$ 开始： $$2\to5\to11\to23\to47,$$全都是素数，直到 $2\cdot47+1=95$ 不是。这样的序列称为坎宁安链，以 20 世纪初研究它们的英国军人兼数学家艾伦·坎宁安命名。从 89 开始的链也很长：$89\to179\to359\to719\to1439\to2879$，连续六个素数。欧拉与拉格朗日的一个定理梅森数 $2^p-1$ 是寻找巨大素数时最受青睐的候选者。欧拉提出、拉格朗日在 1775 年证明了：安全素数会让这场寻找扫兴。如果 $p$ 是索菲·热尔曼素数，且 $p\equiv3\pmod4$，那么 $2p+1$ 整除 $2^p-1$。

October 14, 2026 阅读