并行的存在唯一性
平行线穿过直线之外的一点。 只有一次通过是几何史上讨论最多的说法。
谁发现的 这 存在 并行的证明是 欧几里得 （提案 I.31）。这 独特性 取决于你的 第五假设，许多人试图将其转化为定理。今天学校使用的形式——“一条平行线穿过直线之外的一点”——被称为 普莱费尔公理，因为苏格兰 约翰·普莱费尔，他在 1795 年普及了它，尽管 Proclus 已经阐述过它。 1829年，俄国人 尼古拉·罗巴切夫斯基 发表了一种几何学，其中有无限多条平行线通过。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 约翰·普莱费尔.亨利·雷伯恩爵士（去世 1823）· 维基共享资源 · 公共领域 尼古拉·罗巴切夫斯基，列夫·克留科夫的肖像。Lev Kryukov · 维基共享资源 · 公共领域 故事 两千多年来，数学家们试图证明第五条公设，而其他公设包括古代的托勒密和普罗克洛斯， 伊本·海瑟姆, 奥马尔·海亚姆 和 纳西尔·丁·图西 在伊斯兰世界， 吉罗拉莫·萨切里 （1733），兰伯特和勒让德在欧洲。每个人最终都在没有意识到的情况下使用了某种相当于公设本身的陈述。
克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 伊本·海赛姆（Ibn al-Haytham），后来的艺术代表。阿道夫·博伊 (Adolph Boÿ)，由杰里米亚斯·法尔克 (Jeremias Falck) 雕刻。用作 Johannes Hevelius 的卷首插画，Selenographia，1647 · 维基共享资源 · 公共领域 奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam），后来的艺术代表。Alireza Javaheri · 维基共享资源 · CC BY 3.0 Nasir al-Din al-Tusi，后来的艺术代表。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 阿德里安-玛丽·勒让德，朱利安-利奥波德·布利的漫画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域 当 Lobachevsky (1829) 和匈牙利人 János Bolyai (1832) 独立接受公设的否定并获得没有矛盾的几何时，转折点出现了。 高斯得出了相同的想法，但从未发表。第五条公设不是一个定理：它是一个选择，本书的几何学就是采用它的。
