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13 章中的练习——三角形和点幂的相似性

练习和决议 445 图中的三角形$ABC$和$A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$是相似的。若第1个与第2个的相似比为$\dfrac{3}{2}$，则确定：a)$a$、$b$和$c$； b) 它们的周长之比。 Ver respostaa) $a = 21$, $b = 18$ e $c = 15$ · b) $\dfrac{3}{2}$ 446 三角形 $ABC$ 和 $PQR$ 相似。确定$x$和$y$。 Ver resposta$x = 16$ e $y = 14$ 447 如果$\triangle KLM$与$\triangle FGH$相似，则确定$x$。 Ver resposta$x = 28$ 448 三角形 $ABC$ 的三条边的尺寸为 8 厘米、18 厘米和 16 厘米。确定与 $ABC$ 相似的三角形 $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ 的边，知道第一个与第二个的相似比等于 3。 Ver resposta$\dfrac{8}{3}$ 厘米、6 厘米和 $\dfrac{16}{3}$ 厘米 449 如果$\overline{DE}$与$\overline{BC}$平行，则在以下情况下确定$x$（在b中，$x = AD$）： Ver respostaa) 12 · b) 40

October 11, 2026 阅读
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点功率

相交在一个圆内的两条弦：其中一个部分的乘积等于另一个部分的乘积。有了这个想法，就可以计算出到地平线的距离。 谁发现的 这两种经典形式出现在欧几里德（公元前300）的几何原本中：关于相互切割的绳索的命题III.35，以及III.36，位于从同一外点绘制的割线和切线上。 点的幂这个名字是在很久以后的1826中由瑞士人Jakob Steiner创建的，他意识到无论点画出的直线是什么，乘积总是相同的。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 雅各布·斯坦纳。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 斯坦纳是 19 世纪合成几何领域的伟大人物之一。他是农民的儿子，在 14 岁时才学会写作，并最终成为柏林大学的教授。对他来说，点的力量是将欧几里得的几个定理整合成一个想法的一种方式。 两条弦相交于 P：两部分的乘积相等，如 Euclid III.35 中记录的结果。来自博客的原始教学插图。 这个概念引出了其他概念：两个圆的根轴是相对于两个圆具有相同幂的点的位置，这是当今在相切问题中使用的工具。 在日常生活中 距地平线的距离。 从海平面以上的高度 $h$ 开始，地平线的切线测量为 $d$，其中 $d^2 = h(2R + h)$，其中 $R$ 是地球的半径 (III.36)。在 1,7 米高度处，地平线距离约 4,7 公里。 **弓的半径。**测量弦$c$和箭头$s$（弓的高度），半径为$r = \tfrac{c^2/4 + s^2}{2s}$。修复者用它来重建旧的拱门和窗户。 **道路曲线。**测量员以相同的方式计算曲线的半径，在沥青上测量弦和箭头。 **透镜和镜子。**透镜的曲率半径是通过测量已知直径部分的深度获得的。 来源： 元素，命题 III.35 · 元素，命题 III.36 · Steiner (MacTutor)。

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相似性案例（标准）

为了确保两个三角形相似，不必检查所有内容：两个角度或三个边之间的比率就足够了。 谁发现的 这三个标准位于欧几里得的几何原本的第六册中（c. 300 BC）：三角形等角具有成比例的边（VI.4，情况AA），三角形具有三个比例边的情况类似 (VI.5, LLL)，并且两个之间角度相等的比例边也足够 (VI.6, LAL)。更早以前，传统将使用相同形状的三角形来测量难以到达的距离归因于故事。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 相似性标准是三角测量的工具，即测量整个国家的方法。在1615中，荷兰人Willebrord Snellius用一串三角形测量了阿尔克马尔和卑尔根奥普佐姆之间的距离，并估计了地球的大小。 18世纪，卡西尼号家族以同样的方式制作了第一张法国通用地图。 维勒布罗德·斯内利厄斯。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 塞萨尔·弗朗索瓦·卡西尼·德·图里。Jean-Marc Nattier (1685–1766) · 维基共享资源 · 公共领域 不同比例的相同形状的三角形：等角和成比例的对应边。来自博客的原始教学插图。 AA 外壳的功能尤其强大：即使从远处，也可以用简单的仪器测量两个角度，并保证所有边的比例。 在日常生活中 **河流的宽度。**河岸上标有两个相似的三角形，上面有木桩和瞄准器；过河的一侧按比例计算。 相机暗箱和眼睛。 物体及其图像形成相似的三角形，与孔中的顶点相对（案例 AA）。 **坡道和楼梯。**具有相同倾斜度的两个坡道具有相似的轮廓，无论长度如何。 正方形。 具有相同角度（45° 或 30° 和 60°）的不同大小的正方形是相似的。 来源： 元素，命题 VI.4 · 元素，命题 VI.6 · Snellius (MacTutor)。 理论与结构 Teorema · 第一种情况——AA（两个角度） 如果两个三角形有两个角有序全等，那么它们是相似的（因此具有比例同源的边）。

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三角形的相似度

当两个图形具有相同的形状时，即使它们的大小不同，它们也是相似的。这是照片、地图和模型的数学。 谁发现的 这个想法出现在关于米利都传说的故事中，他们通过将金字塔的影子与棍子的影子进行比较来测量金字塔的高度。完整的理论位于欧几里得（约公元前300）的几何原本第六册中，它将相似的图形定义为具有等角和比例边的图形。它取决于第五卷中Eudoxus of Cnidus（公元前 4 世纪）的比例理论，该理论也允许处理不可通约片段之间的比率。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 影子法成为一种工具。从中世纪开始，星盘和象限上就刻有阴影方，并有直本影和本影两种刻度，用来测量塔的高度和井的深度，无需复杂的计算。 旧雕刻：塔的高度是从观察者的两个位置用阴影（直本影和本影）的平方来测量的。欧拉之眼博客的集合。 大约公元前 270，萨摩斯岛的阿里斯塔克斯使用类似的三角形来估计从地球到月球和太阳的相对距离。这些数字与真实数字相去甚远，但比较天空中相似三角形的方法是正确的。 萨摩斯岛的阿里斯塔克斯，后来的艺术表现。克劳迪奥·卡莫齐·维基共享资源·公共领域 在日常生活中 **放大照片。**在不扭曲的情况下“缩放”时，所有测量值都会乘以相同的系数。 模型和微缩模型。 比例为 1 : 43 的购物车的每个尺寸都比真车小 43 倍。 **影子的建筑物高度。**同时将建筑物的影子与已知身高的人的影子进行比较。 **投影仪和相机。**屏幕或传感器上的图像与物体相似，大小与距离成正比。 来源： 故事 (MacTutor) · 元素，第六册 · Aristarchus (MacTutor)。 理论与结构 Definição · 相似三角形 两个三角形相似（符号$\sim$）当且仅当它们具有三个有序全等角和比例同调边： $$\triangle ABC \sim \triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime} \iff \begin{cases} \hat{A} \equiv \hat{A}^{\prime},\ \hat{B} \equiv \hat{B}^{\prime},\ \hat{C} \equiv \hat{C}^{\prime} \\ \dfrac{a}{a^{\prime}} = \dfrac{b}{b^{\prime}} = \dfrac{c}{c^{\prime}} = k \end{cases}$$同源边（同源 = 相同，徽标 = 位置）在每个三角形中各有一个，并且是相反的全等角。数字$k$是相似率；如果 $k = 1$，则三角形全等。

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