孩子们 | Euler's Eyes

算术级数

从高斯的故事到公式的论证与高斯相关的学派叙述强调了总和两端的分组。这个想法在这个故事之外也是有效的：我们可以针对任何有限的算术级数来证明它。 **轮到您进行调查：**写出2、5、8、11、14，并在下面以相反的顺序写出相同的顺序。添加列。为什么每列的结果相同？了解来自圣安德鲁斯大学的 MacTutor 的历史来源。查看发现每列的总和为 16。五列总计80，但我们对序列进行了两次计数；它的总和是40。一般来说，即使 n 为奇数，2Sₙ = n(a₁ + aₙ) 也是如此。在上一篇文章中，我们讨论了算术级数的历史和思想。在这篇文章中，我们将更深入地探讨这个概念。算术级数与 PA 相比：识别模式并不能保证恒定的比率。定义：算术级数 (A.P.) 称为由以下给出的数列递推公式： $$ \begin{cases} a_1 = a \\ a_{n} = a_{n-1} + r, \text{ para todo } n \in\mathbb{N}, n\geq 2 \end{cases} $$ 其中 $a$ 和 $r$ 为实数。因此，A.P. 是一个序列，其中从第二个开始的每一项都是前一个与给定常数 $r$ 的总和。以下是算术级数的一些示例：

April 10, 2025 阅读

N次方根

算术酶根定义给定一个实数$a \geq 0$和一个整数$n \geq 2$，存在一个唯一的实数$b \geq 0$使得$b^n = a$。我们将数字 b 称为 a 的算术酶根，并用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示它，其中 a 称为被数，n 是索引。示例 $\sqrt[5]{32} = 2$ 因为 $2^5 = 32$ $\sqrt[3]{8} = 2$ 因为 $2^3 = 8$ $\sqrt{9} = 3$ 因为 $3^2 = 9$ $\sqrt[7]{0} = 0$ 因为 $0^7 = 0$ $\sqrt[6]{1} = 1$ 因为 $1^6 = 1$ 观察结果根据定义如下$(\sqrt[n]{a})^n = a$。我们在给定的定义中观察到： $\sqrt{36} = 6$ 而不是 $\sqrt{36} = \pm 6$

March 27, 2025 阅读

域名和图像

域名和图像定义：设 R 为 A 与 B 的关系。属于 R 的有序对的所有第一个元素组成的集合 D 称为 R 的域。 x 属于 R 的有序对的所有第二个元素的集合 Im 称为 R 的图像。 y 从 DCA 和 ImCB 的定义可以看出。示例：如果 A = {0,2,3,4} 且 B = {1,2,3,4,5,6} 关系 R = {(x,y) E A X B y 是 x} 的倍数，其定义域和图像是什么？使用箭头方案，很容易看出 D 是 A 中箭头出发的元素集合，Im 是 B 中箭头到达的元素集合，意思是： R = {(2.2), (2,4), (2,6, (3,3), (3,6) (4,4),)} D = {2,3,4} Im = {2,3,4,6}

March 21, 2025 阅读

正多边形的周长比

在之前的文章中我们讨论了斯图尔特定理，这里我们将讨论正多边形中的周长关系。圆和正多边形之间的关系是几何学中一个令人着迷且复杂的话题。正多边形是具有全等边和角的几何图形，而圆可以看作具有无限条边的正多边形的极限情况。当正多边形内接于圆时，它的每个顶点都与圆相切，并且多边形的中心与圆的中心重合。这样可以在圆的半径和多边形的尺寸（例如边和边心距）（从中心到边的距离）之间建立精确的关系。例如，在圆内切正方形的情况下，圆的直径等于正方形的对角线，通过应用毕达哥拉斯定理，可以找到正方形的边长与圆的半径之间的关系。对于正内接六边形，六边形的边等于圆的半径，因为六边形的每条边都等于从中心延伸到顶点的半径之一。历史欧几里得是对这一领域做出贡献的最早也是最有影响力的数学家之一，他的著作《几何原本》建立了许多公理和定理，用于理解圆内接和外接的正多边形的性质。他将圆划分为全等弧以及从这些弧形成正多边形的工作仍然是几何研究的基础。另一位著名的数学家是佩尔加的阿波罗尼乌斯，他以圆锥曲线的研究而闻名，这也有助于理解多边形和圆之间的关系。他对椭圆、抛物线和双曲线性质的研究有助于发展将多边形与其外接圆联系起来的理论。贡献佩尔加的阿波罗尼乌斯在伊斯兰世界，比鲁尼和奥马尔·海亚姆等数学家也做出了重大贡献。 Al-Biruni 开发了计算面积和体积的方法，包括正多边形的面积和体积，而 Omar Khayyam 致力于分类和求解三次方程，这对多边形的几何有直接影响。近代，被誉为“数学家王子”的卡尔·弗里德里希·高斯做出了深刻影响几何学的发现。他的正多边形定理证明，如果数字 n 是 2 的幂和任何不同的费马素数的乘积，则可以用直尺和圆规构造正 n 边多边形。 Leonhard Euler 的著名定理 V-E+F=2（其中 V 是多面体的顶点数，E 是边数，F 是多面体的面数）也有助于理解不同几何尺寸之间的关系，该定理可应用于分析正多边形及其与圆的关系。这些只是塑造我们对几何关系理解的众多数学家中的一小部分。他的贡献继续影响着当代数学，并激励新一代数学家探索几何的深度。日常生活中的应用外接正多边形是那些边与内圆相切的多边形。这种独特的特性使工程师和建筑师能够利用这些形状来优化空间并确保结构中力的均匀分布，从而确保结构的稳定性和安全性。自古罗马以来，工程师就使用外接多边形来设计耐用的建筑物。如今，这种做法仍然具有现实意义，证明了数学知识的永恒性和重要性。理解这些概念对于解决需要精度和效率的实际问题至关重要，尤其是在工程和建筑领域。应用这些原理的一个典型例子是在圆的帮助下计算正多边形的测量值，例如边和边心距。这些测量值是根据内接圆周的半径确定的，有利于桥梁、塔楼和具有复杂几何形状的建筑物等结构的设计。此外，多边形边长与内切圆半径之间的精确数学关系是精确计算周长和面积的基础，为安全高效的建筑设计提供有力的工具。例如，边数较多的多边形往往接近圆形，这对于需要形状平滑度的设计是有利的。这些数学关系不仅仅是理论上的；而且是真实的。它们对日常生活有直接影响。例如，当设计轮子、齿轮，甚至在圆形空间中布置家具时，都会应用外接多边形的原理来达到最佳效果。概念具有全等边的多边形为等边，如果具有全等角，则为等角。等边四边形等角四边形定义：凸多边形是正多边形当且仅当它具有所有全等的边 (等边) 和所有全等的角 (等角)。正三角形 (等边) 正四边形（正方形）特性 **定理：**当我们将圆分成$n$时，其中$n$大于或等于3，全等弧。所以： 1。由两个连续分割点确定的所有弦连接在一起，形成一个正多边形，其边长$n$内接于圆。 2。由分割点绘制的切线确定一个正多边形，其$n$边外接于圆周。演示：案例 1：设$A$、$B$、$C$、$D$、$\dots$、$M$和$N$为圆$\lambda$的$n$分割点。多边形 $ABCD\dots MN$ 内接于圆。这样，弧就全等了： $$\stackrel{\frown}{AB} \equiv \stackrel{\frown}{BC}\equiv \stackrel{\frown}{CD} \equiv \stackrel{\frown}{DE} \equiv \dots \equiv \stackrel{\frown}{MN} \equiv \stackrel{\frown}{NA}$$结果是：

July 18, 2024 阅读

毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯定理是数学中最著名的基本命题之一，它在直角三角形的边之间建立了一种优雅的关系。这个定理的历史与其数学应用一样令人着迷，因为它跨越了文化和时代，揭示了数学知识是如何在代际间积累和共享的。该定理传统上归因于希腊哲学家和数学家毕达哥拉斯，他生活在大约公元前 570 到 495 BC 之间，该定理指出，在直角三角形中，斜边（与直角相对的边）的平方等于其他两条边（称为边）的平方和。然而，毕达哥拉斯定理的历史是复杂而微妙的。有证据表明，比毕达哥拉斯早数千年，巴比伦、印度和埃及的数学家就已经知道并使用了该定理。早在古希腊正式定理之前，这些古代文明就将该定理应用于测量和建筑等实际目的。毕达哥拉斯通常被认为是第一个以他的名字命名的定理的正式证明者，尽管他的证明没有直接的书面记录。他创立的毕达哥拉斯学派带来了一系列数学和哲学发现，该定理的证明很可能是这个思想家群体的集体努力。欧几里得几何，以亚历山大的欧几里得命名，是对我们直观熟悉的几何空间的探索。它涉及平面、实体图形，这些图形在向各个方向无限延伸的维度系统（如直线和平面）中进行研究。在这个系统中，毕达哥拉斯定理是解决问题和证明与距离和面积相关的概念的重要工具。毕达哥拉斯定理的应用超出了纯数学的限制。它被用于物理、工程、建筑甚至艺术等多个领域。例如，在导航中，它有助于计算两点之间的最短路线，而在施工中，它允许工人检查拐角是否成直角，以确保结构精度。毕达哥拉斯定理有许多证明，其中一些是纯粹视觉的，而另一些则使用代数方法。最著名的演示之一涉及在一个正方形内排列四个相同的三角形，结果表明较小正方形（边）的面积之和等于较大正方形（斜边）的面积。欧几里得距离是源自毕达哥拉斯定理的概念，用于计算任意维度空间中两点之间的最短距离。这一原理是数据分析和计算机图形学的基础，其中测量精度至关重要。毕达哥拉斯定理在本书的简介中，我们从正方形边的概念开始。我们的radix quadratum。从图中，我们注意到我们有正方形的面积，在当前的数学中是边$\times$边。示例 1： $$\text{Area 1} = 3\times 3 = 9$$ $$\text{Area 2} = 4\times 4 = 16$$ $$\text{Area 3} = 5\times 5 = 25$$ $$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$ 示例 2： $$\text{Area 1} = 6\times 6 = 36$$ $$\text{Area 2} = 8\times 8 = 64$$ $$\text{Area 3} = 10\times 10 = 100$$ $$\text{Area 1} + \text{Area 1} = \text{Area 3}$$

July 11, 2024 阅读

算术级数简介

一个学校故事和一个尝试的想法关于高斯的一个广为人知的故事讲述了他小时候通过对项进行分组来快速求和的故事。让我们用这个叙述作为调查模式的邀请。 **轮到你调查了：**写下1 + 2 + … + 10。将第一个术语连接到最后一个术语，将第二个术语连接到倒数第二个术语，然后继续。你能得到几双？每对的总和是多少？了解来自圣安德鲁斯大学的 MacTutor 的历史来源。查看发现有 5 对，总和为 11。因此，总计为 5 × 11 = 55。您可以通过按顺序计数或添加术语来检查。数学史：算术进展算术级数 (AP) 是数学中的一个基本概念，其应用可以追溯到古代文明，并且在今天仍然有用。它出现在多个知识领域，例如经济学、工程和社会科学。这个概念与遵循常量加法规则的数字序列的概念相关，称为比率。古董算术级数的起源可以追溯到古代文明，例如埃及和巴比伦。这些文化已经在诸如计算食物、收获记录甚至天文计算等背景下展示了数字序列和简单算术序列总和的知识。巴比伦人：例如，巴比伦人在大约公元前2000年的泥板上使用了基本的算术技术。尽管他们的计算方法没有像现代数学那样形式化，但他们的加法和减法概念接近AP的概念，特别是在处理资源随时间增长的情况时。希腊人：在古希腊，数学家如欧几里得（大约公元前300 BC）负责为算术研究提供更坚实的基础。在他的著名著作《几何原本》中，欧几里得探索了数字和级数的性质，建立了构建算术级数理论所必需的原理。中世纪在中世纪期间，阿拉伯数学对于算术的发展至关重要。 Al-Khwarizmi (780-850 AD)，被称为“代数之父”，引入了计算的系统化，其中也包括对数字序列的理解。尽管花剌子米的重点更多地放在代数上，但他的著作为后来用于算术级数研究的公式的发展奠定了基础。复兴在文艺复兴时期，欧洲数学经历了一次重大复兴，出现了尼科洛·塔塔利亚和伽利略·伽利雷等人物。这些数学家开始以更加科学严谨的方式探索算术级数。一个著名的例子是伽利略使用级数来描述匀加速运动。他证明了物体在相同的时间间隔内自由落体所经过的距离形成了一个算术级数。到了 17 世纪，Johann Faulhaber 和 Pierre de Fermat 等数学家开始研究幂和和数值级数，为算术级数的求和公式的正式发展做出了贡献。形式化：17 世纪和 18 世纪随着代数的进步，算术级数的一般公式开始系统化。例如，PA 之和的公式就归功于参与级数开发的数学家。一个有趣且著名的故事是卡尔·弗里德里希·高斯 (1777-1855) 的故事，他被认为是有史以来最伟大的数学家之一。据说，在7岁时，高斯迅速将1到100的数字相加，令他的老师感到惊讶。他意识到他可以将数字分组在一起以简化计算，而不是手动添加它们。总和 $1 + 100 = 101$、$2 + 99 = 101$、$3 + 98 = 101$ 等。由此，他发现了 PA 总和的公式： $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$其中 $S_n$ 是级数的 $n$ 项之和，$a_1$ 是第一项，$a_n$ 是最后一项。

July 10, 2024 阅读

自然数相加练习

用数字热身先用数字求解，然后将计算写在纸上。已解答的自然数加法练习 - 小学示例 1：简单求和声明：玛丽亚有 3 块糖果，约翰有 4 块糖果。他们总共有多少颗子弹？分辨率：玛丽亚有 3 块糖果，约翰有 4 块糖果。为了找出他们总共有多少颗子弹，我们添加： $$ 3 + 4 = 7 $$因此，玛丽和约翰共有 7 颗糖果。示例 2：几个数字的总和声明： Pedro 购买了 2 个苹果、3 个香蕉和 5 个橙子。他总共买了多少水果？分辨率： Pedro 购买了 2 个苹果、3 个香蕉和 5 个橙子。为了找出水果的总数，我们添加： $$ 2 + 3 + 5 = 10 $$因此，Peter 总共购买了 10 个水果。示例 3：与零相加 **陈述：**如果玛丽亚有 7 个球，然后收到 0 个球作为礼物，她有多少个球？

July 10, 2024 阅读

正多边形

在之前的文章中，我们讨论了有关多边形的一些一般概念。正多边形是封闭的、平坦的、迷人的几何图形，在整个历史上引起了数学家和艺术家的兴趣。这些图形的特点是所有边和内角都相等，是对称与和谐的体现。边长相等、内角相等的平面几何图形。这意味着正多边形不仅看起来平衡，而且遵循精确的数学规则，可以通过优雅且有用的公式来表达。例如，正多边形的周长可以通过将一侧的长度乘以总边数（$P = n \times l$）来计算，其中$P$表示周长，$n$表示边数，$l$表示一侧的长度。这一特性使得正多边形对于几何学及其实际应用的研究特别有趣。除了周长之外，正多边形的另一个重要方面是其内角的测量。正多边形的内角和可以通过公式($S = (n - 2) ⋅ 180°$)求出，其中$n$是边数。这使我们能够通过将总和除以边数来计算每个内角的尺寸。日常生活中的用途正多边形也因其美学特性而闻名。自古以来，它们就被用于艺术和建筑中，创造出令人赏心悦目的图案和结构。它们是世界各地历史遗址中发现的许多马赛克和瓷砖图案的基础。然而，正多边形不仅美观，而且美观。它们非常有用。在工程和设计中，它们用于创建需要均匀性和精度的形状和结构。例如，使用正六边形来设计螺钉和螺母，确保它们完美地配合在一起。在自然界中，正多边形出现在许多情况下，也许最著名的是蜜蜂的蜂窝，它由完美对齐的正六边形组成。这种图案不仅最大化了存储空间，而且还最大限度地减少了施工所需的蜡量，展示了这些几何形状的效率。历史数学家在整个历史中一直在研究正多边形的概念，但没有与之相关的单一数学“第一”。不过，我可以分享一些关于正多边形的相关信息： **欧几里得：**希腊数学家欧几里得以其几何学著作而闻名，在他的著作《几何原本》中描述了正多边形的性质。他建立了构建内接于圆的正多边形的规则。 **阿基米德：**另一位希腊数学家阿基米德也研究了正多边形。他开发了计算圆内接和外接多边形的面积和周长的方法。 **列奥纳多·斐波那契：**著名的意大利数学家斐波那契（也称为比萨的列奥纳多）研究了数字序列，并间接研究了正多边形。它的斐波那契数列与黄金分割率有关，黄金分割率存在于许多正多边形中。总之，随着时间的推移，几位数学家为正多边形的研究做出了贡献。他们探索了它的几何特性，并将这些知识应用于建筑和设计等各个领域。正多边形具有全等边的多边形为等边，如果具有全等角，则为等角。等边四边形等角四边形定义：凸多边形是正多边形当且仅当它具有所有全等的边 (等边) 和所有全等的角 (等角)。正三角形 (等边) 正四边形（正方形）现在如何识别正多边形：等边六边形等角六边形正六边形简而言之，正多边形不仅仅是几何图形。它们是数学如何在自然美和人类创造中体现的例子。它的研究不仅丰富了我们的几何知识，而且有助于我们更好地了解周围的世界。这里对正多边形做了一点小小的贡献，等待下一篇文章。

June 27, 2024 阅读

直角三角形

三角形是三边多边形，其中我们使用直线段作为边。这是四边形的特例，因为它是除以 2 的四边形。顶点：可以定义为三角形边之间的交点。一般来说，顶点是任何多边形边之间的交点。特别地，三角形由3个顶点形成。对角线：是连接任何平面和空间多边形的两个不连续顶点的直线段。三角形的重要属性之一是它们有对角线。一个重要的观察是，不存在具有两个不连续顶点的三角形。例如，四边形的对角线是三角形的一条边。直角三角形，顾名思义，有一个直角（90度），即三角形的两条边互相垂直[^1]，就像一个正方形。下面，我们根据历史，呈现教科书强行强加的名字。 [^1]：垂直线是两条直线相交，它们之间形成直角，即 90° 的角。我们所知道的Catetos代表垂直于⊥，而我们所知道的Hipotenusa是下面的东西两条垂直线（拉伸）。接下来，让我们定义一些术语：边：AB、BC、AC 内角：$B\hat{A} C$、$A\hat{B} C$、$A\hat{C} B$ 侧面测量： a = BC 的度量 b = 交流测量 c = AB 的测量值角度测量： $\hat{A}$= $B\hat{A} C$ 的测量值 $\hat{B}$ = $A\hat{B} C$ 的测量值 $\hat{C}$= $A\hat{C} B$ 的测量值等边三角形等边三角形可以源自单词 equal (iguais) Lateralo (lados)，并且可以从直角三角形获得。直角三角形是等边三角形的一半 (½)。从直角三角形中我们注意到下例中的斜边有距离这，其中一条腿有距离小时和另一个人一个/2。如下图所示：当我们展开直角三角形时，我们得到以下等边三角形（3等边）。示例 1： $$ \begin{aligned} h~.~h + \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2}&= a~.~a\\ h~.~h + \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2}&= a~.~a - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \\ h~.~h &= 4~.~\frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} - \frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \\ h~.~h &= 3~.~\frac{a}{2}~.~\frac{a}{2} \end{aligned} $$

May 4, 2024 阅读

自然数减法练习

用数字热身为列表中的第一个减法绘制类似的图。已解决的减法练习 - 小学 I 1。简单减法声明： João 有 10 颗子弹，并将 4 颗子弹给了他的朋友。若昂现在有多少子弹？分辨率：为了找到约翰现在拥有的糖果数量，我们从他最初拥有的数量中减去他给出的数量： $$ 10 - 4 = 6 $$**答案：**约翰现在有 6 颗子弹。 2。自然数减法 **声明：**图书馆内有15本书，其中6本书被学生拿走。图书馆里还有多少本书？分辨率：要知道图书馆里还有多少本书，我们必须从总图书数中减去已借出的图书数： $$ 15 - 6 = 9 $$**答案：**图书馆里有 9 本书。 3。上下文减法声明：一个盒子包含 20 个玩具。如果将8个玩具从盒子里拿出来捐赠，盒子里还剩下多少个玩具？分辨率：让我们从总数中减去捐赠的玩具来计算盒子里还剩下多少玩具： $$ 20 - 8 = 12 $$答案：盒子里还剩下 12 个玩具。 4。日常情况下的减法声明： Ana 有 30 贴纸。她丢失了 12 贴纸。安娜还有多少张贴纸？分辨率：为了找出安娜还拥有多少张贴纸，我们从她拥有的贴纸总数中减去丢失的贴纸数量： $$ 30 - 12 = 18 $$**答案：**安娜仍然有 18 贴纸。

January 10, 2024 阅读

OBMEP 2022 - 第二阶段 - 级别 1

OBMEP 2021：第二阶段 - 级别 1 练习 1 在板上，单词 OBMEP 的每个字母代表从 1 到 5 的一个整数。不同字母代表不同的数字。此外，写在棋盘侧面的每个数字都是棋盘上字母值的总和。对应的水平线。 A) 求字母 O 的值。响应： 1 当我们添加第一行的值时，我们有 $$O + O + O + O = 4. $$ $$4\times O = 4. $$因此，$O = 1.$ B) 求字母 B 的值。响应： 11 从字母 A 中我们得到 $O=1$。从第二行我们有：记住比例，有关更多详细信息，请参阅一级方程。 $$B + B + O + B = 7$$ $$3B + O = 7$$ $$3B + 1 {\color{red}{-1}} = 7 {\color{red}{-1}}$$

July 1, 2023 阅读

一次函数

学习函数的开始是从一级函数开始的。在这篇文章中，我们将介绍一些一级函数。其中有常数、线性和相关的。常数函数常数函数是一个平台，平坦的东西或者只是一条水平线。下面我们给出正式的定义。定义（常量函数）：当每个元素 $x \in\mathbb{R}$ 始终关联相同的元素 $c \in\mathbb{R}$ 时，$\mathbb{R}$ 在 $\mathbb{R}$ 中的应用 $f$ 称为常量函数。 $$ \begin{aligned} f:\mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longrightarrow c\\ \end{aligned} $$ 常数函数的图像是一条平行于x轴穿过的直线由点 (0, c) 得到。图像是集合 $(\Im = \\{c\\})$ 示例构建从 $(\mathbb{R})$ 到 $(\mathbb{R})$ 的应用程序图，定义如下： $y = 3$ $y = -1$ 对于 y 等于 3 或 -1 的情况，它们将是我们用这些数字替换 c 的直线。该图是一个常数函数，是一条平行于$x$轴并经过点$(0,c)$的直线。 **示例1：**构建由$y=4$定义的从$\mathbb{R}$到$\mathbb{R}$的应用程序图。恒等函数 **定义（恒等函数）：**当每个元素$x \in\mathbb{R}$关联$x \in\mathbb{R}$自身时，$\mathbb{R}$在$\mathbb{R}$中的应用$f$接收名称恒等函数。 $$ \begin{aligned} f:\mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R}\\ x &\longrightarrow x\\ \end{aligned} $$ 恒等函数的图形是一条包含角平分线的直线 1 和 3 象限。

November 28, 2022 阅读