Hero Image
阅读：勒让德：走向严谨和说教的几何

进一步阅读 Leitura 勒让德：走向严谨和说教的几何学 在古希腊，公理似乎意味着所有研究领域的共同真理，而公设则意味着特定领域的真理。欧几里得假设了五个公设——其中，从任何一点到任何另一点都可以画一条直线，每条有限的直线都延伸，以任何圆心和半径都可以画一个圆，直角相等，以及著名的第五条平行线——以及五个公理，例如“相同的事物相等”和“整体大于部分”。从那时起，几何原本 就在没有练习或应用的情况下滔滔不绝地讲述定理：以现代标准来看，这是一篇不太具有说教意义的文本。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 在 18 世纪的法国，有几本书似乎使欧几里得更容易理解，但许多书籍牺牲了严谨性。一个值得注意的例外是 Adrien-Marie Legendre 的几何元素 (1752–1833)。勒让德在他的研究中大放异彩——在椭圆函数和数论方面，他完整地阐述了二次互反律——而他的几何学著作则兼具严谨性和说教性，在作者生前在法国出版了二十个版本。在1809中，它在里约热内卢被翻译，并在次年创建的皇家军事学院采用。大约四十年来，勒让德试图证明第五条公设不同于其他公设——正如我们现在所知，这是一项不可能完成的任务——但即使在这些尝试中，他也表现出了巨大的创造力。 阿德里安-玛丽·勒让德，朱利安-利奥波德·布利的漫画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域

October 11, 2026 阅读
Hero Image
12 章中的练习 — 泰勒斯定理

练习和决议 413 用$r$、$s$和$t$平行线确定下面每种情况下$x$的值。 Ver respostaa) 3 · b) 12 · c) 15 · d) 6 414 在图中，线$r$、$s$和$t$是平行的。确定$x$和$y$的值。 Ver respostaa) $x = \dfrac{10}{3}$ · b) $x = \dfrac{25}{6}$ · c) $x = \dfrac{10}{3}$ e $y = \dfrac{18}{5}$ 415 图中，$\overline{MN}$与三角形$ABC$的底边$\overline{BC}$平行。计算$x$的值。 Ver resposta$x = 25$ 416 图中，$\overline{MN} \parallel \overline{BC}$。计算$AB$的值。 Ver resposta$AB = 18$ 417 图中，计算$x$的值。 Ver resposta$x = 24$

October 11, 2026 阅读
Hero Image
角平分线 定理

三角形角的角平分线将其对边分成与另外两条边成比例的部分。 谁发现的 内角平分线定理是欧几里得的几何原本的命题VI.3（c. 300 BC）。带有外部的角平分线并不存在于希腊文本中：它是由苏格兰人Robert Simson在其1756的几何原本版本中作为第六卷的“命题A”添加的，该版本是英国一个多世纪以来几何教学的基础。这两个 角平分线 与阿波罗尼乌斯圈子有关，由佩尔加的阿波罗尼乌斯（公元前 3 世纪）研究。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 罗伯特·西姆森.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 佩尔加的阿波罗尼乌斯，后来的艺术表现。乔瓦尼·巴蒂斯塔备忘录 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 阿波罗尼乌斯证明，与两个固定点的距离之比恒定的点形成一个圆。内、外角平分线在分割比率的两个点处切割线段，这两点是该圆的直径的端点。 平行线按比例切割三角形的边；辅助三角形允许面积证明。来自博客的原始教学插图。 欧几里得的证明使用与 角平分线 相似的方法，并依赖于上一主题中的泰勒斯定理。这是 几何原本 的结果如何相互支持的另一个示例。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 **迫害。**阿波罗尼乌斯之环对追捕者以两倍于逃亡者的速度设法追上的情况作出回应：可能的交汇点形成了这个圆圈。 按比例划分。 角平分线 一个角上的栅栏将三角形土地的正面与其他边按比例划分。 照明。 在具有两个功率不同的极点的正方形中，从每个极点接收相同光的点形成一个阿波罗尼乌斯圆。 光学。 在镜子中，反射光线与法线形成相等的角度，其作用相当于入射光线和出射光线之间的 角平分线。 来源： 元素，命题 VI.3 · Robert Simson (MacTutor) · Apollonius (MacTutor)。 理论与结构 Teorema · 内部 角平分线 定理 三角形的内部 角平分线 将相对边分成（相加）线段与相邻边成比例。当 $\overline{AD}$ 为内部 角平分线、$DB = x$ 和 $DC = y$（带有 $x + y = a$）时： $$\frac{x}{c} = \frac{y}{b}.$$

October 11, 2026 阅读
Hero Image
泰勒斯定理

一束平行线将两条横截线切割成成比例的部分。正是基于这个想法，一块板被分成相等的部分，而不需要做任何数学计算。 谁发现的 结果被称为米利都传说（公元前 6 世纪），传统上与​​通过阴影测量大金字塔的高度相关（请参阅本章开头对此的好奇）。我们知道的演示来自欧几里德，在几何原本（约公元前300）的命题VI.2中，并使用三角形的面积。这一结果被称为“塔尔斯定理”，这是巴西、葡萄牙、法国、西班牙和意大利等国家的传统；在德语和英语中，同一个名称指的是半圆内切的角。 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 没有记录表明泰勒斯证明了该定理。消息来源称，他使用比例来测量高度和距离。欧几里得的证明也需要适用于不可通约的线段，这就是为什么它基于第五卷中 Eudoxus 的比例理论。 这个名字似乎在 19 世纪末就出现在法国教科书中，并从那时起进入了巴西的教学。泰勒斯对半圆角的看法更为古老，来自第欧根尼·拉尔西奥 (Diógenes Laércio)。 第欧根尼·拉埃西奥（Diógenes Laércio），后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 将木板分成相等的部分。 木匠将卷尺倾斜在木板上，直到从边缘到边缘适合“圆形”测量（例如 30 厘米到 5 部分），并从 6 到 6 厘米进行标记：标记将宽度分成相等的部分。 **比例。**地图、模型和平面图保持原始比例。 **板条和网格。**等距平行线将任何斜线切成相等的部分。 **透视图。**设计师使用比例来分隔绘图中分开的柱子和窗户。 来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 VI.2 · 元素，书 V。 理论与结构 Definição · 平行和横向梁 平行线束是一组彼此平行的共面线。 梁的横截面是平面中与梁的所有直线相切的直线。 两条横截面的对应点位于梁的同一条直线上； 相应的段在相应的点处有端点。 Propriedade · 一致的零件 如果两条直线是一束不同平行线的截线，其中一条线段被分为 $p$ 个全等部分，且该束直线经过分界点，则另一条截线的相应线段也被分为 $p$ 个全等部分彼此全等。

October 11, 2026 阅读