Euler's Eyes
2026-10-22
第一章练习——弧和角
分辨率的练习展示了一种方法；以下要求应用它。在打开答案之前尝试每一项。
足弓测量
以弧度表示 $225^\circ$。
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简单的三法则：
$$\begin{array}{rcl} 180^\circ & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 225^\circ & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{225 \cdot \pi}{180} = \frac{5\pi}{4} \text{ rad}.$$以弧度表示：a)$210^\circ$； b）$240^\circ$； c) $270^\circ$； d）$300^\circ$； e) $315^\circ$； f) $330^\circ$。
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a) $\dfrac{7\pi}{6}$ 弧度 b) $\dfrac{4\pi}{3}$ 弧度 c) $\dfrac{3\pi}{2}$ 弧度 d) $\dfrac{5\pi}{3}$ 弧度 e) $\dfrac{7\pi}{4}$ 弧度 f) $\dfrac{11\pi}{6}$ 弧度
以度为单位表示 $\dfrac{11\pi}{6}$ rad。
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以度表示：a) $\dfrac{\pi}{6}$ rad； b) $\dfrac{\pi}{4}$ 弧度； c) $\dfrac{\pi}{3}$ 弧度； d) $\dfrac{2\pi}{3}$ 弧度； e) $\dfrac{3\pi}{4}$ 弧度； f) $\dfrac{5\pi}{6}$ 弧度。
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a) $30^\circ$ · b) $45^\circ$ · c) $60^\circ$ · d) $120^\circ$ · e) $135^\circ$ · f) $150^\circ$
圆弧的尺寸为 30 厘米，圆的半径为 10 厘米。计算弧度的测量值（以弧度为单位）。
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以弧度为单位的测量值是弧长与半径长度之间的比率：
$$\text{medida de } \overset{\frown}{AB} \text{ em rad} = \frac{\text{comprimento do arco } \overset{\frown}{AB}}{\text{comprimento do raio}} = \frac{30 \text{ cm}}{10 \text{ cm}} = 3 \text{ rad}.$$在半径为 10 cm 的圆上，标记一条弧 $\overset{\frown}{AB}$，使得弦 $\overline{AB}$ 的尺寸为 10 cm。计算弧度的测量值（以弧度为单位）。
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线段 $\overline{AB}$ 具有半径：它是内切于圆的正六边形的边。因此，最小圆弧 $\overset{\frown}{AB}$ 是圆周的 $\dfrac{1}{6}$，并且测量
$$\frac{1}{6} \times 2\pi \text{ rad} = \frac{\pi}{3} \text{ rad}.$$度分为 $60'$（60 分钟），分钟分为 $60''$（60 秒）。例如，$30'$的弧是$0{,}5^\circ$的弧。将弧度转换为弧度：a) $22^\circ 30'$; b) $31^\circ 15' 45''$。
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a) $22^\circ 30' = 22 \times 60' + 30' = 1350'$ 和 $180^\circ = 180 \times 60' = 10\,800'$。然后
$$\begin{array}{rcl} 10\,800' & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 1350' & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{1350 \cdot \pi}{10\,800} = \frac{\pi}{8} \text{ rad}.$$b) $31^\circ 15' 45'' = 31 \times 3600'' + 15 \times 60'' + 45'' = 112\,545''$ 和 $180^\circ = 180 \times 3600'' = 648\,000''$。然后
$$\begin{array}{rcl} 648\,000'' & \longleftrightarrow & \pi \text{ rad} \\ 112\,545'' & \longleftrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{112\,545 \cdot \pi}{648\,000} \approx \frac{112\,545 \cdot 3{,}1416}{648\,000} \approx 0{,}54563 \text{ rad}.$$将 1 rad 的弧度转换为度数。
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进行除法，$\dfrac{180}{3{,}1416} \approx 57{,}2956$。整数部分给出$57^\circ$。余数 $0{,}2956^\circ$ 乘以 60 变为分钟：$0{,}2956 \times 60 \approx 17{,}738'$，即 $17'$。新的余数 $0{,}738'$ 乘以 60 变为秒：$0{,}738 \times 60 \approx 44''$。所以
$$1 \text{ rad} \approx 57^\circ 17' 44''.$$该图将 1 rad 与 $60^\circ$ 进行比较：在 等边三角形 侧 $r$，弦尺寸为 $r$，$60^\circ$ 的弧度大于 $r$；长度为 $r$ 的弧稍早结束于 $57^\circ 17' 44''$。
以弧度表示弧度 $a$ 和 $b$ 的测量值，使得 $a - b = 15^\circ$ 和 $a + b = \dfrac{7\pi}{4}$ rad。
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$a = \dfrac{11\pi}{12}$ 弧度和 $b = \dfrac{5\pi}{6}$ 弧度
以度数表示弧度 $a$、$b$ 和 $c$ 的测量值，使得 $a + b + c = 13^\circ$、$a + b + 2c = \dfrac{\pi}{12}$ rad 和 $a + 2b + c = \dfrac{\pi}{9}$ rad。
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$a = 4^\circ$, $b = 7^\circ$ e $c = 2^\circ$
角度测量
计算图中角度 $a\hat{O}b$ 的尺寸（以度为单位）。
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$\alpha = \dfrac{\ell}{r} = \dfrac{3}{10}$ 弧度。转换为度数：
$$\begin{array}{rcl} \pi \text{ rad} & \longrightarrow & 180^\circ \\ \dfrac{3}{10} \text{ rad} & \longrightarrow & x \end{array} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{\frac{3}{10} \times 180^\circ}{\pi} = \frac{54^\circ}{3{,}1416} \approx 17^\circ 11' 19''.$$计算半径为 $r = 10$ cm、圆心角为 $60^\circ$ 的圆中定义的弧 $\overset{\frown}{AB}$ 的长度 $\ell$。
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转换为弧度后，圆心角 $a\hat{O}b$ 的测量值为 $\alpha = \dfrac{\pi}{3}$ rad。然后
$$\alpha = \frac{\ell}{r} \;\Longrightarrow\; \ell = \alpha \cdot r = \frac{\pi}{3} \cdot 10 \approx \frac{31{,}416}{3} \approx 10{,}472 \text{ cm}.$$计算圆心角 $a\hat{O}b$ 的尺寸，该尺寸确定半径为 $r$ 的圆中长度为 $\dfrac{2\pi r}{3}$ 的弧。
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$\alpha = \dfrac{2\pi}{3}$ 弧度，或 $120^\circ$
计算半径为 7 cm、圆心角为 4,5 rad 的圆中定义的弧 $\overset{\frown}{AB}$ 的长度 $\ell$。
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$\ell = 31{,}5$ 厘米
计算正在滴答作响的时钟的指针形成的最小角度：a) 1 h； b) 1 小时 15 分钟； c) 1 小时 40 分钟。
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a) 表盘上的数字将圆周分成 12 等份，每份为 $30^\circ$。在 1 h 处，大指针位于 12，小指针位于 1：指针形成 $30^\circ$ 的凸角。
b) 在 60 分钟内，小指针经过 $30^\circ$；在 15 分钟内，它移动了 $\alpha$ 角度，使得
$$\frac{\alpha}{15} = \frac{30^\circ}{60} \;\Longrightarrow\; \alpha = 7{,}5^\circ = 7^\circ 30'.$$在 1 h 15 分钟，大手位于 3（从 1 到 $60^\circ$），小手从 1 前进到 $\alpha$。它们之间的角度是
$$\theta = 60^\circ - \alpha = 60^\circ - 7^\circ 30' = 52^\circ 30'.$$c) 在 40 分钟内，小指针移动经过 $\beta$，使得 $\dfrac{\beta}{40} = \dfrac{30^\circ}{60}$，即 $\beta = 20^\circ$。大指针位于 8、$150^\circ$ 和 1 处（5 个分区）。然后
$$\varphi = 150^\circ + \beta = 150^\circ + 20^\circ = 170^\circ,$$甚至是 $\varphi = 180^\circ - \gamma = 180^\circ - 10^\circ = 170^\circ$，其中 $\gamma = 10^\circ$ 是小指针需要到达 2 的位置，与 8 相反。
查看互动时钟.
计算时钟指针形成的最小角度，其读数为：a) 2 h 40 min； b) 5 小时 55 分钟； c) 6 小时 30 分钟。
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a) $160^\circ$ · b) $152^\circ 30'$ · c) $15^\circ$
三角循环
将循环分成12等份，使用$A$作为分割点之一。确定图像作为分割点的数字$x \in [0, 2\pi[$。
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每个部分的尺寸为$\dfrac{1}{12} \cdot 2\pi = \dfrac{\pi}{6}$，$P$是$x$在$\overset{\frown}{AP} = x$时的图像。像这样：
| $x$ 的图像 | $A$ | $P_1$ | $P_2$ | $B$ | $P_3$ | $P_4$ | $A'$ | $P_5$ | $P_6$ | $B'$ | $P_7$ | $P_8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\pi$ | $\frac{7\pi}{6}$ | $\frac{4\pi}{3}$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $\frac{5\pi}{3}$ | $\frac{11\pi}{6}$ |
将循环分成8等份，使用$A$作为分割点之一。确定以图像为分割点的数字组$x \in [0, 2\pi[$。
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| $x$ 的图像 | $A$ | $P_1$ | $B$ | $P_2$ | $A'$ | $P_3$ | $B'$ | $P_4$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\pi$ | $\frac{5\pi}{4}$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $\frac{7\pi}{4}$ |
指出循环中各数字的图像： a) $\dfrac{3\pi}{4}$; b）$-\dfrac{5\pi}{4}$； c) $11\pi$； d）$-3\pi$； e) $\dfrac{25\pi}{3}$； f) $-\dfrac{19\pi}{6}$。
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a) $\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3}{8} \cdot 2\pi$：我们以逆时针方向从$A$标记一条等于周期$\dfrac{3}{8}$的路线$\overset{\frown}{AP}$。
b) $-\dfrac{5\pi}{4} = -\dfrac{5}{8} \cdot 2\pi$：从 $A$ 开始，我们标记一条等于周期 $\dfrac{5}{8}$ 的路线，顺时针方向。
c) $11\pi = \pi + 10\pi$。由于$11\pi - \pi$是$2\pi$的倍数，因此数字$11\pi$和$\pi$具有相同的图像，$A'$。
d) $-3\pi = \pi - 4\pi$。由于$(-3\pi) - \pi$是$2\pi$的倍数，因此$-3\pi$和$\pi$具有相同的图像，$A'$。
e) $\dfrac{25\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{24\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 8\pi$。因此，$\dfrac{25\pi}{3}$和$\dfrac{\pi}{3}$具有相同的图像$P$，通过沿逆时针方向标记等于循环的$\dfrac{1}{6}$的路径$\overset{\frown}{AP}$获得。
f) $-\dfrac{19\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{24\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} - 4\pi$。因此 $-\dfrac{19\pi}{6}$ 和 $\dfrac{5\pi}{6}$ 具有相同的图像。作为$\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{5}{12} \cdot 2\pi$，图像是路径$\overset{\frown}{AP}$等于周期$\dfrac{5}{12}$的终点，沿逆时针方向。
在循环中指示实数图像$\dfrac{\pi}{8}$、$\dfrac{11\pi}{8}$、$-\dfrac{3\pi}{8}$、$-\dfrac{7\pi}{8}$、$\dfrac{13\pi}{6}$、$-\dfrac{15\pi}{2}$、$\dfrac{17\pi}{4}$和$-\dfrac{31\pi}{4}$。
查看答案
请注意$\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi$、$-\dfrac{15\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} - 8\pi$、$\dfrac{17\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 4\pi$和$-\dfrac{31\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} - 8\pi$。
表示循环中的一组数字的图像
$$E = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\} \qquad\text{e}\qquad F = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = k\,\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}.$$查看分辨率
对于 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$：
- $k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}$（图像$B$）；
- $k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{2}$（图像$B'$）；
- $k = 2 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{2}$（重复$B$）。
集合$E$具有点$B$和$B'$作为其图像。
对于 $x = k \cdot \dfrac{\pi}{2}$：
- $k = 0 \Rightarrow x = 0$（图像$A$）； $\;k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2}$（图像$B$）；
- $k = 2 \Rightarrow x = \pi$（图像$A'$）； $\;k = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3\pi}{2}$（图像$B'$）；
- $k = 4 \Rightarrow x = 2\pi$（重复$A$）。
集合$F$具有点$A$、$B$、$A'$和$B'$作为其图像。
表示循环中实数集的图像
$$E = \{x \in \mathbb{R} \mid x = k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\} \qquad F = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{k\pi}{3},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$$$$G = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{3} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\} \qquad H = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x = \frac{\pi}{4} + k\,\frac{\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$$查看答案
$E$：点$A$和$A'$； $F$：顶点为$A$的正六边形的顶点； $G$：$\dfrac{\pi}{3}$和$\dfrac{4\pi}{3}$的图像，截然相反； $H$：顶点位于 $\dfrac{\pi}{4}$、$\dfrac{3\pi}{4}$、$\dfrac{5\pi}{4}$ 和 $\dfrac{7\pi}{4}$ 的正方形的顶点。