平面几何 — 互动书

5 章中的练习 — 并行性

练习和决议 130 由于直线$a$与直线$b$平行，因此在以下情况下确定$x$： Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Ver respostaa) $50^{\circ}$ · b) $60^{\circ}$

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三角关系的后果

任意三角形的内角和为180°。这也许是继毕达哥拉斯定理之后最著名的几何定理。谁发现的普罗克洛斯引用罗德岛的尤德穆斯的话，将三角形的角加起来等于两个直角的第一个一般性证明归因于毕达哥拉斯学派（公元前6-5世纪）。评论员Gemino补充说，古人已经分别证明了等边三角形、等腰和不等腰的事实。我们得到的版本是欧几里得的几何原本的命题I.32，它也证明了外角等于两个不相邻内角之和。雅典学院的人物归因于罗德岛的尤德穆斯 (Eudemus of Rhodes)；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事该证明使用一条平行于一侧的边——因此取决于第五条假设。这不是一个细节：在非欧几里得几何中，三角形的内角和与 180° 不同。例如，在球体的表面上，它总是更大。法国沙特尔大教堂（12 世纪）皇家大门上的雕塑中，毕达哥拉斯属于文科人物之一。欧拉之眼博客的集合。勒让德18 世纪末证明，如果没有第五条公设，三角形之和永远不会超过 180°，并且如果单个三角形的和恰好为 180°，则所有三角形都会超过 180°。据说高斯，在测量德国三座山之间的一个大三角形时，他会检查总和是否为180°；历史学家们争论这是否是其意图。阿德里安-玛丽·勒让德，朱利安-利奥波德·布利的漫画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域卡尔·弗里德里希·高斯。克里斯蒂安·阿尔布雷希特·詹森 (1792–1870) · 维基共享资源 · 公共领域在日常生活中 **撕掉角。**剪出一个纸三角形，撕掉三个角并将它们连接在一起：它们形成一个浅角。屋顶。知道屋顶的坡度（例如，30°）并且剪刀顶部是对称的，木匠计算顶部的角度：120°。 **地形。**测量三角形地形的三个角度时，测量员检查总和是否为180°；差异表示测量误差。 **导航。**飞行员和领航员计算航线三角形的第三个角度与其他两个角度的关系。来源：元素，命题 I.32 · 毕达哥拉斯 (MacTutor) · 勒让德 (MacTutor)。

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并行的存在唯一性

平行线穿过直线之外的一点。只有一次通过是几何史上讨论最多的说法。谁发现的这存在并行的证明是欧几里得（提案 I.31）。这独特性取决于你的第五假设，许多人试图将其转化为定理。今天学校使用的形式——“一条平行线穿过直线之外的一点”——被称为普莱费尔公理，因为苏格兰约翰·普莱费尔，他在 1795 年普及了它，尽管 Proclus 已经阐述过它。 1829年，俄国人尼古拉·罗巴切夫斯基发表了一种几何学，其中有无限多条平行线通过。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域约翰·普莱费尔.亨利·雷伯恩爵士（去世 1823）· 维基共享资源 · 公共领域尼古拉·罗巴切夫斯基，列夫·克留科夫的肖像。Lev Kryukov · 维基共享资源 · 公共领域故事两千多年来，数学家们试图证明第五条公设，而其他公设包括古代的托勒密和普罗克洛斯，伊本·海瑟姆, 奥马尔·海亚姆和纳西尔·丁·图西在伊斯兰世界，吉罗拉莫·萨切里（1733），兰伯特和勒让德在欧洲。每个人最终都在没有意识到的情况下使用了某种相当于公设本身的陈述。克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域伊本·海赛姆（Ibn al-Haytham），后来的艺术代表。阿道夫·博伊 (Adolph Boÿ)，由杰里米亚斯·法尔克 (Jeremias Falck) 雕刻。用作 Johannes Hevelius 的卷首插画，Selenographia，1647 · 维基共享资源 · 公共领域奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam），后来的艺术代表。Alireza Javaheri · 维基共享资源 · CC BY 3.0 Nasir al-Din al-Tusi，后来的艺术代表。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域阿德里安-玛丽·勒让德，朱利安-利奥波德·布利的漫画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域当 Lobachevsky (1829) 和匈牙利人 János Bolyai (1832) 独立接受公设的否定并获得没有矛盾的几何时，转折点出现了。高斯得出了相同的想法，但从未发表。第五条公设不是一个定理：它是一个选择，本书的几何学就是采用它的。

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平行线

平行线永远不会相交——然而，在透视图中，它们似乎在地平线上相交。谁发现的经典的定义来自欧几里得（c. 300 BC），在几何原本的定义I.23中：平行线是在同一平面内并且在两个方向上无限延伸且不相交的线。由横向（交替、对应、并列）形成的角度之间的关系是命题 I.27 到 I.29。哲学家波西多尼乌斯（公元前一世纪）提出了另一个定义，即直线总是处于相同的距离； Proclus 记录了这场辩论。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域波西多尼乌斯，后来的艺术代表。Sailko · 维基共享资源 · CC BY 3.0 故事为什么不将平行线定义为“等距”线，这样看起来更自然？因为要证明两条不相交的直线总是处于相同的距离需要第五条公设——而希腊人已经怀疑它很微妙。欧几里得选择了依赖于较少假设的定义，并首先证明了他在没有假设的情况下所能做到的一切：命题 I.27 和 I.28 不使用它，而 I.29 则使用它。平行和横向：比较角度是演示方法的一部分。来自博客的原始教学插图。在文艺复兴时期，Filippo Brunelleschi (c. 1415) 和Leon Battista Alberti (1435) 表明，在透视绘画中，必须绘制会聚到消失点的平行线。因此，射影几何诞生了，其中“平行线相交于无穷远”。菲利波·布鲁内莱斯基。马萨乔； Sailko 复制，MenkinAlRire 剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂。莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂；国家美术馆复制品 · 维基共享资源 · CC0 在日常生活中 **火车轨道。**它们需要平行：如果它们之间的距离发生变化，火车就会脱轨。 **道路车道和停车位。**它们平行绘制以组织交通。 **百叶窗和笔记本板条。**等距平行线。 **摄影。**在一张笔直街道的照片中，平行的人行道似乎在地平线上相遇——文艺复兴的消失点。来源：元素，定义 I.23 · 元素，命题 I.29 · Proclus (MacTutor)。

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阅读：欧几里得和演绎几何

进一步阅读 Leitura 欧几里得和演绎几何公元前338，希腊受马其顿统治。亚历山大大帝将希腊文化带到了东方，并建立了数十座城市。其中之一，位于埃及的亚历山大，将在数学史上发挥非凡的作用。在亚历山大之后统治埃及的托勒密在那里创建了博物馆，这是一个由国家维护的研究和教学中心。他的图书馆有近 700 一千卷纸莎草纸。克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域博物馆最早也是最著名的数学家之一是欧几里得（约公元前 300 BC），但人们对他的生平几乎一无所知。据说，当托勒密问是否有更短的学习几何的方法时，他回答说：“几何学中没有真正的方法。” 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域他的名声源自于几何原本，共十三本书：这是迄今为止最古老的希腊数学完整文本。自第一个印刷版1482以来，已有一千多个版本。欧几里得从五个常见概念、五个公设和一些定义推导出467定理。两千年来，几何原本一直是优秀数学的典范。随着时间的推移，逻辑缺陷被发现（例如，使用从未陈述过的连续性假设），但它们几乎没有削弱这项工作的伟大性和影响力。

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4 章中的练习 — 三角形

练习和决议练习 80 — 分类为真 (V) 或假 (F) 所有等腰三角形都是等边。 VF Falso. 等腰三角形可以具有与其他边不同的底边。所有等边三角形都是等腰。 VF Verdadeiro. 它有（至少）两个一致的侧面。不等边三角形可以是等腰。 VF Falso. 斜角没有两个全等的边。每个等腰三角形都是一个锐角三角形。 VF Falso. 有等腰矩形和钝角。每个直角三角形都是不等边三角形。 VF Falso. 等腰矩形（45°、45°、90°）是一个反例。有直角三角形和等腰三角形。 VF Verdadeiro. 双腿一致。有等腰三角形钝角。 VF Verdadeiro. 钝顶角，如120°、30°、30°。每个锐角三角形要么是等腰三角形，要么是等边。 VF Falso. 存在不等角直角，例如50°、60°、70°。 ↻ Recomeçar

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三角形中的不等式

在每个三角形中，每条边都小于其他两条边的总和。古人曾戏言“驴都知道”。谁发现的三角不等式是欧几里得的几何原本的命题I.20（c. 300 BC）；最大边和最大角之间的关系在命题I.18和I.19中。线段是两点之间最短路径的想法很早以前就很直观。欧几里得的优点是根据之前的结果展示它。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事普罗克洛斯（公元 5 世纪）说，伊壁鸠鲁派嘲笑欧几里得证明了三角不等式：他们说，即使是驴子也知道通往干草的直线路径比绕过它要短。普罗克洛斯回答说，感知一个事实并不等于知道它为什么是真的。演示表明，结果取决于飞机的属性，因此可能不再适用于其他几何形状，例如地球表面。 20世纪，三角不等式成为定义数学中任何“距离”的三个规则之一。它出现在分析、统计和计算中，远离三角形。在日常生活中 **草地上的捷径。**穿过广场和花园的小径表明，人们在实践中知道对角线比两边都短。 **三根棍子能形成一个三角形吗？**只有当最大的一根棍子小于另外两根棍子的总和时。 2 cm、3 cm 和 6 cm 杆未闭合。 **送货路线。**物流算法使用三角不等式来排除永远不可能更短的偏差。屋顶。在一把剪刀中，与最大角度相反的一侧是最长的梁 - 正如命题 I.18 和 I.19 所说。来源：元素，命题 I.20 · 元素，命题 I.18 · Proclus (MacTutor)。理论与结构 Teorema · 最大角与最大边相对如果三角形的两条边不相等，则它们相对的角也不相等，最大的角与最大的边相对：$BC > AC \Rightarrow \hat{A} > \hat{B}$。 **倒数：**最大角度与最大边相对：$\hat{A} > \hat{B} \Rightarrow a > b$。查看演示**直接。**将$D$与$\overline{CD} \equiv \overline{CA}$一起带入$\overline{BC}$。由于 $BC > AC$、$D$ 位于角度 $C\hat{A}B$ 的内部，因此 $C\hat{A}B > C\hat{A}D$。 $\triangle CAD$ 与底边 $\overline{AD}$: $C\hat{A}D \equiv C\hat{D}A$ 等腰。而$C\hat{D}A$是$\triangle ABD$的外角，因此$C\hat{D}A > A\hat{B}D$。加入：$C\hat{A}B > C\hat{D}A > A\hat{B}C$，即$\hat{A} > \hat{B}$。 **倒数。**如果是$BC < AC$，根据直接定理我们会得到$\hat{A} < \hat{B}$；如果是$BC \equiv AC$，则通过等腰三角形、$\hat{A} \equiv \hat{B}$。两者都与假设相矛盾，因此$BC > AC$。

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三角形全等

两个三角形什么时候是彼此的“副本”？六项不必检查，选三项就够了。谁发现的带有作者姓名的最古老的标准是真主（一侧和两个相邻的角）。普罗克洛斯，引用罗德岛的尤德穆斯的话，说米利都的泰勒斯（公元前6世纪）用它来计算船只在海上的距离。案例展示鲎试剂（提案 I.4）， LLL (I.8) 和真主 (I.26) 位于元素的欧几里得（约公元前 300 年）。 1899年，大卫·希尔伯特表明 LAL 案例需要被接受为公理。雅典学院的人物归因于罗德岛的尤德穆斯 (Eudemus of Rhodes)；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域大卫·希尔伯特.身份不明的摄影师 · 维基共享资源 · 公共领域故事为了证明 LAL 的情况，欧几里得“移动”一个三角形并将其放置在另一个三角形的顶部——即所谓的叠加法。自古以来，评论家就指出没有任何假设认可这一运动。许多人接受了这个证据；其他人，例如文艺复兴时期的数学家 Jacques Peletier (1557) 则批评了它。

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概念、要素和分类

三角形是最简单、最有用的多边形：任何其他多边形都可以分为三角形。谁发现的自埃及和美索不达米亚以来，三角形就出现在装饰品、建筑和面积计算中：莱茵纸莎草纸（约公元前 1650 BC）已经提出了有关三角形土地面积的问题。至今使用的分类来自欧几里德（c. 300 BC）。在几何原本的定义I.20和I.21中，他通过边（等边、等腰和不等边角）和角（矩形、钝角和直角）来分隔三角形。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事这些名称是希腊语和描述性的：isosceles 意思是“平等的腿”，scalene 意思是“跛脚”或“不平等”。等边三角形有一个重要的地位：它是几何原本（命题 I.1）的第一个构造，由两个圆圈和一把尺子组成。《几何原本》第一个英文版的扉页，由 Henry Billingsley 翻译于 1570。该版本体现了该作品后来的流通。亨利·比林斯利编辑；查尔斯·托马斯·斯坦福大学的复制品 · 维基共享资源 · 公共领域。几何原本被手工抄写了一千多年，被翻译成阿拉伯语、拉丁语和英语，并在威尼斯以 1482 首次印刷。它是继《圣经》之后历史上版本最多的书籍之一。在日常生活中 **信托。**屋顶、金属桥梁和起重机使用三角形，因为当侧面固定时它们不会变形。 **自行车。**传统的框架由两个三角形组成，这使得它既轻又坚固。标志。“让路”标志是颠倒的等边三角形，汽车的安全三角形是等边。 3D 图形。游戏和动画电影中的角色和场景是由数千个三角形组成的网格。来源：元素，定义 I.20 · 元素，命题 I.1 · 欧几里德 (MacTutor)。理论与结构 Definição · 三角形给定三个非共线点 $A$、$B$ 和 $C$，线段 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$ 和 $\overline{BC}$ 的交点称为三角形 $ABC$： $$\triangle ABC = \overline{AB} \cup \overline{AC} \cup \overline{BC}.$$

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3 - 角度一章中的练习

练习和决议下面的计算器逐步计算练习 29 到 33 的度、分和秒。先尝试解决它并用它来检查。输入角度并选择操作。它显示了每个步骤：60”变为1’，60’变为1°。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 29 简化以下测量： a) $30^{\circ}70^{\prime}$ · b) $45^{\circ}150^{\prime}$ · c) $65^{\circ}39^{\prime}123^{\prime\prime}$ · d) $110^{\circ}58^{\prime}300^{\prime\prime}$ · e) $30^{\circ}56^{\prime}240^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $31^{\circ}10^{\prime}$ · b) $47^{\circ}30^{\prime}$ · c) $65^{\circ}41^{\prime}3^{\prime\prime}$ · d) $111^{\circ}3^{\prime}$ · e) $31^{\circ}$ 30 确定总和： a) $30^{\circ}40^{\prime} + 15^{\circ}35^{\prime}$ · b) $10^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime} + 15^{\circ}29^{\prime}20^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $46^{\circ}15^{\prime}$ · b) $26^{\circ}0^{\prime}5^{\prime\prime}$ 31 确定差异： a) $20^{\circ}50^{\prime}45^{\prime\prime} - 5^{\circ}45^{\prime}30^{\prime\prime}$ · b) $31^{\circ}40^{\prime} - 20^{\circ}45^{\prime}$ · c) $90^{\circ}15^{\prime}20^{\prime\prime} - 45^{\circ}30^{\prime}50^{\prime\prime}$ · d) $90^{\circ} - 50^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $15^{\circ}5^{\prime}15^{\prime\prime}$ · b) $10^{\circ}55^{\prime}$ · c) $44^{\circ}44^{\prime}30^{\prime\prime}$ · d) $39^{\circ}29^{\prime}15^{\prime\prime}$

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直角、锐角和钝角 — 测量

为什么完整的转弯具有 360 度，而不是 100？答案在于美索不达米亚天文学。谁发现的名称直角、锐角和钝角来自欧几里得，他在几何原本中定义了它们（定义I.10到I.12）：直角是与其补邻角相等的角；锐的，比直的小；钝的，最大的。度的测量有另一个起源，即巴比伦天文学，如下面好奇的“为什么是 360 度？”中所述。分钟和秒这两个词来自Claudius Ptolemy（公元2世纪）的拉丁语翻译。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域故事欧几里得从未以度为单位测量角度。对他来说，直角是自然单位：一个角“等于两个直角”或“小于一个直角”，他的第四条公设指出所有直角都相等。数值测量来自天文学家，他们需要定位天空中的恒星和行星。节点天文学大成，托勒密将每个度数细分为以 60 为基数的分数。在拉丁语翻译中，它们变成了主要细节部分和次要微小零件 —“第一小部分”和“第二小部分”—，分钟和秒的来源。角度 21° 12′ 22″ 以托勒密的希腊方式、拉丁语和葡萄牙语书写：分和秒来自六十进制部分。来自博客的原始教学插图。在法国大革命中，人们尝试将直角与米一起分成 100 部分，即 grad。该单位在科学计算器的“GRAD”模式下仍然存在，但学位已经过期。在日常生活中 **瓦工的正方形。**确保墙壁和地板以直角相交。地理坐标。纬度和经度是以度、分和秒为单位测量的角度。演习。“To Give 180”是颠倒意思；滑板上的“360”就是一个完整的转弯。指南针。飞机或轮船的航向以从北开始的度数给出：90° 为东，180° 为南。来源：元素，假设 4 · 托勒密 (MacTutor) · 元素，定义 I.10。

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一致性和比较

复制一个角度并将其分成两半是经典的结构。然而，两千多年来，将其分成三等份一直是数学家面临的挑战。谁发现的这两个结构位于欧几里德（c. 300 BC）的几何原本中：命题I.9将一个角度分成两半（a 角平分线），并且I.23 将给定角度复制到另一条直线上。用尺子和圆规将角度三等分（将任何角度分成三等分）在1837被法国人Pierre Wantzel证明是不可能的，当时他才刚过20岁。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事三等分是三个古典希腊问题之一，另外两个是立方加倍和圆的平方。希腊人能够使用特殊的曲线或带有标记的尺子来解决这个问题——阿基米德给出了这样的解决方案——但绝不仅仅使用没有标记的尺子和指南针。阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域角平分线将开口分成两个相等的角度：相等的长度有助于建立比较。来自博客的原始教学插图。 Wantzel 将问题转化为代数：使用尺子和圆规的每个构造都相当于求解 2 度方程，而三等分 60° 的角度需要一个无法约简到它们的 3 度方程。业余爱好者寄给杂志的“三分”至今仍然出现；他们都有一些错误。在日常生活中 **木匠的suta。**它是一个“角度复制器”：它复制屋顶或楼梯的坡度以供切割——实践中的I.23命题。斜接。要闭合装饰线条和踢脚板上的 90° 角，每块都在 45° 处切割：在角平分线处从直角切割。折叠。无需任何工具，将纸张的一侧折叠到另一侧标记角平分线上。 **台球。**球离开球台的角度与到达时的角度相同。来源：元素，命题 I.9 · 元素，命题 I.23 · Wantzel (MacTutor)。理论与结构 Postulado · 角度全等角度的同余（符号$\equiv$）是一个原始概念，满足：反射： $\widehat{ab} \equiv \widehat{ab}$。 **对称：**如果 $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$，则 $\widehat{cd} \equiv \widehat{ab}$。 **传递：**如果 $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$ 和 $\widehat{cd} \equiv \widehat{ef}$，则 $\widehat{ab} \equiv \widehat{ef}$。 **角度传递：**给定平面的角度 $A\hat{O}B$ 和射线 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$，在该平面中，直线 $O^{\prime}A^{\prime}$ 确定的每个半平面中都存在一条射线 $\overrightarrow{O^{\prime}B^{\prime}}$，它与 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$ 形成与 $A\hat{O}B$ 一致的角度 $A^{\prime}\hat{O^{\prime}}B^{\prime}$。

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