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阅读：第五公设

进一步阅读 Leitura 第五假设 平行公设是几何原本的第五公设。自古以来，许多数学家一直不信任它：它看起来更像是一个定理，而不是一个明显的真理，而且几代人都试图从其他四个数学家那里证明它。所有的尝试都失败了——在 19 世纪，高斯、博利亚伊和洛巴切夫斯基意识到了原因：通过将第五公设改为“通过一个点，经过几条平行线”，人们可以获得与欧几里得的几何形状一致的几何形状，双曲几何。其中，三角形的内角和小于 180°。欧几里得的公设并不是逻辑必然性；这个选择决定了我们日常生活的几何形状。 卡尔·弗里德里希·高斯。克里斯蒂安·阿尔布雷希特·詹森 (1792–1870) · 维基共享资源 · 公共领域 János Bolyai，费伦茨·马科斯 (Ferenc Márkos) 的想象肖像 (2012)。费伦茨·马科斯 · 维基共享资源 · CC BY-SA 3.0 尼古拉·罗巴切夫斯基，列夫·克留科夫的肖像。Lev Kryukov · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域

October 11, 2026 阅读
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5 章中的练习 — 并行性

练习和决议 130 由于直线$a$与直线$b$平行，因此在以下情况下确定$x$： Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Ver respostaa) $50^{\circ}$ · b) $60^{\circ}$

October 11, 2026 阅读
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三角关系的后果

任意三角形的内角和为180°。这也许是继毕达哥拉斯定理之后最著名的几何定理。 谁发现的 普罗克洛斯引用罗德岛的尤德穆斯的话，将三角形的角加起来等于两个直角的第一个一般性证明归因于毕达哥拉斯学派（公元前6-5世纪）。评论员Gemino补充说，古人已经分别证明了等边三角形、等腰和不等腰的事实。我们得到的版本是欧几里得的几何原本的命题I.32，它也证明了外角等于两个不相邻内角之和。 雅典学院的人物归因于罗德岛的尤德穆斯 (Eudemus of Rhodes)；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 该证明使用一条平行于一侧的边——因此取决于第五条假设。这不是一个细节：在非欧几里得几何中，三角形的内角和与 180° 不同。例如，在球体的表面上，它总是更大。 法国沙特尔大教堂（12 世纪）皇家大门上的雕塑中，毕达哥拉斯属于文科人物之一。欧拉之眼博客的集合。 勒让德18 世纪末证明，如果没有第五条公设，三角形之和永远不会超过 180°，并且如果单个三角形的和恰好为 180°，则所有三角形都会超过 180°。据说 高斯，在测量德国三座山之间的一个大三角形时，他会检查总和是否为180°；历史学家们争论这是否是其意图。 阿德里安-玛丽·勒让德，朱利安-利奥波德·布利的漫画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域 卡尔·弗里德里希·高斯。克里斯蒂安·阿尔布雷希特·詹森 (1792–1870) · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 **撕掉角。**剪出一个纸三角形，撕掉三个角并将它们连接在一起：它们形成一个浅角。 屋顶。 知道屋顶的坡度（例如，30°）并且剪刀顶部是对称的，木匠计算顶部的角度：120°。 **地形。**测量三角形地形的三个角度时，测量员检查总和是否为180°；差异表示测量误差。 **导航。**飞行员和领航员计算航线三角形的第三个角度与其他两个角度的关系。 来源： 元素，命题 I.32 · 毕达哥拉斯 (MacTutor) · 勒让德 (MacTutor)。

October 11, 2026 阅读
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并行的存在唯一性

平行线穿过直线之外的一点。 只有一次通过是几何史上讨论最多的说法。 谁发现的 这 存在 并行的证明是 欧几里得 （提案 I.31）。这 独特性 取决于你的 第五假设，许多人试图将其转化为定理。今天学校使用的形式——“一条平行线穿过直线之外的一点”——被称为 普莱费尔公理，因为苏格兰 约翰·普莱费尔，他在 1795 年普及了它，尽管 Proclus 已经阐述过它。 1829年，俄国人 尼古拉·罗巴切夫斯基 发表了一种几何学，其中有无限多条平行线通过。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 约翰·普莱费尔.亨利·雷伯恩爵士（去世 1823）· 维基共享资源 · 公共领域 尼古拉·罗巴切夫斯基，列夫·克留科夫的肖像。Lev Kryukov · 维基共享资源 · 公共领域 故事 两千多年来，数学家们试图证明第五条公设，而其他公设包括古代的托勒密和普罗克洛斯， 伊本·海瑟姆, 奥马尔·海亚姆 和 纳西尔·丁·图西 在伊斯兰世界， 吉罗拉莫·萨切里 （1733），兰伯特和勒让德在欧洲。每个人最终都在没有意识到的情况下使用了某种相当于公设本身的陈述。 克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 伊本·海赛姆（Ibn al-Haytham），后来的艺术代表。阿道夫·博伊 (Adolph Boÿ)，由杰里米亚斯·法尔克 (Jeremias Falck) 雕刻。用作 Johannes Hevelius 的卷首插画，Selenographia，1647 · 维基共享资源 · 公共领域 奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam），后来的艺术代表。Alireza Javaheri · 维基共享资源 · CC BY 3.0 Nasir al-Din al-Tusi，后来的艺术代表。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 阿德里安-玛丽·勒让德，朱利安-利奥波德·布利的漫画。Julien-Léopold Boilly · 维基共享资源 · 公共领域 当 Lobachevsky (1829) 和匈牙利人 János Bolyai (1832) 独立接受公设的否定并获得没有矛盾的几何时，转折点出现了。 高斯得出了相同的想法，但从未发表。第五条公设不是一个定理：它是一个选择，本书的几何学就是采用它的。

October 11, 2026 阅读
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平行线

平行线永远不会相交——然而，在透视图中，它们似乎在地平线上相交。 谁发现的 经典的定义来自欧几里得（c. 300 BC），在几何原本的定义I.23中：平行线是在同一平面内并且在两个方向上无限延伸且不相交的线。由横向（交替、对应、并列）形成的角度之间的关系是命题 I.27 到 I.29。哲学家波西多尼乌斯（公元前一世纪）提出了另一个定义，即直线总是处于相同的距离； Proclus 记录了这场辩论。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 波西多尼乌斯，后来的艺术代表。Sailko · 维基共享资源 · CC BY 3.0 故事 为什么不将平行线定义为“等距”线，这样看起来更自然？因为要证明两条不相交的直线总是处于相同的距离需要第五条公设——而希腊人已经怀疑它很微妙。欧几里得选择了依赖于较少假设的定义，并首先证明了他在没有假设的情况下所能做到的一切：命题 I.27 和 I.28 不使用它，而 I.29 则使用它。 平行和横向：比较角度是演示方法的一部分。来自博客的原始教学插图。 在文艺复兴时期，Filippo Brunelleschi (c. 1415) 和Leon Battista Alberti (1435) 表明，在透视绘画中，必须绘制会聚到消失点的平行线。因此，射影几何诞生了，其中“平行线相交于无穷远”。 菲利波·布鲁内莱斯基。马萨乔； Sailko 复制，MenkinAlRire 剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域 莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂。莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂；国家美术馆复制品 · 维基共享资源 · CC0 在日常生活中 **火车轨道。**它们需要平行：如果它们之间的距离发生变化，火车就会脱轨。 **道路车道和停车位。**它们平行绘制以组织交通。 **百叶窗和笔记本板条。**等距平行线。 **摄影。**在一张笔直街道的照片中，平行的人行道似乎在地平线上相遇——文艺复兴的消失点。 来源： 元素，定义 I.23 · 元素，命题 I.29 · Proclus (MacTutor)。

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