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13 章中的练习——三角形和点幂的相似性

练习和决议 445 图中的三角形$ABC$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$是相似的。若第1个与第2个的相似比为$\dfrac{3}{2}$，则确定：a)$a$、$b$和$c$； b) 它们的周长之比。 Ver respostaa) $a = 21$, $b = 18$ e $c = 15$ · b) $\dfrac{3}{2}$ 446 三角形 $ABC$ 和 $PQR$ 相似。确定$x$和$y$。 Ver resposta$x = 16$ e $y = 14$ 447 如果$\triangle KLM$与$\triangle FGH$相似，则确定$x$。 Ver resposta$x = 28$ 448 三角形 $ABC$ 的三条边的尺寸为 8 厘米、18 厘米和 16 厘米。确定与 $ABC$ 相似的三角形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ 的边，知道第一个与第二个的相似比等于 3。 Ver resposta$\dfrac{8}{3}$ 厘米、6 厘米和 $\dfrac{16}{3}$ 厘米 449 如果$\overline{DE}$与$\overline{BC}$平行，则在以下情况下确定$x$（在b中，$x = AD$）： Ver respostaa) 12 · b) 40

October 11, 2026 阅读
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点功率

相交在一个圆内的两条弦：其中一个部分的乘积等于另一个部分的乘积。有了这个想法，就可以计算出到地平线的距离。 谁发现的 这两种经典形式出现在欧几里德（公元前300）的几何原本中：关于相互切割的绳索的命题III.35，以及III.36，位于从同一外点绘制的割线和切线上。 点的幂这个名字是在很久以后的1826中由瑞士人Jakob Steiner创建的，他意识到无论点画出的直线是什么，乘积总是相同的。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 雅各布·斯坦纳。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 斯坦纳是 19 世纪合成几何领域的伟大人物之一。他是农民的儿子，在 14 岁时才学会写作，并最终成为柏林大学的教授。对他来说，点的力量是将欧几里得的几个定理整合成一个想法的一种方式。 两条弦相交于 P：两部分的乘积相等，如 Euclid III.35 中记录的结果。来自博客的原始教学插图。 这个概念引出了其他概念：两个圆的根轴是相对于两个圆具有相同幂的点的位置，这是当今在相切问题中使用的工具。 在日常生活中 距地平线的距离。 从海平面以上的高度 $h$ 开始，地平线的切线测量为 $d$，其中 $d^2 = h(2R + h)$，其中 $R$ 是地球的半径 (III.36)。在 1,7 米高度处，地平线距离约 4,7 公里。 **弓的半径。**测量弦$c$和箭头$s$（弓的高度），半径为$r = \tfrac{c^2/4 + s^2}{2s}$。修复者用它来重建旧的拱门和窗户。 **道路曲线。**测量员以相同的方式计算曲线的半径，在沥青上测量弦和箭头。 **透镜和镜子。**透镜的曲率半径是通过测量已知直径部分的深度获得的。 来源： 元素，命题 III.35 · 元素，命题 III.36 · Steiner (MacTutor)。

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相似性案例（标准）

为了确保两个三角形相似，不必检查所有内容：两个角度或三个边之间的比率就足够了。 谁发现的 这三个标准位于欧几里得的几何原本的第六册中（c. 300 BC）：三角形等角具有成比例的边（VI.4，情况AA），三角形具有三个比例边的情况类似 (VI.5, LLL)，并且两个之间角度相等的比例边也足够 (VI.6, LAL)。更早以前，传统将使用相同形状的三角形来测量难以到达的距离归因于故事。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 相似性标准是三角测量的工具，即测量整个国家的方法。在1615中，荷兰人Willebrord Snellius用一串三角形测量了阿尔克马尔和卑尔根奥普佐姆之间的距离，并估计了地球的大小。 18世纪，卡西尼号家族以同样的方式制作了第一张法国通用地图。 维勒布罗德·斯内利厄斯。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 塞萨尔·弗朗索瓦·卡西尼·德·图里。Jean-Marc Nattier (1685–1766) · 维基共享资源 · 公共领域 不同比例的相同形状的三角形：等角和成比例的对应边。来自博客的原始教学插图。 AA 外壳的功能尤其强大：即使从远处，也可以用简单的仪器测量两个角度，并保证所有边的比例。 在日常生活中 **河流的宽度。**河岸上标有两个相似的三角形，上面有木桩和瞄准器；过河的一侧按比例计算。 相机暗箱和眼睛。 物体及其图像形成相似的三角形，与孔中的顶点相对（案例 AA）。 **坡道和楼梯。**具有相同倾斜度的两个坡道具有相似的轮廓，无论长度如何。 正方形。 具有相同角度（45° 或 30° 和 60°）的不同大小的正方形是相似的。 来源： 元素，命题 VI.4 · 元素，命题 VI.6 · Snellius (MacTutor)。 理论与结构 Teorema · 第一种情况——AA（两个角度） 如果两个三角形有两个角有序全等，那么它们是相似的（因此具有比例同源的边）。

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三角形的相似度

当两个图形具有相同的形状时，即使它们的大小不同，它们也是相似的。这是照片、地图和模型的数学。 谁发现的 这个想法出现在关于米利都传说的故事中，他们通过将金字塔的影子与棍子的影子进行比较来测量金字塔的高度。完整的理论位于欧几里得（约公元前300）的几何原本第六册中，它将相似的图形定义为具有等角和比例边的图形。它取决于第五卷中Eudoxus of Cnidus（公元前 4 世纪）的比例理论，该理论也允许处理不可通约片段之间的比率。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 影子法成为一种工具。从中世纪开始，星盘和象限上就刻有阴影方，并有直本影和本影两种刻度，用来测量塔的高度和井的深度，无需复杂的计算。 旧雕刻：塔的高度是从观察者的两个位置用阴影（直本影和本影）的平方来测量的。欧拉之眼博客的集合。 大约公元前 270，萨摩斯岛的阿里斯塔克斯使用类似的三角形来估计从地球到月球和太阳的相对距离。这些数字与真实数字相去甚远，但比较天空中相似三角形的方法是正确的。 萨摩斯岛的阿里斯塔克斯，后来的艺术表现。克劳迪奥·卡莫齐·维基共享资源·公共领域 在日常生活中 **放大照片。**在不扭曲的情况下“缩放”时，所有测量值都会乘以相同的系数。 模型和微缩模型。 比例为 1 : 43 的购物车的每个尺寸都比真车小 43 倍。 **影子的建筑物高度。**同时将建筑物的影子与已知身高的人的影子进行比较。 **投影仪和相机。**屏幕或传感器上的图像与物体相似，大小与距离成正比。 来源： 故事 (MacTutor) · 元素，第六册 · Aristarchus (MacTutor)。 理论与结构 Definição · 相似三角形 两个三角形相似（符号$\sim$）当且仅当它们具有三个有序全等角和比例同调边： $$\triangle ABC \sim \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \iff \begin{cases} \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \\ \dfrac{a}{a^{\prime}} = \dfrac{b}{b^{\prime}} = \dfrac{c}{c^{\prime}} = k \end{cases}$$同源边（同源 = 相同，徽标 = 位置）在每个三角形中各有一个，并且是相反的全等角。数字$k$是相似率；如果 $k = 1$，则三角形全等。

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阅读：勒让德：走向严谨和说教的几何

进一步阅读 Leitura 勒让德：走向严谨和说教的几何学 在古希腊，公理似乎意味着所有研究领域的共同真理，而公设则意味着特定领域的真理。欧几里得假设了五个公设——其中，从任何一点到任何另一点都可以画一条直线，每条有限的直线都延伸，以任何圆心和半径都可以画一个圆，直角相等，以及著名的第五条平行线——以及五个公理，例如“相同的事物相等”和“整体大于部分”。从那时起，几何原本 就在没有练习或应用的情况下滔滔不绝地讲述定理：以现代标准来看，这是一篇不太具有说教意义的文本。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 在 18 世纪的法国，有几本书似乎使欧几里得更容易理解，但许多书籍牺牲了严谨性。一个值得注意的例外是 Adrien-Marie Legendre 的几何元素 (1752–1833)。勒让德在他的研究中大放异彩——在椭圆函数和数论方面，他完整地阐述了二次互反律——而他的几何学著作则兼具严谨性和说教性，在作者生前在法国出版了二十个版本。在1809中，它在里约热内卢被翻译，并在次年创建的皇家军事学院采用。大约四十年来，勒让德试图证明第五条公设不同于其他公设——正如我们现在所知，这是一项不可能完成的任务——但即使在这些尝试中，他也表现出了巨大的创造力。 阿德里安-玛丽·勒让德，朱利安-利奥波德·布利的漫画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域

October 11, 2026 阅读
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12 章中的练习 — 泰勒斯定理

练习和决议 413 用$r$、$s$和$t$平行线确定下面每种情况下$x$的值。 Ver respostaa) 3 · b) 12 · c) 15 · d) 6 414 在图中，线$r$、$s$和$t$是平行的。确定$x$和$y$的值。 Ver respostaa) $x = \dfrac{10}{3}$ · b) $x = \dfrac{25}{6}$ · c) $x = \dfrac{10}{3}$ e $y = \dfrac{18}{5}$ 415 图中，$\overline{MN}$与三角形$ABC$的底边$\overline{BC}$平行。计算$x$的值。 Ver resposta$x = 25$ 416 图中，$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$。计算$AB$的值。 Ver resposta$AB = 18$ 417 图中，计算$x$的值。 Ver resposta$x = 24$

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角平分线 定理

三角形角的角平分线将其对边分成与另外两条边成比例的部分。 谁发现的 内角平分线定理是欧几里得的几何原本的命题VI.3（c. 300 BC）。带有外部的角平分线并不存在于希腊文本中：它是由苏格兰人Robert Simson在其1756的几何原本版本中作为第六卷的“命题A”添加的，该版本是英国一个多世纪以来几何教学的基础。这两个 角平分线 与阿波罗尼乌斯圈子有关，由佩尔加的阿波罗尼乌斯（公元前 3 世纪）研究。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 罗伯特·西姆森.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 佩尔加的阿波罗尼乌斯，后来的艺术表现。乔瓦尼·巴蒂斯塔备忘录 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 阿波罗尼乌斯证明，与两个固定点的距离之比恒定的点形成一个圆。内、外角平分线在分割比率的两个点处切割线段，这两点是该圆的直径的端点。 平行线按比例切割三角形的边；辅助三角形允许面积证明。来自博客的原始教学插图。 欧几里得的证明使用与 角平分线 相似的方法，并依赖于上一主题中的泰勒斯定理。这是 几何原本 的结果如何相互支持的另一个示例。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 **迫害。**阿波罗尼乌斯之环对追捕者以两倍于逃亡者的速度设法追上的情况作出回应：可能的交汇点形成了这个圆圈。 按比例划分。 角平分线 一个角上的栅栏将三角形土地的正面与其他边按比例划分。 照明。 在具有两个功率不同的极点的正方形中，从每个极点接收相同光的点形成一个阿波罗尼乌斯圆。 光学。 在镜子中，反射光线与法线形成相等的角度，其作用相当于入射光线和出射光线之间的 角平分线。 来源： 元素，命题 VI.3 · Robert Simson (MacTutor) · Apollonius (MacTutor)。 理论与结构 Teorema · 内部 角平分线 定理 三角形的内部 角平分线 将相对边分成（相加）线段与相邻边成比例。当 $\overline{AD}$ 为内部 角平分线、$DB = x$ 和 $DC = y$（带有 $x + y = a$）时： $$\frac{x}{c} = \frac{y}{b}.$$

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泰勒斯定理

一束平行线将两条横截线切割成成比例的部分。正是基于这个想法，一块板被分成相等的部分，而不需要做任何数学计算。 谁发现的 结果被称为米利都传说（公元前 6 世纪），传统上与​​通过阴影测量大金字塔的高度相关（请参阅本章开头对此的好奇）。我们知道的演示来自欧几里德，在几何原本（约公元前300）的命题VI.2中，并使用三角形的面积。这一结果被称为“塔尔斯定理”，这是巴西、葡萄牙、法国、西班牙和意大利等国家的传统；在德语和英语中，同一个名称指的是半圆内切的角。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 没有记录表明泰勒斯证明了该定理。消息来源称，他使用比例来测量高度和距离。欧几里得的证明也需要适用于不可通约的线段，这就是为什么它基于第五卷中 Eudoxus 的比例理论。 这个名字似乎在 19 世纪末就出现在法国教科书中，并从那时起进入了巴西的教学。泰勒斯对半圆角的看法更为古老，来自第欧根尼·拉尔西奥 (Diógenes Laércio)。 第欧根尼·拉埃西奥（Diógenes Laércio），后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 将木板分成相等的部分。 木匠将卷尺倾斜在木板上，直到从边缘到边缘适合“圆形”测量（例如 30 厘米到 5 部分），并从 6 到 6 厘米进行标记：标记将宽度分成相等的部分。 **比例。**地图、模型和平面图保持原始比例。 **板条和网格。**等距平行线将任何斜线切成相等的部分。 **透视图。**设计师使用比例来分隔绘图中分开的柱子和窗户。 来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 VI.2 · 元素，书 V。 理论与结构 Definição · 平行和横向梁 平行线束是一组彼此平行的共面线。 梁的横截面是平面中与梁的所有直线相切的直线。 两条横截面的对应点位于梁的同一条直线上； 相应的段在相应的点处有端点。 Propriedade · 一致的零件 如果两条直线是一束不同平行线的截线，其中一条线段被分为 $p$ 个全等部分，且该束直线经过分界点，则另一条截线的相应线段也被分为 $p$ 个全等部分彼此全等。

October 11, 2026 阅读
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ENEM 2024 – 已解决的数学：问题 151 到 165

来源： INEP – 证明 和模板 第二天，笔记本 5 – 黄色。 ENEM 数学和技术测试 2024 于第二天进行，并将 从问题 136 到 180。这篇文章解决了问题 151 到 165。此处使用的编号是笔记本 5 – 黄色 的编号；我们 在其他笔记本中，相同的问题以不同的顺序出现。 模板 问题 主题 模板 151 气缸容积 D 152 仿射函数：趋势线 B 153 阅读图表：储罐填充 B 154 统计：算术平均值 C 155 圆扇形面积 E 156 相关功能：价格建模 B 157 流量和百分比 D 158 比例数量：单位 C 159 成本优化 C 160 一级方程 C 161 条形图和百分比 A 162 正交投影 C 163 比例和放大倍数 A 164 算术平均值 B 165 基本计数原理 B 问题 151：更大体积的圆柱形包装 陈述 某行业与一家果汁经销商建立合作伙伴关系，推出 市场上有两种类型的包装。为了制造这些包装， 工业上有矩形铝板，每块尺寸为 10 厘米 20 厘米。这些片材中的每一个都用于形成 包装，呈直圆柱体形状，随后接收 圆形底部和盖子。如图所示，取决于两者中的哪一个 扩展将用作高度，这两个选项形成可能的 包装。

September 26, 2026 阅读