阿基米德的书里有完美的证明，却不说他是怎样得到这些结果的。许多世纪以来，数学家们一直怀疑他有一种秘密的方法。他们猜对了，而这种方法是在最意想不到的地方找到的。 致埃拉托色尼的信 有些东西我最初是用力学的方法弄清楚的，之后还必须用几何来证明，因为用这种方法所做的研究并不构成证明。但是，先用这种方法对问题有了一些了解，再去找证明，当然比毫无了解时容易得多。 — 阿基米德，《方法》，致埃拉托色尼的信 我们称之为《关于力学定理的方法》的这篇著作，是写给地理学家昔兰尼的埃拉托色尼的一封信。在信中，阿基米德透露了他的做法：把图形想象成由无穷多个极薄的薄片组成，并在杠杆上称量它们，把它们与一个已知图形的薄片逐片比较。 称量球 最漂亮的例子是球。把半径为 $r$ 的球，以及底面半径为 $2r$、高为 $2r$ 的圆锥和圆柱，沿杠杆的臂放置，使它们的轴与臂重合。在距支点 $x$ 处，用一个垂直于臂的平面把它们都切开。用一点几何知识可知，球的截面面积为 $\pi\left(2rx - x^2\right)$，圆锥的为 $\pi x^2$，圆柱的为 $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$。于是 $$\text{球的截面} + \text{圆锥的截面} = \pi \cdot 2rx.$$阿基米德把球和圆锥的截面移到杠杆另一端、距支点 $2r$ 处，而把圆柱的截面留在原处，距离为 $x$。两边力矩相等： $$2r \cdot \pi \cdot 2rx = x \cdot 4\pi r^2.$$由于每一片都是如此，整个球和圆锥挂在距离 $2r$ 处，就与重心在距离 $r$ 处的整个圆柱平衡。根据杠杆定律： $$2r\,(V_{\text{球}} + V_{\text{圆锥}}) = r\,V_{\text{圆柱}} \quad\Longrightarrow\quad V_{\text{球}} = \frac{1}{2}\cdot 8\pi r^3 - \frac{8}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3.$$这正是他后来在球与圆柱中严格证明的体积。把无穷多个薄片加起来，这是积分学的核心思想，比牛顿和莱布尼茨早了十八个世纪。 祈祷书 大约公元 950 年，君士坦丁堡的一位抄写员把阿基米德的几部著作抄在羊皮纸上。1229 年，一位修士需要羊皮纸来做一本祈祷书：他拆开这部抄本，刮掉墨迹，把每页从中间裁开，转过来，在上面写下祷文。这样重复使用的抄本叫作重写本。