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勒内·笛卡尔的一生

时间轴 1596出生于 3 月 31，法国都兰地区的拉哈耶。 1607进入欧洲最好的拉弗雷什耶稣会学校之一。 1616他毕业于普瓦捷大学法学专业。 1618他在荷兰加入了拿骚莫里斯的军队，并遇到了艾萨克·比克曼。 161911 月 10 的夜晚，他做了三个梦，并决定将其作为一项使命去实现。 1628他搬到了荷兰，在那里生活了大约 20 年。 1633停止发布 世界 得知伽利略被定罪后 1637发布方法论述，并附有附录几何。 1641出版第一哲学沉思。 1643他开始与波西米亚的伊丽莎白公主交换信件。 1649应瑞典女王克里斯蒂娜的邀请，他前往斯德哥尔摩。 1650于 11 二月在斯德哥尔摩去世。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1596 拉艾生于都兰地区的一个小镇，这个小镇如今为纪念他而改名为笛卡尔。 1607–1614 拉弗莱什在欧洲最好的学校之一、拉弗莱什的耶稣会学院读书，获准早上可以赖床。 1616 普瓦捷从普瓦捷大学获得法学学位。 1618 布雷达加入拿骚的莫里斯的军队，结识了以物理和数学问题考他的以撒·贝克曼。 1619 乌尔姆附近一个冬夜，在一间有火炉取暖的房间里，他做了三个梦，并决定把它们当作使命去追随。 1628–1649 荷兰在荷兰联省共和国住了大约二十年，多次搬家。1637 年在莱顿出版《方法论》及其附录《几何学》。 1649–1650 斯德哥尔摩应克里斯蒂娜女王之邀前往，女王要他清晨五点上课。1650 年 2 月 11 日死于肺炎。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 笛卡尔的道路：从都兰到荷兰，晚年又到瑞典。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 笛卡尔的道路：从法国到荷兰，在生命的尽头到达瑞典。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 阅读
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费马与解析几何：方程中的曲线

将近两千年里，几何与代数各自为政。希腊几何用直尺、圆规和图形工作；经阿拉伯人传入欧洲的代数则用方程工作。17 世纪初，有两个人在同一时间、互不商量地想到了把它们结合起来：勒内·笛卡儿和皮埃尔·德·费马。 开创一个领域的一句话 大约 1636 年，费马用拉丁文写了一篇短文《平面与立体轨迹引论》。“轨迹”是希腊人对满足某个条件的点的集合的称呼，比如圆，就是到圆心距离固定的点的轨迹。文章一开头，费马写道： 每当在最终方程中出现两个未知量时，我们就得到一条轨迹，其中一个未知量的端点描出一条直线或曲线。 — 费马，《平面与立体轨迹引论》 换句话说：一个含两个未知数的方程就是一条曲线。每个解 $(x,y)$ 是一个点，所有的解合在一起构成一幅图。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 谁先想到的？ 费马的文章从 1636 年起以手抄本形式流传，但直到他去世后的 1679 年才付印。笛卡儿的《几何学》于 1637 年作为《方法论》的附录出版，赢得了名声。如今历史学家承认两人都是解析几何的独立创立者。 直线 费马沿用韦达的写法，用元音字母表示未知数，用辅音字母表示已知数。直线被写成 “D in A aequetur B in E”，用今天的记号就是 $$D\cdot x=B\cdot y.$$解出 $y$：$y=\dfrac DB\,x$。这是一条过原点、斜率为 $\dfrac DB$ 的直线。费马证明了：关于 $x$ 和 $y$ 的每个一次方程都表示一条直线，每个二次方程都表示一条圆锥曲线：抛物线、椭圆、双曲线或圆。 抛物线 考虑坐标满足下式的点： $$y=x^2.$$$x=-2$ 时 $y=4$；$x=0$ 时 $y=0$；$x=2$ 时 $y=4$。描出许多点，就出现一条抛物线。方程的作用远不止生成一张表：不用画图，它就能告诉我们一个点是否在曲线上。点 $(3,9)$ 在，因为 $9=3^2$；点 $(2,5)$ 不在，因为 $5\neq2^2$。 两条曲线的交点 当我们想知道两个图形在哪里相交时，巨大的优势就显现出来了。用尺规作图，这可能非常困难；用方程，只需要求这个点同时满足两个方程。 抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=2x+3$ 在哪里相交？令两者相等：

October 11, 2026 阅读
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坐标：几何变成代数

​​Geometry的大思想是给平面上的每个点一对数字。我们选择两条线 垂线（轴），并且点通过距它们的距离 $x$ 和 $y$ 定位。今天 我们称之为[笛卡尔平面](/cn/posts/basic/inteiro/funcoes/planocartesiano/），在 向他致敬（Cartesius 是笛卡尔的拉丁名字）。 有了坐标，图形就变成了方程。请看三个例子。 来自几何图形 (1637) 的页面。字母 a、b 表示已知值，幂写在顶部。勒内·笛卡尔·公共领域 两点之间的距离。 点 $P = (x_1, y_1)$ 和 $Q = (x_2, y_2)$ 组成，其中 点 $(x_2, y_1)$，直角三角形的边 $x_2 - x_1$ 和 $y_2 - y_1$。由定理 毕达哥拉斯： $$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$ 拖动P和Q：三角形的边为Δx和Δy，距离来自毕达哥拉斯定理。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 圆。 以 $(a, b)$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆是一组点， 距中心的距离为 $r$。使用上面的公式并平方：

October 10, 2026 阅读
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带尺子和圆规的平方根

几何首先展示了算术运算可以用段来完成。最 美丽是平方根。查找 $\sqrt{a}$： 在直线上绘制一条长度为 1 的线段 $AB$，然后绘制一条长度为 $a$ 的线段 $BC$。 画一个直径为 $AC$ 的半圆。 垂直穿过 $B$，直到找到点 $D$ 处的半圆。 然后$BD = \sqrt{a}$。 改变a的值：高度BD始终是√a。对于 a = 4、9 或 2,25，根是精确的。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 为什么？ 每个与半圆内切且一侧为直径的三角形都是直角。 所以$ADC$是$D$中的矩形，$DB$是相对于斜边的高度。三角形 $ABD$ 和 $DBC$ 是相似的，这给出了 $$\frac{BD}{AB} = \frac{BC}{BD} \;\Longrightarrow\; BD^2 = AB \cdot BC = 1 \cdot a \;\Longrightarrow\; BD = \sqrt{a}.$$ 图中，$a = 4$：高度$BD$精确测量2个单位。 几何，第一本书：笛卡尔求解包含圆和直线（NLM 三角形和点 O）的二次方程。勒内·笛卡尔，1637·公共领域 笛卡尔也是在几何中建立了我们今天仍在使用的约定：最后一个字母 字母表中的（$x$、$y$、$z$）表示未知数，第一个（$a$、$b$、$c$）表示值 已知，指数写在顶部，如 $x^3$ 中所示。

October 10, 2026 阅读
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符号规则

多项式可以有多少个正根？笛卡尔给出了一个简单的规则： 根数 正数至多是连续系数之间的符号变化次数 （并且，正如所证明的 然后与它相差偶数）。 请参阅$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$。系数的符号为$+\ -\ +\ -$：三个变化。所以有 3 或 1 正根。实际上， $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$ 根为 1、2 和 3。 对于负根，将$x$更改为$-x$并再次计数： $(-x)^3 - 6(-x)^2 + 11(-x) - 6 = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6$。迹象都是负面的：无 交换，无负根。 又如：在$x^3 + x - 2$中，$+\ +\ -$信号只有一次交换。差异有多大 甚至，正好有一个正根，而且很容易找到：$x = 1$。 测试下面三个多项式的规则。金色箭头标记每个信号变化： 正根为金色，负根为紫色。最后一个多项式在 p(x) 中交换了 2，在 p(−x) 中交换了 2。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 阅读
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多面体的角度和欧拉公式

在立方体的一个顶点有三个正方形，它们的角度相加。 $3 \times 90° = 270°$。还剩 $90°$ 圈才能完成一圈：这是顶点的缺陷。由 在 1630 左右，笛卡尔发现，在凸多面体中，所有缺陷的总和 顶点始终为 720°。 多面体 顶点处的角度 缺点 顶点 和 四面体 3 × 60° = 180° 180° 4 720° 立方体 3 × 90° = 270° 90° 8 720° 八面体 4 × 60° = 240° 120° 6 720° 十二面体 3 × 108° = 324° 36° 20 720° 二十面体 5 × 60° = 300° 60° 12 720° 围绕顶点的面，在平面中打开。红色切片是缺陷，完成时剩下的角度360°。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 阅读
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接吻圈定理

在1643给伊丽莎白公主的信中，笛卡尔两两处理了四个相切圆。 将圆的曲率称为半径的倒数，$k = \frac{1}{r}$。该定理说 曲率满足 $$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$ 应用： 半径为 1 的三个相等的硬币两两接触。适合的圆的半径是多少 他们之间有洞？对于 $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ 和 $k_4 = k$： $$\begin{aligned} (3 + k)^2 &= 2(3 + k^2) \\ 9 + 6k + k^2 &= 6 + 2k^2 \\ k^2 - 6k - 3 &= 0 \\ k &= 3 \pm 2\sqrt{3}. \end{aligned}$$ 带符号$+$：$k = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46$，即半径$\approx 0{,}155$。就是中间那个小圆圈。 带有符号$-$：$k = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46$。负曲率表示圆 涉及其他三个，半径为$\approx 2{,}155$。 三枚硬币，中间的圆圈和包围一切的一枚。再次将笛卡尔定理应用于每个孔，阿波罗尼奥斯的垫圈就会出现。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 阅读
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为什么彩虹出现在42°

在流星中，笛卡尔使用折射定律解释了彩虹，他发表在 屈光度。当光从空气传播到水中时，它会弯曲 $$\sin i = n \cdot \sin r,$$ 其中 $i$ 是进入角，$r$ 是进入水中的角度，$n \approx \frac{4}{3}$ 是入水角。 （荷兰人 Willebrord Snell 以前也发现过同样的定律，但没有发表。这就是为什么它被称为 斯涅尔-笛卡尔定律。） 流星 (1637) 的原始图：太阳光线进入水滴并到达观察者的眼睛，左下角。勒内·笛卡尔·公共领域 笛卡尔想象一束阳光进入球形水滴，在内部反射并射出。 光线沿着这些角度离开，形成一个角度 $$\theta = 4r - 2i.$$ 他手动计算了光线进入液滴各个位置的角度。重做账户 与 $n = \frac{4}{3}$： 进入角度 $i$ $r$ 退出角度 $\theta = 4r - 2i$ 10° 7,5° 9,9° 20° 14,9° 19,5° 30° 22,0° 28,1° 40° 28,8° 35,3° 50° 35,1° 40,3° 55° 37,9° 41,6° 60° 40,5° 42,0° 65° 42,8° 41,3° 70° 44,8° 39,2° 80° 47,6° 30,5° 请注意右侧的柱子：它上升，达到 大约 42° 的最大值，然后再次下降。附近的 最大时，在非常不同的位置（从 50° 到 70°）进入的光线以几乎相同的角度退出。 光线在那里聚集，因此我们在太阳对面的点 42° 处看到一条明亮的弧线。

October 10, 2026 阅读
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笛卡尔和函数的思想

笛卡尔从未使用过“函数”这个词。但正是他让这个想法成为可能：在几何学中， 曲线不再仅仅是一幅图画，而是成为两个数字之间的关系，$x$ 和 $y$。 当一个改变时，另一个也跟着改变，遵循一定的规律。在这一部分中，我们将告诉您这个想法是如何产生的 名称、符号和图形。 以下五个主题展开了本次阅读以及随后的函数思想的历史。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 勒内·笛卡尔的所有主题 · ←为什么彩虹出现在42° · 《我思思》阅读：听力和口语 → 图片来源和来源.

October 10, 2026 阅读
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读《我思》：听和说

Cogito ergo sum 在笛卡尔平面上绘制。欧拉之眼系列 在欧拉之眼，我们喜欢将“我思故我在”视为一台小机器。这个想法 听到一些东西（拉丁语，audire）并且说另一个东西（fabulari）。约束什么的规则 您听到的是函数。 方法词 物理：自然； 方法：推理、路径； graphiko’s：线条、绘画； máthema：学到什么，破译的行为； functus：谁完成任务； dominus：领主，统治一词的由来。 一个例子：“说你听到的事情两次”。空括号充当等待的耳朵 一个数字： $$f = 2\,(\;\;) \qquad\text{hoje escrevemos}\qquad f(x) = 2x.$$ 括号 ( ) 作为耳朵：该函数期望听到一个数字。欧拉之眼系列 Dominus、functus 和 graphiko’s：领域、功能及其留下的痕迹。欧拉之眼系列 尝试使用三个规则的机器：$f = 2(\quad)$、$f = (\quad) - 2$ 和 $f = [(\quad) - 1]\cdot[(\quad) - 3]$。每个 听到的数字变成一个点 $(x;\ f(x))$，并且这组点形成图表，即graphiko 的 规则的：

October 10, 2026 阅读
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笛卡尔和大炮问题

古老雕刻中的大炮和炮兵。欧拉之眼系列 笛卡尔近距离经历了战争。在1618，他在拿骚莫里斯的军队中担任志愿者 根据他的第一位传记作者阿德里安·巴耶特 (Adrien Baillet) 的说法，他在 1628 围攻拉罗谢尔时，率领 由红衣主教黎塞留。在战场上，炮兵们面临着一个实际问题：用什么 倾斜大炮的角度来击中一定距离的目标？ 它是两个数字之间的关系：到目标的距离（炮手“听到”的声音）和枪的角度。 （他“说”什么）。伽利略在 1638 中表明，在没有空气阻力的情况下，子弹描述了 抛物线，范围$R$取决于角度$\theta$和退出速度$v$： $$R = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}, \qquad g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2.$$ 不同的角度，不同的轨迹。欧拉之眼系列 当子弹以 100 m/s 的速度离开时： 角度 15° 30° 45° 60° 75° 范围 510 m 884 m 1020 m 884 m 510 m 选择角度并拍摄。范围在 45° 处最大，加起来为 90° 的角度落在同一位置。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 10, 2026 阅读
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“功能”这个词

该词源自拉丁语 functus，动词 fungor 的分词：完成任务、锻炼 一项活动。该函数是将一个数字转换为另一个数字的“工作”。已经失效 是指不再执行任何职能的人，因此用词已失效。 函数的莱布尼茨符号，来自给约翰·伯努利的信。欧拉之眼系列 这个名字和符号花了一个多世纪才确立： 1637笛卡尔，在几何中，通过$x$和$y$之间的方程描述曲线。 1667James Gregory 将数量称为通过运算从其他人获得的数量 (Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura)。 1671牛顿调用不同流态的量（Methodus Fluxionum，仅在1736中发布）。 1673Leibniz 首次在手稿中使用了functio 这个词。 1698在 Leibniz 和 Johann Bernoulli 之间的信件中，该术语具有当今的数学含义。 1718Johann Bernoulli 给出了第一个定义：由变量和常量以任何方式组成的量。 1734Euler 创建符号 $f(x)$：“f(x) 表示 x 的任何函数”。 1748Euler，在Introductio 中，将函数置于计算的中心。 1797拉格朗日使用 $f'(x)$ 作为导数（Théorie des fonctions analytiques）。 1837Dirichlet 将函数定义为将每个 $x$ 与单个 $y$ 相关联的任何规则。 勒内·笛卡尔的所有主题 · ←笛卡尔和大炮问题 · Physis：破译自然的特征 → 图片来源和来源.

October 10, 2026 阅读