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布莱兹·帕斯卡的一生

年表 16236 月 19 日生于法国奥弗涅地区的克莱蒙。 1626母亲安托瓦妮特·贝贡去世，布莱兹 3 岁。 1631父亲艾蒂安·帕斯卡带着三个孩子迁居巴黎。 163512 岁时，独自重新发现三角形内角和等于两个直角。 164016 岁时，发表《圆锥曲线论》，其中有六边形定理。 1642为帮助在鲁昂任税务官的父亲，开始制造计算机。 1647发表《关于真空的新实验》。笛卡儿前来拜访。 1648姐夫弗洛林·佩里耶登上多姆山，测出了空气的重量。 1654与费马通信讨论赌博问题，写成《算术三角形论》。11 月 23 日经历了“火之夜”。 1656开始以化名发表《致外省人信札》。 1658解决摆线的一系列问题，并就此发起一场竞赛。 1662在巴黎开通一条公共马车线路。8 月 19 日去世，终年 39 岁。 1670朋友们根据他的笔记整理出版《思想录》。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1623–1631 克莱蒙生于奥弗涅的克莱蒙。三岁时母亲去世。 1631–1639 巴黎父亲在家教育他，并带他参加梅森的聚会。16 岁写出《圆锥曲线论》。 1640–1647 鲁昂父亲在诺曼底任税务官。为了帮助父亲，布莱兹制造了帕斯卡计算器，并做了真空实验。 1648 多姆山应帕斯卡之请，他的姐夫弗洛兰·佩里耶带着气压计登上此山，证明山顶的空气更轻。 1647–1662 巴黎与费马讨论赌博的通信、火之夜、《致外省人信札》、摆线和公共马车。1662 年去世，年仅 39 岁。 1655 田野波尔罗亚尔修道院火之夜之后，他多次到妹妹雅克琳所在的修道院小住，并为波尔罗亚尔辩护，反对耶稣会。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 帕斯卡在克莱蒙、巴黎和鲁昂之间，以及称出空气重量的那座山。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1623–1631 · 克莱蒙1631–1639 · 巴黎1640–1647 · 鲁昂1648 · 多姆山1647–1662 · 巴黎1655 · 田野波尔罗亚尔修道院 帕斯卡在克莱蒙、巴黎和鲁昂之间，以及称出空气重量的那座山。 布莱兹·帕斯卡的肖像，作者不详，约作于 1690 年，现藏凡尔赛宫。这是他去世后绘制的摹本。作者不详 · Wikimedia Commons · 公有领域 一个把几何书藏起来的父亲 布莱兹·帕斯卡 1623 年生于法国中部的克莱蒙。他 3 岁时母亲去世。父亲艾蒂安是一位喜爱数学的法官，决定亲自教育三个孩子：吉尔贝特、布莱兹和雅克琳。1631 年，全家搬到了巴黎。

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帕斯卡三角形：用加法搭起来

写一个 $1$。在它下面写两个 $1$。从此以后，每一行都以 $1$ 开头、以 $1$ 结尾，中间的每个数都是它正上方两个数之和： $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$就这么简单。一条孩子一分钟就能学会的规则，造出了数学中内容最丰富的数表之一。今天它被称为帕斯卡三角形，在中国叫作杨辉三角。而帕斯卡其实是最后一批发现它的人之一。 一个有许多主人的三角形 在印度，大约公元前 2 世纪，诗人宾伽罗在计算一行诗中长短音节的组合方式时，得到了同样的数。10 世纪，注释家哈拉尤达画出了这张表，称它为 Meru-prastara，意思是“须弥山的阶梯”。 在巴格达，大约公元 1000 年，卡拉吉用这个三角形展开像 $(a+b)^5$ 这样的乘方。他的书失传了，但一个半世纪之后，大约在 1150 年，萨马瓦尔抄录了这张表和推理过程，并注明出自卡拉吉。在波斯，这个三角形也和诗人兼数学家欧玛尔·海亚姆联系在一起。 在中国，贾宪大约在 1050 年用它来开方。杨辉在 1261 年把它收入书中，朱世杰又在 1303 年的《四元玉鉴》中画出了它，数字用算筹写成。 朱世杰 1303 年著作中的三角形。在中国，它被称为杨辉三角或贾宪三角。朱世杰，《四元玉鉴》（1303） · Wikimedia Commons · 公有领域 在欧洲，这个三角形于 1527 年首次印在彼得鲁斯·阿皮亚努斯一本算术书的封面上。之后，米夏埃尔·施蒂费尔在 1544 年、尼科洛·塔尔塔利亚在 1556 年都用过它。直到今天，它在意大利叫塔尔塔利亚三角形，在伊朗叫海亚姆三角形，在中国叫杨辉三角。 帕斯卡的论文 1654 年，帕斯卡在和费马讨论赌注问题的同时，写成了《算术三角形论》，有法文和拉丁文两个版本。论文是这样开头的： 算术三角形这样构造：从任意一点 Z 画两条互相垂直的直线 ZL 和 ZT，在每条直线上标出任意多个相等的部分。 — 布莱兹·帕斯卡，《算术三角形》（1654） 这篇论文拉丁文版的第一页，这是已知的唯一一份，收藏在帕斯卡的故乡克莱蒙费朗。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 帕斯卡的三角形其实是一张阶梯形的方格表。他把每个小方格叫作单元格，把行叫作平行列，把列叫作垂直列，把对角线叫作底。每个单元格等于它上方的格子加上它左边的格子，这和我们今天用的规则是一样的，只是转了个方向。

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组合：不用列举也能计数

在巴西的 Mega-Sena 彩票中，你要从 60 个号码里选 6 个。一共有多少种不同的选法？要全部列出来得花上一辈子：超过五千万种。但我们可以不列举也能计数，帕斯卡就展示了怎么做。 不计顺序地选取 先从一个小例子开始：从 5 个人中选 2 个人组成委员会，有多少种选法？ 如果顺序有关系，第一个人有 $5$ 种选择，第二个人有 $4$ 种：$5\cdot4=20$。但在委员会里，“安娜和布鲁诺”与“布鲁诺和安娜”是一样的，每一对都被算了两次。所以委员会共有 $20/2=10$ 种。 一般地，从 $n$ 个东西中不计顺序地选出 $k$ 个，方法数是 $$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$其中 $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$。读作“从 $n$ 中取 $k$ 的组合数”。对于那个委员会，$\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$。 为什么它们就是三角形里的数 帕斯卡注意到，$\binom nk$ 恰好就是算术三角形中的数 $C(n,k)$。原因是同一条加法规则。 在这群人中挑出一个人，比如安娜。从 $n$ 个人中选出的每个 $k$ 人委员会，要么包含安娜，要么不包含。如果包含，就还要从其余 $n-1$ 人中选 $k-1$ 个；如果不包含，这 $k$ 个人就全部来自其余的 $n-1$ 人。所以 $$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$这正是三角形的规则。两者的边上都是同样的 $1$，又遵守同样的规则，所以它们是同一张表。 Mega-Sena 现在大数目的计算就容易了： $$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$买一注的中奖机会是五千多万分之一。如果你每周买一注，平均要等将近一百万年才能中一次。 和的乘方 同样的推理解释了三角形的另一次出场。把 $$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$乘开时，结果中的每一项都是从三个括号里各取 $a$ 或 $b$ 得到的。要得到 $a^2b$，必须恰好在三个括号中的一个里取 $b$：有 $\binom31=3$ 种取法。因此 $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$一般地， $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$取 $a=b=1$，左边就是 $2^n$：又是第 $n$ 行的和。这个公式适用于整数指数。十年后，牛顿发现了指数为分数时会怎样：见广义二项式。

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德·梅雷骑士的骰子与公平的分配

安托万·贡博自称德·梅雷骑士，是法国宫廷里的一位作家，也是一个狂热的赌徒。大约在 1654 年，他向帕斯卡提出了两个关于赌注的问题。帕斯卡觉得这两个问题非常好，就写信给皮埃尔·德·费马，概率论就从这些信中诞生了。 谈到这位朋友，帕斯卡对费马说： 他很有头脑，但不是几何学家；而您知道，这是一个很大的缺点。 — 布莱兹·帕斯卡，致费马的信（1654 年 7 月 29 日） 第一个问题：一个六点和两个六点 德·梅雷知道一种有利可图的赌法：把一颗骰子掷 4 次，赌至少出现一次六点。他赢的次数比输的多。 于是他推想：用两颗骰子时，同时出现两个六点比一颗骰子出现六点要少见 6 倍。为了弥补，只要多掷 6 倍就行：$4\cdot6=24$ 次。“两颗骰子掷 24 次，至少出现一次双六”这个赌法，应该和第一个一样好。 结果并非如此。德·梅雷输了钱，却不明白为什么。 正确的算法要从反面入手。一颗骰子不出六点的概率是 $\frac56$。独立地掷 4 次，一次六点都不出现的概率是 $\left(\frac56\right)^4$。所以 $$P(\text{4 次中至少一个六点})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$两颗骰子共有 $36$ 种结果，其中只有一种是双六。掷一次不出现双六的概率是 $\frac{35}{36}$： $$P(\text{24 次中至少一个双六})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$第一种赌法有 51.8% 的机会赢；第二种只有 49.1%。德·梅雷的比例法则看起来很合理，但概率不是这样相加的。掷 25 次时，机会才超过一半：$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$。 光靠赌能看出来吗？ 几乎不能。49.1% 和 50% 的差别太小了，要赌上几千次才能可靠地察觉。所以历史学家认为，德·梅雷怀疑的是算法，而不是自己的钱包：他认为都正确的两条规则给出了不同的答案，他想知道哪一条错了。 第二个问题：中断的赌局 两个玩家各押 32 枚皮斯托尔金币，共 64 枚。谁先赢 3 局，谁就拿走全部。比赛在 A 赢了 2 局、B 赢了 1 局时中断了。这 64 枚金币该怎样公平地分？ 费马的解法是数出所有可能的序列。帕斯卡的做法不同：他只看下一局。 如果 A 赢了下一局，他就达到 3 局，拿走全部 64 枚。 如果 B 赢了，比分变成 2 比 2，两人打平：每人应得 32 枚。 下一局两人赢的机会相同。所以不管发生什么，A 都稳拿 32 枚，另外 32 枚不确定，两人各有一半机会。帕斯卡的结论是 A 应该得到

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帕斯卡计算器：用齿轮做加法

1640 年，艾蒂安·帕斯卡被任命为诺曼底的税务官。这份工作就是一直到深夜累加一列又一列的数字，17 岁的儿子布莱兹也来帮忙。更麻烦的是，当时法国的货币不是十进制的： $$1\ \text{里弗尔}=20\ \text{苏},\qquad 1\ \text{苏}=12\ \text{德尼耶}.$$把 $3$ 里弗尔 $15$ 苏 $8$ 德尼耶和 $2$ 里弗尔 $7$ 苏 $9$ 德尼耶相加，需要三种进位： 德尼耶：$8+9=17$，即 $1$ 苏 $5$ 德尼耶； 苏：$15+7+1=23$，即 $1$ 里弗尔 $3$ 苏； 里弗尔：$3+2+1=6$。 结果是 $6$ 里弗尔 $3$ 苏 $5$ 德尼耶。一晚上算一千次，你一定会出错。1642 年，布莱兹开始制造一台不会出错的机器。 会计数的轮子 帕斯卡计算器的原理很简单。数字的每一位都有一个轮子，上面标着 $0$ 到 $9$。要加 $7$，就把一支尖笔插进 $7$ 的孔里，转动轮子直到碰到挡块。数字会显示在一个小窗口里。 一台十进制的帕斯卡计算器，有六个轮子，收藏于巴黎工艺博物馆。用于算钱的型号还有 20 格和 12 格的轮子，分别用来计算苏和德尼耶。David Monniaux，2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 难的是进位。当个位轮从 $9$ 转到 $0$ 时，十位轮必须自己前进一格。有时进位还会连续传递下去：

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神秘六边形：圆锥曲线上的六个点

1640 年 2 月，巴黎流传着一张只印了一面的纸，像一张告示，标题是《圆锥曲线论》。上面没有证明，只有定义、三个引理和一串结论。作者 16 岁，名叫布莱兹·帕斯卡。 梅森神父把这张纸拿给笛卡儿看，笛卡儿的反应是怀疑：他认为这个年轻人的东西全是从吉拉尔·德萨格那里学来的。德萨格是帕斯卡敬佩的建筑师和几何学家。德萨格的影响确实存在，帕斯卡本人也承认这一点。但这张纸上的核心结论是全新的。 圆锥曲线 用一个平面去截一个圆锥。根据倾斜的角度不同，截口的边缘会是椭圆、抛物线或双曲线；圆是椭圆的一种特殊情况。这些曲线统称圆锥曲线，从公元前 3 世纪的阿波罗尼奥斯起就有人研究。 德萨格有一个改变了这门学问的想法：把圆锥曲线看作圆的影子。用手电筒照一个圆，它投在墙上的影子可以是椭圆、抛物线或双曲线。所以，圆的某个性质如果只涉及点和直线，不涉及距离和角度的测量，那它在影子里也会保留下来，对所有圆锥曲线都成立。这就是射影几何的思想。 六边形定理 在一条圆锥曲线上按顺序标出六个点 $A,B,C,D,E,F$，把它们连成一个六边形。相对的边是 $AB$ 和 $DE$、$BC$ 和 $EF$、$CD$ 和 $FA$。把每一对延长，直到它们相交： $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$帕斯卡定理说：$P$、$Q$、$R$ 三点总在同一条直线上。 这六个点在曲线上可以按任意顺序排列，六边形甚至可以自己和自己相交。如果两条对边平行，它们就交于一个“无穷远点”，而那条直线就与它们平行。帕斯卡把这个图形叫作神秘六边形。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 四百条推论 据梅森说，帕斯卡从这一条定理推出了大约四百条推论，其中包括阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的几乎全部成果。大约在 1654 年，他写成了一部完整的论著。1676 年，莱布尼茨在巴黎读到了这份手稿，认为写得极好，并建议帕斯卡的家人出版。可是没有人出版它，这部论著就这样失传了。 在抛物线上验证 我们用计算来检验这条定理。在抛物线 $y=x^2$ 上取横坐标为 $0,1,2,3,4,7$ 的六个点： $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$先介绍一个捷径。经过抛物线上横坐标为 $u$ 和 $v$ 的两点的直线是 $$y=(u+v)x-uv.$$确实，在 $x=u$ 处它的值是 $u^2+uv-uv=u^2$，在 $x=v$ 处是 $v^2$。下面计算三个交点。 点 P。 $AB$ 的 $u=0,v=1$：$y=x$。$DE$ 的 $u=3,v=4$：$y=7x-12$。令两者相等，$x=7x-12$，所以 $x=2$，$P=(2,2)$。

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费马与帕斯卡：公平分配中断的赌局

两个玩家各下相同的赌注，玩一场多局的游戏：谁先赢得规定的局数，谁就拿走全部赌注。游戏进行到一半，不得不中断。钱该怎样公平地分配？ 这就是点数问题（分赌注问题）。它看起来简单，却难倒了数学家 150 多年。 错误的答案 1494 年，意大利修士卢卡·帕乔利提出按已赢局数的比例分配。如果 A 赢了 2 局、B 赢了 1 局，A 就拿走 $\frac23$。 听起来合理，其实不然。设想一场先赢 100 局者胜的游戏，在 A 以 1 比 0 领先时中断。按帕乔利的规则，A 拿走全部赌注。可游戏才刚开始，B 获胜的机会几乎一样大。重要的不是已经发生了什么，而是还可能发生什么。 1654 年的通信 这个问题经由法国贵族、嗜好赌博的德·梅雷骑士传到了布莱兹·帕斯卡手中。帕斯卡写信给图卢兹的费马，1654 年夏天两人往来了一系列书信。他们各自用不同的方法找到了答案：帕斯卡用逐步倒推的推理，费马则列举所有可能情况。 当帕斯卡看到两种方法给出同样的答案时，他写道： 我清楚地看到，真理在图卢兹和在巴黎是一样的。 — 布莱兹·帕斯卡致费马的信（1654 年 7 月 29 日） 费马的方法：数一数所有的未来 假设每一局就像抛硬币：每个玩家赢这一局的机会都是 $\frac12$。游戏中断时，A 还差 1 局，B 还差 2 局。 费马这样推理：最多再过两局，一定有人获胜。于是我们设想两局都打完，即使第一局已经决出胜负。所有可能的结果（概率都相同）是： 局 胜者 A A A A B A B A A B B B A 在 4 种情况中赢 3 种；B 赢 1 种。概率为

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摆线：一场牙痛带来的曲线

在自行车轮胎上点一个点，推着车沿直线前进。这个点会升起来，画出一道拱，再落下来碰到地面，车轮每转一圈就重复一次。它画出的曲线叫作摆线。 在 17 世纪，这是最时髦的曲线。法国人把它叫作 roulette。为了它的种种发现，那么多数学家争吵不休，以至于它得了一个外号：几何学家的海伦，取自引发了特洛伊战争的海伦。 车轮的方程 一个半径为 $r$ 的轮子沿直线无滑动地滚动。当它转过角度 $t$（以弧度计）时，圆心前进的距离是 $rt$，也就是碰过地面的那段轮缘的长度。那个从最低处出发的点，此时位于 $$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$从 $t=0$ 到 $t=2\pi$，轮子转了整整一圈。这道拱的宽度是 $2\pi r$，等于轮子的周长；最大高度是 $2r$，也就是直径。 一道摆线拱，由半径为 1 的轮子画出。拱下的面积是 3π，等于轮子面积的三倍。本博客原创插图。 伽利略称曲线的重量 大约在 1599 年，伽利略给这条曲线起了名字，并想知道一道拱下面的面积。他算不出来，就用同一种材料剪出摆线和生成它的圆，分别称重。摆线的重量几乎是圆的三倍。伽利略怀疑这个比值并不恰好是 3，于是放弃了。 它恰好就是 3。吉尔·德·罗贝瓦尔在 1634 年证明了这一点，而今天这个计算只需要几行。 用微积分求面积 曲线下的面积是许多高为 $y$、宽为 $dx$ 的细条之和。因为 $dx=r(1-\cos t)\,dt$， $$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$把平方展开，得到三部分： $$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最后一个来自 $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$。相加得 $$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$一道摆线拱下的面积，等于画出它的轮子面积的三倍。伽利略剪下的纸片是对的。 1658 年的那个夜晚 到 1658 年，帕斯卡已经放下数学四年了。据他的姐姐吉尔贝特记载，有一天夜里他牙疼得厉害，睡不着觉。为了忘掉疼痛，他开始思考摆线。结果牙不疼了。帕斯卡把这看作允许他继续研究的信号，八天之内就解决了前人没有解决的问题：曲线各部分的面积、它们的重心，以及曲线绕轴旋转所生成的立体的体积。 随后，他以化名阿莫斯·德通维尔向全欧洲发出公开挑战。第一名的奖金是 40 枚金皮斯托尔，第二名 20 枚，截止日期是 1658 年 10 月 1 日。

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帕斯卡原理：用水放大力

一头大象和一位穿高跟鞋的女士：谁会在松软的泥地上陷得更深？可能是那位女士。大象比她重五十倍，但它的重量分散在四只宽大的脚掌上；而她的重量集中在细细的鞋跟尖上。 让地面下陷的不是力，而是压强：力除以它所作用的面积。 $$p=\frac FA.$$压强的单位是帕斯卡：$1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$，即一牛顿的力分布在一平方米上。这是很小的压强；在海平面，大气压强大约是 $100\,000$ Pa。 关于液体的论著 大约在 1653 年，帕斯卡写成了《论液体的平衡》，这本书在他去世后的 1663 年才出版。书中有一条我们今天称为帕斯卡原理的规律： 在密闭容器内静止的液体中，任一点所增加的压强，会等值地传递到液体的各个部分和容器壁上。 在中间捏一管牙膏，牙膏会从管口挤出来：你手指的压强传到了那里。把一个气球灌满水，在几个地方扎上小孔再一挤：水会从每一个孔向各个方向喷出来。 被撑破的木桶 据说帕斯卡做过一个著名的演示。他拿来一个装满水、封得很严的木桶，在桶盖上插了一根又细又高、约 10 米长的管子。他登上阳台，往管子里倒水。只倒了一升多一点，木桶就破裂了。 我们不知道这一幕是否完全如此发生，但计算表明它是可能的。高度为 $h$ 的液柱底部的压强是 $$p=\rho gh,$$其中 $\rho$ 是液体的密度，$g\approx9.8\ \text{m/s}^2$。对于 10 米高的水柱，$\rho=1000\ \text{kg/m}^3$， $$p=1000\cdot9.8\cdot10=98\,000\ \text{Pa}.$$起作用的是水柱的高度，而不是水的多少。如果管子的横截面是 $1\ \text{cm}^2$，10 米高的水只有 $1$ 升。但这 $98\,000$ Pa 会传到整个桶盖上。如果桶盖的面积是 $0.2\ \text{m}^2$，它受到的力就是 $$F=pA=98\,000\cdot0.2=19\,600\ \text{N},$$相当于两吨重的物体。细管里的一升水推着桶盖，就像有一辆汽车压在上面。 水压机 帕斯卡意识到，他可以利用这条原理来放大力。设想两个装满水的圆筒，底部相连，各用一个活塞封住，一个细，一个粗。用力 $F_1$ 推细活塞，压强增加 $F_1/A_1$，同样的增量传到粗活塞上： $$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}\quad\Longrightarrow\quad F_2=F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}.$$ 一个人推动小活塞，就能抵得上一百个人推动大一百倍的活塞的力量。 — 布莱兹·帕斯卡，《论液体的平衡》 如果小活塞的面积是 $2\ \text{cm}^2$，大活塞是 $8\ \text{cm}^2$，比值就是 $4$。在小活塞上施加 $50$ N 的力，大活塞上就得到 $200$ N。抬起汽车的液压千斤顶、用一只脚的力就能让汽车停下的刹车，还有挖掘机，都是这样工作的。 小活塞上的力（N）： 面积之比 A₂/A₁： 理想模型：两个活塞高度相同，小活塞面积 2 cm²，流体不可压缩。 改变力的大小和两个面积之比。大活塞上的力变大了，但它移动的距离按同样的比例变小。 请启用 JavaScript 以使用控件。正文中也算出了这些例子。

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空气的重量：多姆山实验

两千年来，学者们一直重复着亚里士多德的一句话：自然厌恶真空。你用吸管吸走空气，液体就会上升，因为自然不允许那里空着。这似乎能解释一切。 可是佛罗伦萨的掘井工人遇到了一个难题：不管怎么努力，抽水泵都无法把水抽到大约 10 米以上。为什么自然对真空的厌恶偏偏止步于 10 米？ 托里拆利的管子 1643 年，伽利略的学生、意大利人埃万杰利斯塔·托里拆利，把一根一端封闭、长一米的玻璃管灌满水银。他用手指堵住另一端，把管子倒过来插进一盆水银里，然后松开手指。水银往下降，停在大约 76 厘米的高度，在管子顶部留下一段空的空间。 托里拆利的解释很大胆：撑住水银柱的不是对真空的厌恶，而是压在水银盆表面上的空气的重量。他写道，我们生活在一片空气海洋的底部。水银的密度大约是水的 13.6 倍，而 $76\ \text{cm}\times13.6\approx10.3$ m：正是佛罗伦萨抽水泵的极限。 帕斯卡把实验搬上高处 帕斯卡在 1646 年听说了这个实验，并在鲁昂用装满水和葡萄酒的巨大玻璃管重复了它。但他想要一个决定性的检验。他的推理是：如果撑住水银的是空气的重量，那么在山顶上，上方的空气更少，水银柱就一定更低。如果原因是对真空的厌恶，海拔就不会有任何影响。 帕斯卡住在巴黎，身体又不好。1647 年 11 月，他写信给住在克莱蒙的姐夫弗洛林·佩里耶。克莱蒙就在多姆山脚下，那是一座高近 1500 米的死火山。 1648 年 9 月 19 日 佩里耶和克莱蒙的一群神父和名人一起登山，好让他们作见证。他们带了两根管子和水银。这个实验里有一个很现代的想法：登山之前，他们先在城里地势最低的米尼姆修道院的花园里装好两根管子，确认两者的高度相同。一根管子留在那里，由一位神父——沙斯坦神父——负责整天看守。另一根带上了山。 多姆山顶纪念 1648 年实验的标志石，摄于 1923 年帕斯卡诞辰三百周年之际。Agence Rol，1923 年 · 法国国家图书馆 · Wikimedia Commons · 公有领域 用当时的单位，测量结果是： 地点 水银柱高度 克莱蒙的米尼姆修道院花园 26 法寸 3½ 法分 多姆山顶，约高出 500 突阿斯 23 法寸 2 法分 一法寸大约是 $27.07$ 毫米，一法分是一法寸的 $\frac1{12}$。换算一下：

October 11, 2026 阅读
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帕斯卡的赌注：是一笔计算，不是一个证明

许多人听说过帕斯卡“证明了上帝存在”。他并没有这样做，而且明明白白地说过这是做不到的。他提出的东西更耐人寻味：既然理性无法裁决这个问题，那就换一个问题。不问“上帝存在吗？”，而问“押哪一边更划算？”。然后用他刚刚和费马一起发明的数学——公平分配赌注的数学——来回答这第二个问题。 一张写满涂改的纸 《思想录》的手稿纸页，帕斯卡去世后被粘贴在一本大册子里，摄于 2016 年法国国家图书馆的展览。帕斯卡在碎纸片上写作，朝着不同方向书写，还涂改了很多。ActuaLitté · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 晚年的帕斯卡为一本捍卫基督教的书收集笔记，但这本书始终没有写成。1662 年他去世后，朋友们找到了几百个片段，有些是用剪刀剪下来、再用线串起来的，并在 1670 年以《思想录》为题出版了其中的一部分。 关于赌注的那个片段是一张对折的纸，两面都写满了字，页边和倒过来的方向上还有补充。编者用它开头的几个词来称呼它：“无限，虚无”。这是帕斯卡和一位不信者之间的对话，这位对话者或许是以他在巴黎社交生活中结识的赌徒为原型的，比如德·梅雷骑士。 理性无法裁决 出发点是承认无能为力： 上帝存在，或者不存在。可是我们倒向哪一边呢？理性在这里什么也决定不了。有一片无限的混沌把我们隔开。在这无限距离的尽头，正进行着一场游戏，结果将是正面或反面。你押什么？ — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无” 对话者回答说，正确的做法是什么也不押。帕斯卡拒绝了这条退路： 是的，但必须下注。这并不由你选择：你已经上了船。 — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无” 像信者那样生活，或像不信者那样生活，本身就已经是一种选择。不选择，就等于选择了后者。 四格表 今天，人们把这个赌注写成一张表。有两种选择和两种世界状态： 上帝存在 上帝不存在 信 无穷的收益：“无限幸福的无限生命” 损失很小：一些享乐 不信 失去一切 得到很少：同样那些享乐 帕斯卡分三步走遍这张表，每一步都比前一步更有力。哲学家伊恩·哈金在 1972 年的一篇文章中指出，这是三个不同的论证，而第三个是一笔期望值的计算。 第一步：占优。“如果你赢了，你赢得一切；如果你输了，你一无所失。那就毫不犹豫地押他存在吧。”如果“信”在每一列都更好或一样好，那就根本不需要计算。 **第二步：机会均等时的计算。**对话者反驳说，他还是会失去一些东西。帕斯卡承认这一点，并像掷骰子那样算账：在输赢机会均等时，押一条命去赢两条命是值得的；押一条命去赢三条命而不押，就是愚蠢。 **第三步：无穷。**如果机会并不均等呢？帕斯卡回答说，这无关紧要： 这里有无限幸福的无限生命可以赢得，一个赢的机会对有限个输的机会，而你押上的是有限的。 — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无” 计算 设 $p$ 是你认为上帝存在的概率，无论多小，但大于零。设 $c$ 是信仰生活的代价，是一个有限的数，$G$ 是上帝存在时的收益。信的期望值是 $$E(\text{信})=p\cdot G-(1-p)\cdot c.$$如果 $G$ 有限，结果可以是任何值：它取决于 $p$、$G$ 和 $c$。但帕斯卡令 $G=\infty$。于是，对任何 $p>0$， $$p\cdot\infty-(1-p)\cdot c=\infty,$$任何有限的选项都无法与之竞争。这和分配赌注是同一个思想：每个赌注的价值等于奖金乘以机会。不同的是，现在奖金是无穷大。 一本仿冒本中《思想录》的第一页，这是照 1670 年版翻印的盗版。第一章题为“驳无神论者的漠不关心”。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 这不是证明 请注意这笔计算没有说什么。它丝毫没有提高概率 $p$。一个原来认为上帝存在的机会是千分之一的人，在赌注之后仍然认为是千分之一。这个论证关乎该怎么做，而不关乎什么是真的。

October 11, 2026 阅读
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帕斯卡的遗产

心灵有其理由，而理性对此一无所知。 — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》 帕斯卡留下的完整著作很少。他写的数学几乎都是以单页、书信的形式，或者在他去世后才发表的。尽管如此，很少有哪位作者会出现在这么多不同的地方：学校里的三角形、天气预报、汽车的刹车、保险的计算，甚至一种编程语言的名字。 赌注 《思想录》中最著名的一段与几何无关，但它用到了帕斯卡刚刚和费马一起发明的数学：这就是帕斯卡的赌注。它并不试图证明上帝存在。帕斯卡说理性无法裁决这个问题，于是问押哪一边更划算，并像计算期望值那样，按机会权衡得失。只要信仰一方的收益是无穷大，任何正的概率就都足够了。这个论证、它的三种形式以及狄德罗和伏尔泰的反驳，见帕斯卡的赌注。它被认为是决策论——在不确定性下做选择的数学——的第一篇文字。 我没有时间把它写短 在第 16 封《致外省人信札》的结尾，帕斯卡向读者致歉：“这封信之所以写得这么长，只是因为我没有时间把它写短。” 直到今天，凡是需要在匆忙中写好文章的人，还常常引用这句话。 给费马的最后一封信 1660 年，费马提议两人见一面，各走图卢兹和克莱蒙之间路程的一半。帕斯卡因病婉拒了，他的回信显示了他晚年如何看待数学： 坦白地说，我认为几何是心智最高的锻炼；但同时我又知道它是如此无用，以至于我认为一个只是几何学家的人和一个熟练的工匠没有多大区别。 — 布莱兹·帕斯卡，致费马的信（1660 年 8 月 10 日） 两人终生未曾谋面。 留下了什么 概率论。 1654 年的通信启发了惠更斯，他在 1657 年出版了这一主题的第一本书。随后有雅各布·伯努利、棣莫弗和拉普拉斯。保险、彩票、统计学和数据科学都源自那些信。 组合数学与归纳法。 《算术三角形论》整理了组合问题，并第一次清楚地表述了数学归纳法。 射影几何。 神秘六边形成为射影几何的奠基定理之一，19 世纪又被彭赛列和布里昂雄重新发扬。 微积分。 莱布尼茨说，正是在读帕斯卡关于四分之一圆的著作时，他想到了特征三角形，这是通向微积分的一步。 物理学。 真空实验和多姆山实验终结了“自然厌恶真空”的说法，催生了气压计和高度计。帕斯卡原理存在于每一个液压系统中。 计算。 帕斯卡计算器是第一台被制造和出售的计算机器。 留下来的名字 1971 年，国际单位制的压强单位被命名为帕斯卡（Pa）。天气预报说“1013 百帕”时，指的就是 $101\,300$ Pa，也就是帕斯卡让姐夫去测量的海平面气压。 1970 年，瑞士计算机科学家尼克劳斯·维尔特设计了一种用来清晰地教授编程的语言，并为了纪念帕斯卡计算器的发明者，把它命名为 Pascal。好几代学生都是用它学会编程的。 会思想的芦苇 这条路线开头的那句话还有下文：“用不着整个宇宙都武装起来才能毁灭他；一口气、一滴水就足以致他死命。然而，纵使宇宙毁灭了他，人却仍然要比致他于死命的东西高贵得多，因为他知道自己要死亡。” 写下这段话的人，从 18 岁起就知道自己活不长。 要点回顾 帕斯卡生于 1623 年，卒于 1662 年。16 岁时发表六边形定理；19 岁时开始制造帕斯卡计算器。 在算术三角形中，每个数都是它上方两个数之和，第 $n$ 行的和是 $2^n$，这些数就是组合数 $\binom nk$。 在帕斯卡之前，印度、波斯、中国和欧洲都已经知道这个三角形；他对它做了深入的研究。 1654 年，帕斯卡和费马一起创立了概率论和期望值的概念。 一道摆线拱下的面积是 $3\pi r^2$，等于轮子面积的三倍。 在静止的液体中，压强的增量会等值地传递到各点；水压机放大了力，但没有放大功。 在多姆山顶，水银柱下降了 8.5 厘米：空气是有重量的。 练习：一张抽奖券 5 雷亚尔，有 1/25 的机会赢 100 雷亚尔。按期望值算，值得买吗？期望收益是 $100\cdot\frac{1}{25}=4$ 雷亚尔。奖券要 5 雷亚尔，所以每张的期望值是 $4-5=-1$ 雷亚尔。平均每买一张亏 1 雷亚尔。

October 11, 2026 阅读