纳什均衡：谁也无法单独改善
均衡点是这样一个 n 元组：如果其他人的策略保持不变，每个参与者的混合策略都使他自己的收益最大。
— 约翰·纳什，《美国国家科学院院刊》（1950） 1944 年，约翰·冯·诺伊曼和经济学家奥斯卡·摩根斯特恩出版了《博弈论与经济行为》，这部巨著把战略决策变成了数学：纸牌游戏、战争、市场。冯·诺伊曼的重大成果适用于两人零和博弈，即一方之所得就是另一方之所失，比如国际象棋或扑克。但生活中大多数情形并非如此：在贸易协定、谈判或交通中，双方可以一起赢，也可以一起输。
1949 年，一个 21 岁的学生找到了适用于任何博弈、任意多参与者的思想。
思想 在一场博弈中，每个参与者选择一个策略，每个人的结果取决于所有人的选择。纳什均衡是这样一种策略组合：在其他人保持各自策略不变时，没有任何参与者能通过单独改变策略而获益。
用符号表示：若 $s_i^*$ 是参与者 $i$ 的策略，$s_{-i}^*$ 表示其他人的策略，$u_i$ 是参与者 $i$ 的收益，则
$$\boxed{u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq u_i(s_i,s_{-i}^*)\quad\text{对每个参与者 }i\text{ 和每个策略 }s_i.}$$在均衡中，每个人都在给定别人所做的事情的条件下尽力而为。谁也不后悔自己的选择。
广场还是咖啡馆？ 安娜和布鲁诺约好下午见面，却忘了说在哪里，而且两人都没带手机。每人可以去广场或咖啡馆。两人都更喜欢咖啡馆，但最重要的是碰面。收益（先安娜、后布鲁诺）如下：
安娜 / 布鲁诺 广场 咖啡馆 广场 (2, 2) (0, 0) 咖啡馆 (0, 0) (3, 3) 逐一检验每种组合。在（咖啡馆，咖啡馆），如果安娜单独改去广场，她的收益从 3 变成 0；布鲁诺也一样。谁都不想改变：这是一个均衡。在（广场，广场），单独改变会让各自从 2 变成 0：这也是一个均衡！而在（广场，咖啡馆），安娜改去咖啡馆会获益，所以不是均衡。
这个博弈有两个均衡，其中一个对两人都更好。纳什的概念指出哪些组合是稳定的，却不说哪一个会发生。实际上，起决定作用的是惯例、习惯、两人常去的地方。
囚徒困境 1950 年，也就是纳什论文的同一年，兰德公司的两位研究员梅里尔·弗勒德和梅尔文·德雷希尔设计了一个博弈来检验这个想法，数学家阿尔伯特·塔克把它讲成两个囚犯的故事。警察抓住两名同伙，把他们分开审讯。每人可以沉默，也可以告发对方。刑期（以年计）如下：
A / B 沉默 告发 沉默 (1, 1) (10, 0) 告发 (0, 10) (5, 5) 站在囚犯 A 的角度想。如果 B 沉默，A 沉默判 1 年，告发判 0 年：告发更好。如果 B 告发，A 沉默判 10 年，告发判 5 年：告发更好。无论 B 怎么选，告发对 A 都更好。 同样的推理对 B 也成立。唯一的纳什均衡是（告发，告发），各判 5 年。
