纳皮尔的两个点：对数的定义
纳皮尔没有我们今天使用的指数记号。为了定义对数，他借助一幅运动的图景，那时离牛顿和莱布尼茨创立微积分还早得很。
定义 设想两个点同时出发。第一个点 $P$ 沿长度为 $10^7$ 的线段 $AB$ 运动，它每一时刻的速度都等于离 $B$ 还剩的距离：开始很快，然后不断减速，永远到不了终点。第二个点 $Q$ 沿一条无限长的直线运动，速度始终等于 $P$ 的初速度。
当 $P$ 离 $B$ 的距离为 $x$ 时，$Q$ 走过的距离就是 $x$ 的对数。
请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。
为什么是 $10^7$？纳皮尔想要的是正弦的对数，正弦用于天文和航海。当时正弦不是 0 到 1 之间的数，而是一个大半径圆中半弦的长度，这样可以避免分数。纳皮尔取半径为 $10^7$，于是正弦是至多八位的整数。
今天的算法 有了微积分，这个定义就成了一个微分方程。设 $P$ 剩下的距离为 $x(t)$，速度为 $-x'(t)=x(t)$，且 $x(0)=10^7$。解为
$$x(t)=10^7e^{-t}.$$点 $Q$ 以恒定速度 $10^7$ 运动，所以走过了 $y=10^7t$。消去 $t$：
$$\boxed{\operatorname{NapLog}(x)=10^7\ln\frac{10^7}{x}.}$$例如，当 $P$ 走到一半时，$x=5\,000\,000$，
$$\operatorname{NapLog}(5\,000\,000)=10^7\ln2\approx6\,931\,472.$$注意，纳皮尔的对数随 $x$ 增大而减小，并且 $\operatorname{NapLog}(10^7)=0$。公式里藏着数 $e\approx2.71828$，它要到一个多世纪后才由欧拉命名。纳皮尔从未写出它，但他的对数除去比例因子之外，就是以 $1/e$ 为底的对数。
乘积变成和 由公式可以得出使对数表有用的性质。因为 $\ln$ 把乘积变成和，
$$\operatorname{NapLog}\!\left(\frac{xy}{10^7}\right)=\operatorname{NapLog}(x)+\operatorname{NapLog}(y).$$因子 $10^7$ 很麻烦：每次做乘法都要记得除以它。这是纳皮尔和布里格斯在 1615 年决定编一张新表、令 $\log1=0$、$\log10=1$ 的原因之一。
