平面几何 — 互动书

Hero Image
阅读：勒让德：走向严谨和说教的几何

进一步阅读 Leitura 勒让德：走向严谨和说教的几何学 在古希腊，公理似乎意味着所有研究领域的共同真理，而公设则意味着特定领域的真理。欧几里得假设了五个公设——其中，从任何一点到任何另一点都可以画一条直线，每条有限的直线都延伸，以任何圆心和半径都可以画一个圆，直角相等，以及著名的第五条平行线——以及五个公理，例如“相同的事物相等”和“整体大于部分”。从那时起，几何原本 就在没有练习或应用的情况下滔滔不绝地讲述定理：以现代标准来看，这是一篇不太具有说教意义的文本。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 在 18 世纪的法国，有几本书似乎使欧几里得更容易理解，但许多书籍牺牲了严谨性。一个值得注意的例外是 Adrien-Marie Legendre 的几何元素 (1752–1833)。勒让德在他的研究中大放异彩——在椭圆函数和数论方面，他完整地阐述了二次互反律——而他的几何学著作则兼具严谨性和说教性，在作者生前在法国出版了二十个版本。在1809中，它在里约热内卢被翻译，并在次年创建的皇家军事学院采用。大约四十年来，勒让德试图证明第五条公设不同于其他公设——正如我们现在所知，这是一项不可能完成的任务——但即使在这些尝试中，他也表现出了巨大的创造力。 阿德里安-玛丽·勒让德，朱利安-利奥波德·布利的漫画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域

October 11, 2026 阅读
Hero Image
12 章中的练习 — 泰勒斯定理

练习和决议 413 用$r$、$s$和$t$平行线确定下面每种情况下$x$的值。 Ver respostaa) 3 · b) 12 · c) 15 · d) 6 414 在图中，线$r$、$s$和$t$是平行的。确定$x$和$y$的值。 Ver respostaa) $x = \dfrac{10}{3}$ · b) $x = \dfrac{25}{6}$ · c) $x = \dfrac{10}{3}$ e $y = \dfrac{18}{5}$ 415 图中，$\overline{MN}$与三角形$ABC$的底边$\overline{BC}$平行。计算$x$的值。 Ver resposta$x = 25$ 416 图中，$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$。计算$AB$的值。 Ver resposta$AB = 18$ 417 图中，计算$x$的值。 Ver resposta$x = 24$

October 11, 2026 阅读
Hero Image
角平分线 定理

三角形角的角平分线将其对边分成与另外两条边成比例的部分。 谁发现的 内角平分线定理是欧几里得的几何原本的命题VI.3（c. 300 BC）。带有外部的角平分线并不存在于希腊文本中：它是由苏格兰人Robert Simson在其1756的几何原本版本中作为第六卷的“命题A”添加的，该版本是英国一个多世纪以来几何教学的基础。这两个 角平分线 与阿波罗尼乌斯圈子有关，由佩尔加的阿波罗尼乌斯（公元前 3 世纪）研究。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 罗伯特·西姆森.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 佩尔加的阿波罗尼乌斯，后来的艺术表现。乔瓦尼·巴蒂斯塔备忘录 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 阿波罗尼乌斯证明，与两个固定点的距离之比恒定的点形成一个圆。内、外角平分线在分割比率的两个点处切割线段，这两点是该圆的直径的端点。 平行线按比例切割三角形的边；辅助三角形允许面积证明。来自博客的原始教学插图。 欧几里得的证明使用与 角平分线 相似的方法，并依赖于上一主题中的泰勒斯定理。这是 几何原本 的结果如何相互支持的另一个示例。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 **迫害。**阿波罗尼乌斯之环对追捕者以两倍于逃亡者的速度设法追上的情况作出回应：可能的交汇点形成了这个圆圈。 按比例划分。 角平分线 一个角上的栅栏将三角形土地的正面与其他边按比例划分。 照明。 在具有两个功率不同的极点的正方形中，从每个极点接收相同光的点形成一个阿波罗尼乌斯圆。 光学。 在镜子中，反射光线与法线形成相等的角度，其作用相当于入射光线和出射光线之间的 角平分线。 来源： 元素，命题 VI.3 · Robert Simson (MacTutor) · Apollonius (MacTutor)。 理论与结构 Teorema · 内部 角平分线 定理 三角形的内部 角平分线 将相对边分成（相加）线段与相邻边成比例。当 $\overline{AD}$ 为内部 角平分线、$DB = x$ 和 $DC = y$（带有 $x + y = a$）时： $$\frac{x}{c} = \frac{y}{b}.$$

October 11, 2026 阅读
Hero Image
泰勒斯定理

一束平行线将两条横截线切割成成比例的部分。正是基于这个想法，一块板被分成相等的部分，而不需要做任何数学计算。 谁发现的 结果被称为米利都传说（公元前 6 世纪），传统上与​​通过阴影测量大金字塔的高度相关（请参阅本章开头对此的好奇）。我们知道的演示来自欧几里德，在几何原本（约公元前300）的命题VI.2中，并使用三角形的面积。这一结果被称为“塔尔斯定理”，这是巴西、葡萄牙、法国、西班牙和意大利等国家的传统；在德语和英语中，同一个名称指的是半圆内切的角。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 没有记录表明泰勒斯证明了该定理。消息来源称，他使用比例来测量高度和距离。欧几里得的证明也需要适用于不可通约的线段，这就是为什么它基于第五卷中 Eudoxus 的比例理论。 这个名字似乎在 19 世纪末就出现在法国教科书中，并从那时起进入了巴西的教学。泰勒斯对半圆角的看法更为古老，来自第欧根尼·拉尔西奥 (Diógenes Laércio)。 第欧根尼·拉埃西奥（Diógenes Laércio），后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 将木板分成相等的部分。 木匠将卷尺倾斜在木板上，直到从边缘到边缘适合“圆形”测量（例如 30 厘米到 5 部分），并从 6 到 6 厘米进行标记：标记将宽度分成相等的部分。 **比例。**地图、模型和平面图保持原始比例。 **板条和网格。**等距平行线将任何斜线切成相等的部分。 **透视图。**设计师使用比例来分隔绘图中分开的柱子和窗户。 来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 VI.2 · 元素，书 V。 理论与结构 Definição · 平行和横向梁 平行线束是一组彼此平行的共面线。 梁的横截面是平面中与梁的所有直线相切的直线。 两条横截面的对应点位于梁的同一条直线上； 相应的段在相应的点处有端点。 Propriedade · 一致的零件 如果两条直线是一束不同平行线的截线，其中一条线段被分为 $p$ 个全等部分，且该束直线经过分界点，则另一条截线的相应线段也被分为 $p$ 个全等部分彼此全等。

October 11, 2026 阅读
Hero Image
11 - 圆上的角度一章的练习

练习和决议 377 在下列情况下确定角度$x$的值： Ver respostaa) $35^{\circ}$ · b) $100^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$ · d) $25^{\circ}$ · e) $50^{\circ}$ · f) $20^{\circ}$ 378 在下列情况下确定圆弧$x$的值： Ver respostaa) $80^{\circ}$ · b) $30^{\circ}$ · c) $60^{\circ}$ 379 图中，计算$x$的值。 Ver respostaa) $35^{\circ}$ · b) $10^{\circ}$ 380 图中，计算$\alpha$的值。 Ver respostaa) $65^{\circ}$ · b) $50^{\circ}$ 381 图中，计算圆弧$\overset{\frown}{ABC}$的值。 Ver respostaa) $130^{\circ}$ · b) $245^{\circ}$ 382 在图中，计算$x$。 Ver respostaa) $70^{\circ}$ · b) $98^{\circ}$ · c) $150^{\circ}$ 383 图中，用$\overset{\frown}{ABC} = 260^{\circ}$计算$\alpha$的值。 Ver resposta$\alpha = 80^{\circ}$

October 11, 2026 阅读
Hero Image
偏心角

当角的顶点位于圆的内部或外部，但不在圆心或圆上时，该角就是偏心角，其测量值是两条弧的平均值。 谁发现的 偏心角的公式没有说明 元素，但它们直接来自命题 三、20 的 欧几里得 （内切角）与 I.32 （三角形的外角）。与它们相关的最著名的问题之一有一个作者：1471 年，德国天文学家 雷吉奥蒙塔努斯 问从多远的距离可以看到底座顶部的雕像 最大角度 可能的。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 雷吉奥蒙塔努斯。身份不明的录音机；史密森尼收藏 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 Regiomontanus 的答案是使用外偏心角。从地面上的任何一点，都可以看到雕像的角度是两个拱门之差的一半；当穿过脚和雕像顶部的圆周与地面相切时，角度最大。这是历史上第一批未经计算就解决的最大问题之一。 同样的推理也出现在橄榄球中：在尝试之后，踢球者沿着一条线选择他从最大可能角度看到柱子的点。 在日常生活中 **博物馆。**观看悬挂在眼睛上方的画作的最佳距离来自 Regiomontanus 问题。 **橄榄球。**转换点的选择遵循同样的原则。 电影院。 在第一行中，从一个大但非常倾斜的角度看到屏幕；偏心角度解释了为什么房间的中间是最好的。 **摄影。**要拍摄一个高物体，摄影师会寻找它占据视野最大角度的点。 来源： Regiomontanus (MacTutor) · 元素，命题 III.20 · 元素，命题 I.32。 理论与结构 Teorema · 内、外偏心角 内部：如果两条弦在不同于中心的内部点处相交，则它们之间的角度测量它及其相对顶点看到的弧的半圆：$x = \dfrac{a + b}{2}$。 外部：如果两条割线（或切线，或各一条）从外部点出发，则它们之间的角度测量截取弧的半差：$x = \dfrac{a - b}{2}$。 理由。 在内部情况下，$x$ 是一个三角形的外角，该三角形的两个不相邻的内角是内接的，测量值是 $\dfrac{a}{2}$ 和 $\dfrac{b}{2}$。在国外，$\dfrac{a}{2}$是具有内角$x$和$\dfrac{b}{2}$的三角形的外角。

October 11, 2026 阅读
Hero Image
线段角度（半内切）

弦和切线之间的角度也是弧的一半。因此，航海者使用功能强大的弓来躲避岩石。 谁发现的 线段角度的测量是 提案三.32 的 元素 的 欧几里得，以及建设 弓能力 — 以给定角度查看线段的点的位置 — 是 三、33。最著名的实际用途有两个名字：荷兰语 维勒布罗德·斯内利厄斯 (1617) 和法国人 洛朗·波特诺 （1692）解决了从穿过两条能力弧的三个已知点的角度发现自己位置的问题。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 维勒布罗德·斯内利厄斯。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 Snellius-Pothenot 问题是三角测量制图的基础。斯内利厄斯用它来测量荷兰城市之间的距离并估计地球的大小；测量员和水手应用它已经三个多世纪了，直到 GPS 出现。 沿海航海的古老雕刻：著名的塔楼和灯塔作为测量船舶角度的参考。欧拉之眼博客的集合。 航海家创造了一种称为危险角的技术：在海图上画一条弧线，穿过两座灯塔并绕过岩石。通过用六分仪测量前灯之间的角度，指挥官可以知道自己是在弧线之内还是之外，从而知道距离危险远还是近。 在日常生活中 **沿海导航。**导航课程中仍然教授危险角度作为 GPS 的替代方案。 地形。 Pothenot 问题从三个已知地标中定位场地中的一个点。 舞台和观众。 可用弧线显示从同一角度观看舞台的所有位置。 **体育。**在射门时，有效弧线表示与球门具有相同空位的点。 来源： 元素，命题 III.32 · 元素，命题 III.33 · Snellius (MacTutor)。 理论与结构 Definição · 刀头角度 线段角（或半内接）是一个顶点在圆上、一侧与其正割、另一侧与其相切的角度。该名称来自于它所确定的圆弧段。 Teorema · 线段角度测量 线段角度测量的是相应圆心角的一半，即相应弧线的一半：$\alpha = \dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2}$。

October 11, 2026 阅读
Hero Image
内切角

内切角等于他所看到的弧的一半。泰勒斯提出了一种特殊情况——半圆内切角是直角。 谁发现的 希腊传统归因于米利都传说（公元前六世纪）发现半圆内切的每个角都是正确的。 第欧根尼·拉埃西奥引用作家潘菲拉的话说，泰勒斯牺牲了一头牛来庆祝这一结果。一般关系——圆心角是同一条弧上内切角的两倍——就是欧几里德的几何原本的命题III.20，半圆的情况就是III.31。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 第欧根尼·拉埃西奥（Diógenes Laércio），后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 在德语和英语中，“泰勒斯定理”（Satz des Thales）正是半圆中的角度的定理，而不是我们将在第 12 章中研究的平行线的定理。牛的故事来自一位比泰勒斯晚八个世纪的作家，但它表明希腊人认为这一结果是一项了不起的成就。 圆心角和刻在同一拱形上：半径允许比较两个开口。来自博客的原始教学插图。 欧几里得的证明追踪通过内切角顶点的直径，并使用由半径形成的 等腰三角形。同样的推理得出命题 III.22：在内接四边形中，对角之和为 180°。 在日常生活中 **找到圆盘的中心。**将正方形的角靠在边缘上，并标记侧面与圆相切的位置：该线段是直径。在其他地方重复；两个直径的交点是中心。 **剧院和电影院。**同一圆弧上的座位从同一角度观看舞台。 **摄影。**为了使两座建筑物从同一角度出现，摄影师可以沿着穿过它们的弧线移动。 足球。 从相同角度看到球门开口的点位于圆周弧上。 来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 III.20 · 元素，命题 III.31。 理论与结构 Definição · 内切角 内切角是圆上的顶点和与圆相切的边所成的角。 $A\hat{V}B$中，圆弧$\overset{\frown}{AB}$为对应的圆弧，$A\hat{O}B$为对应的圆心角。 Teorema · 内切角的测量 内切角测量相应圆心角的一半，即相应弧的一半： $$\alpha = \frac{\beta}{2} = \frac{\overset{\frown}{AB}}{2}.$$

October 11, 2026 阅读
Hero Image
圆心角

圆心角的顶点位于圆的中心，其尺寸与所看到的弧相同。有了这个想法，地球的大小就被测量出来了。 谁发现的 圆心角与弧的关系是命题的基础 三.26 的 元素 的 欧几里得：在相等的圆中，相等的圆心角对应相等的弧。它最著名的用途是 昔兰尼的埃拉托色尼 （约公元前 276-194 年），亚历山大图书馆馆长，他从圆心角计算了地球的周长。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 昔兰尼的埃拉托色尼，后来的艺术表现。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 埃拉托斯特尼知道，夏至中午，太阳照亮了埃及南部锡耶纳的井底。与此同时，在亚历山大，晷针的影子显示太阳光线以 1/50 向后 (7,2°) 的角度到达。由于太阳光线实际上是平行的，因此该角度等于两个城市之间的地球圆心角。只需将锡耶纳 - 亚历山大距离乘以 50 即可。 中世纪学者拿着星盘，这是一种从刻度盘中心测量天空角度的仪器。欧拉之眼博客的集合。 结果在 250 000 个体育场附近，接近真实值，尽管不知道他使用的体育场到底有多长。这是第一次基于几何推理对地球的测量。 在日常生活中 饼图。由William Playfair在1801发明，它通过圆心角表示总数的每个部分：25％是90°。 **时钟指针。**指针之间的角度位于中心；在 2h 时，测量 60°。 摩天轮。 12 个舱室等距，每个舱室与下一个舱室的距离为 30°（从轴开始测量）。 **速度表和压力表。**指针绕中心旋转，中心角指示刻度上的值。 来源： Eratosthenes (MacTutor) · 元素，命题 III.26 · William Playfair (维基百科)。 理论与结构 Definição · 圆弧的中心角和尺寸 圆心角是顶点位于圆心的角。他所确定的弧线​​$\overset{\frown}{AB}$就是圆心角$A\hat{O}B$的对应弧（或者隐含）。 弧的测量是相应圆心角的测量：如果 $m(A\hat{O}B) = 60^{\circ}$，则 $m(\overset{\frown}{AB}) = 60^{\circ}$，反之亦然。为简单起见，我们对弧及其测量使用相同的符号 $\overset{\frown}{AB}$。

October 11, 2026 阅读
Hero Image
弧的同余、加​​法和不等式

如今，以度为单位测量弧度已变得非常自然，以至于我们忘记了它的来源：通过观察天空。 谁发现的 巴比伦天文学家将太阳在天空中的路径分为 12 个星座和 30 个星座，总计为 360 个星座。希腊人Hyparchus of Nicaea（公元前2世纪）将这种测量应用到几何学中，并创建了第一个已知的和弦表，它将每条弧与相应的和弦联系起来——三角学的开端。 Claudius Ptolemy 扩展了Almagest（约150 AD）中的表格，使用半度和弦。同圆弧的比较和求和遵循欧几里得的几何原本第三卷。 尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域 克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 对于古代天文学家来说，天空是一个围绕地球旋转的大球体，星星的位置是其上方的弧线。添加弧线、比较它们并了解两者何时相等是制作日历和预测日食的人们的日常工作。 天文学家在伊斯坦布尔塔基丁天文台研究 16 世纪的奥斯曼细密图。星盘和浑天仪等仪器测量天空的弧度。欧拉之眼博客的集合。 托勒密的桌子已经使用了一千多年。印度数学家用 正弦 替换了字符串，这对于计算来说更实用，而伊斯兰世界的天文学家（例如伊斯坦布尔天文台的天文学家）采用并改进了这些表格。 sine 这个词是通过阿拉伯语 jiba 的误译而传入拉丁语的。 在日常生活中 **时钟。**表盘被分成12等30°的弧；时针每小时移动一次。 时区。 地球以 24 小时自转 360°，每小时 15°：理论上，每个时区对应于经度 15° 的弧线。 **罗盘。**基点和旁点将圆周划分为 45° 的弧。 披萨和馅饼。 切成 8 个相等的切片是将边缘划分为 45° 的 8 个全等弧。 来源： Hiparchus (MacTutor) · 托勒密 (MacTutor) · Taqi al-Din（维基百科）。

October 11, 2026 阅读
Hero Image
章节练习 10 — 周长和圆

练习和决议 336 给定 $AB = 3x - 3$ 和 $OA = x + 3$，确定中心圆的半径 $O$。 Ver resposta$r = 12$ 337 该圆的半径为 16 厘米，点 $P$ 距离中心为 7 厘米。确定 $P$ 与圆周之间的距离。 Ver resposta9 厘米 338 确定以下情况下$x$的值： a) $s$垂直于$\overline{AB}$； b) $\overline{PA}$ 和 $\overline{PB}$ 与圆相切。 Ver respostaa) $x = 6$ · b) $x = 9$ 339 确定$x$的值，以$O$为圆心，在以下情况下： Ver respostaa) $125^{\circ}$ · b) $145^{\circ}$ 340 图形的圆周是外切线。如果中心之间的距离为 28 cm，半径之间的差为 8 cm，则确定半径。 Ver resposta18 厘米和 10 厘米

October 11, 2026 阅读
Hero Image
切线段 — 外接四边形

从圆外一点引出两条切线，到切点的两条线段长度相等。 谁发现的 切线段相等是欧几里得的几何原本的命题III.17的直接结果，该命题教导如何通过外点绘制切线。这就产生了皮托定理：在有内切圆的四边形中，对边之和相等。法国工程师 Henri Pitot 在 1725 中发表了它（请参阅下面关于他的好奇心）。 倒数（如果对边之和相等，则四边形有内切周长）已在 19 世纪得到证明，通常归因于 Jakob Steiner。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 亨利·皮托.未知作者未知作者 · 维基共享资源 · 公共领域 雅各布·斯坦纳。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 皮托定理的证明是一个很好的例子，说明了一个简单的性质如何产生很多结果：四边形的每个顶点都是圆外的一个点，并且有两个相等的切线段。将相对的边相加，每个线段在每个总和中恰好出现一次。 皮托的职业并不是数学家。作为一名水利工程师，他在法国南部建造了渡槽和桥梁，并发明了皮托管，可测量液体和气体的速度，并为现代飞机提供动力。 在日常生活中 **皮带和皮带轮。**包含两个皮带轮的皮带的直线部分与轮子相切；在相同的滑轮上，它们具有相同的长度。 **自行车链条。**它离开齿冠相切，到达棘轮相切。 **灯塔视图。**从灯塔顶部看，接触圆岛的两条视线到接触点为止的长度相同。 飞机的速度。 皮托管与该定理由同一位工程师发明，是测量飞机相对于空气的速度的传感器。 来源： 元素，命题 III.17 · 亨利·皮托 (Wikipedia) · Steiner (MacTutor)。 理论与结构 Teorema · 切线段 如果从点 $P$ 开始，我们驱动线段 $\overline{PA}$ 和 $\overline{PB}$，两者都与圆相切，$A$ 和 $B$ 在圆上，然后是 $PA = PB$。另外，中心位于$A\hat{P}B$的角平分线处。

October 11, 2026 阅读