在十八世纪，微积分是一台威力惊人而又有点神秘的机器。欧拉把发散级数加起来，却能从中得到正确的结果；拉格朗日试图把一切建立在幂级数上；书里谈论着“无穷小”的量，方便时它是零，不方便时又不是零。这套东西管用，但没有人能确切解释为什么管用。 《分析教程》 1821 年，柯西出版了《皇家综合理工学院分析教程》，内容是他给未来的工程师们讲的课。他在序言中宣布，要赋予分析学“几何学所要求的全部严格性”。一切从一个定义开始： 当同一个变量相继取得的值无限地趋近于一个固定的值，以至于最终与它的差可以随意地小，这个固定的值就称为所有其他值的极限。 — 奥古斯丁-路易·柯西，《分析教程》（1821） 1821 年《分析教程》的扉页：第一部分，代数分析。柯西署名为桥梁与道路工程师、综合理工学院教授、科学院院士。Augustin-Louis Cauchy · 维基共享资源 · CC0 从此，无穷小不再是神秘的量：它只是一个极限为零的变量。例如，当 $n$ 增大时，$\frac{1}{n}$ 是一个无穷小，因为任给一个小数，$\frac{1}{n}$ 最终会比它小，而且再也不会回头。 连续函数 第二个定义是连续。对欧拉来说，连续函数是由单一公式给出的函数。柯西换了一个着眼于函数行为的观念： 如果对于给定界限之间的每个 x 值，差 f(x + α) − f(x) 的数值随着 α 的数值无限地减小，那么函数 f(x) 在这两个界限之间就是连续的。 — 奥古斯丁-路易·柯西，《分析教程》（1821） 用今天的话说：自变量的微小增量只引起函数的微小变化。四十年后，魏尔斯特拉斯用每个学生都熟悉的字母写下了这一点：对每个 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得只要 $|\alpha| < \delta$，就有 $|f(x+\alpha) - f(x)| < \varepsilon$。这两个字母本身在柯西 1823 年的证明中就已经出现。 介值定理 有了这个定义，柯西证明了一个人人都觉得显然的事实：如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号，那么在 $a$ 和 $b$ 之间存在一点使 $f$ 等于零。捷克人伯纳德·波尔查诺在 1817 年发表过一个证明，但几乎没人读过。