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3 - 角度一章中的练习

练习和决议 下面的计算器逐步计算练习 29 到 33 的度、分和秒。先尝试解决它并用它来检查。 输入角度并选择操作。它显示了每个步骤：60”变为1’，60’变为1°。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 29 简化以下测量： a) $30^{\circ}70^{\prime}$ · b) $45^{\circ}150^{\prime}$ · c) $65^{\circ}39^{\prime}123^{\prime\prime}$ · d) $110^{\circ}58^{\prime}300^{\prime\prime}$ · e) $30^{\circ}56^{\prime}240^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $31^{\circ}10^{\prime}$ · b) $47^{\circ}30^{\prime}$ · c) $65^{\circ}41^{\prime}3^{\prime\prime}$ · d) $111^{\circ}3^{\prime}$ · e) $31^{\circ}$ 30 确定总和： a) $30^{\circ}40^{\prime} + 15^{\circ}35^{\prime}$ · b) $10^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime} + 15^{\circ}29^{\prime}20^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $46^{\circ}15^{\prime}$ · b) $26^{\circ}0^{\prime}5^{\prime\prime}$ 31 确定差异： a) $20^{\circ}50^{\prime}45^{\prime\prime} - 5^{\circ}45^{\prime}30^{\prime\prime}$ · b) $31^{\circ}40^{\prime} - 20^{\circ}45^{\prime}$ · c) $90^{\circ}15^{\prime}20^{\prime\prime} - 45^{\circ}30^{\prime}50^{\prime\prime}$ · d) $90^{\circ} - 50^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $15^{\circ}5^{\prime}15^{\prime\prime}$ · b) $10^{\circ}55^{\prime}$ · c) $44^{\circ}44^{\prime}30^{\prime\prime}$ · d) $39^{\circ}29^{\prime}15^{\prime\prime}$

October 11, 2026 阅读
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直角、锐角和钝角 — 测量

为什么完整的转弯具有 360 度，而不是 100？答案在于美索不达米亚天文学。 谁发现的 名称直角、锐角和钝角来自欧几里得，他在几何原本中定义了它们（定义I.10到I.12）：直角是与其补邻角相等的角；锐的，比直的小；钝的，最大的。 度 的测量有另一个起源，即巴比伦天文学，如下面好奇的“为什么是 360 度？”中所述。 分钟和秒这两个词来自Claudius Ptolemy（公元2世纪）的拉丁语翻译。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 故事 欧几里得从未以度为单位测量角度。对他来说，直角是自然单位：一个角“等于两个直角”或“小于一个直角”，他的第四条公设指出所有直角都相等。数值测量来自天文学家，他们需要定位天空中的恒星和行星。 节点 天文学大成，托勒密将每个度数细分为以 60 为基数的分数。在拉丁语翻译中，它们变成了 主要细节部分 和 次要微小零件 —“第一小部分”和“第二小部分”—，分钟和秒的来源。 角度 21° 12′ 22″ 以托勒密的希腊方式、拉丁语和葡萄牙语书写：分和秒来自六十进制部分。来自博客的原始教学插图。 在法国大革命中，人们尝试将直角与米一起分成 100 部分，即 grad。该单位在科学计算器的“GRAD”模式下仍然存在，但学位已经过期。 在日常生活中 **瓦工的正方形。**确保墙壁和地板以直角相交。 地理坐标。 纬度和经度是以度、分和秒为单位测量的角度。 演习。“To Give 180”是颠倒意思；滑板上的“360”就是一个完整的转弯。 指南针。 飞机或轮船的航向以从北开始的度数给出：90° 为东，180° 为南。 来源： 元素，假设 4 · 托勒密 (MacTutor) · 元素，定义 I.10。

October 11, 2026 阅读
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一致性和比较

复制一个角度并将其分成两半是经典的结构。然而，两千多年来，将其分成三等份一直是数学家面临的挑战。 谁发现的 这两个结构位于欧几里德（c. 300 BC）的几何原本中：命题I.9将一个角度分成两半（a 角平分线），并且I.23 将给定角度复制到另一条直线上。用尺子和圆规将角度三等分（将任何角度分成三等分）在1837被法国人Pierre Wantzel证明是不可能的，当时他才刚过20岁。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 三等分是三个古典希腊问题之一，另外两个是立方加倍和圆的平方。希腊人能够使用特殊的曲线或带有标记的尺子来解决这个问题——阿基米德给出了这样的解决方案——但绝不仅仅使用没有标记的尺子和指南针。 阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域 角平分线 将开口分成两个相等的角度：相等的长度有助于建立比较。来自博客的原始教学插图。 Wantzel 将问题转化为代数：使用尺子和圆规的每个构造都相当于求解 2 度方程，而三等分 60° 的角度需要一个无法约简到它们的 3 度方程。业余爱好者寄给杂志的“三分”至今仍然出现；他们都有一些错误。 在日常生活中 **木匠的suta。**它是一个“角度复制器”：它复制屋顶或楼梯的坡度以供切割——实践中的I.23命题。 斜接。 要闭合装饰线条和踢脚板上的 90° 角，每块都在 45° 处切割：在 角平分线 处从直角切割。 折叠。 无需任何工具，将纸张的一侧折叠到另一侧标记 角平分线 上。 **台球。**球离开球台的角度与到达时的角度相同。 来源： 元素，命题 I.9 · 元素，命题 I.23 · Wantzel (MacTutor)。 理论与结构 Postulado · 角度全等 角度的同余（符号$\equiv$）是一个原始概念，满足： 反射： $\widehat{ab} \equiv \widehat{ab}$。 **对称：**如果 $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$，则 $\widehat{cd} \equiv \widehat{ab}$。 **传递：**如果 $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$ 和 $\widehat{cd} \equiv \widehat{ef}$，则 $\widehat{ab} \equiv \widehat{ef}$。 **角度传递：**给定平面的角度 $A\hat{O}B$ 和射线 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$，在该平面中，直线 $O^{\prime}A^{\prime}$ 确定的每个半平面中都存在一条射线 $\overrightarrow{O^{\prime}B^{\prime}}$，它与 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$ 形成与 $A\hat{O}B$ 一致的角度 $A^{\prime}\hat{O^{\prime}}B^{\prime}$。

October 11, 2026 阅读
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角度：定义

两条具有相同原点的射线形成一个角度。关于角度的第一个定理甚至有一个有名的发现者。 谁发现的 Proclus（公元 5 世纪）引用了罗得岛的 Eudemus 的几何史，根据其说法，米利都的泰勒斯（约公元前 624–546 BC）首先认识到与顶点相对的角相等；欧几里得后来才在命题 I.15 中“科学地”证明了这一点。角度作为“两条线的倾斜度”的定义在Euclid的几何原本中（定义I.8）。 雅典学院的人物归因于罗德岛的尤德穆斯 (Eudemus of Rhodes)；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 毕竟，什么是角度？ Proclus 记录称，古人讨论了它是数量（可测量的东西）、质量（如形式）还是两条线之间的关系。现代定义避免了讨论：角度是由同源的两条射线形成的图形。 泰勒斯的著作来自于他之后许多世纪的作者，我们没有泰勒斯本人的文字。即便如此，它还是有价值的：它表明希腊人已经在其中看到了几何学的开端，在几何学中，事实需要论证。 在日常生活中 **剪刀和钳子。**打开刀片时，手柄以相同的角度打开：它们是与顶点相对的角度。 时钟指针。 在 3 h 处，它们形成直角；在 6 h 处，一个浅角度。 **开门。**带有减震器的门最大打开一定角度，以免撞到墙壁。 **视野。**手机摄像头告知他们可以看到的角度； “广角”涵盖的范围更多。 来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 I.15 · 元素，定义 I.8。 理论与结构 Definição · 角度 角度是同源两条射线的交点，但不包含在同一条直线中（不共线）。 $$A\hat{O}B = \overrightarrow{OA} \cup \overrightarrow{OB}$$点$O$是角的顶点，射线$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$是边。当 $a$ 和 $b$ 是边时，我们也写 $a\hat{O}b$ 或简单地写 $\widehat{ab}$。

October 11, 2026 阅读
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简介：凸面和半平面

一条直线将平面分为两侧。当图形没有“凹痕”时，它就是凸图形。这两个想法是相辅相成的。 谁发现的 第一个仔细定义凸图形的是 锡拉丘兹的阿基米德 （约公元前287年至212年），在作品中 关于球体和圆柱体，它使用“凹向同侧”曲线来比较周长。平面与直线的分离形式化为 莫里茨·帕什 1882 年：他的公理说，从一侧进入三角形的直线必须从另一侧退出。 19世纪末， 赫尔曼·闵可夫斯基 使凸性成为自己的数学领域。 阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域 莫里茨·帕什.古斯塔夫·巴托芬 · 维基共享资源 · 公共领域 赫尔曼·闵可夫斯基.身份不明的摄影师； 《Raum und Zeit》的复制 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 阿基米德需要凸性来解决一个具体问题：证明内接于圆的多边形的周长小于其自身的周长，而外接多边形的周长则大于其自身的周长。这样他就将 π 的值包围在 $3\tfrac{10}{71}$ 和 $3\tfrac{1}{7}$ 之间。 帕什公理解决了另一个问题：欧几里得从未证明直线将平面分成两侧。他只是简单地画、看。从帕什开始，“在直线的同一侧”开始有一个精确的定义——半平面——它将用来定义角的内部。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 镜片。 凸镜片，例如放大镜和远视眼镜中的镜片，可以集中光线；凹面的则传播它。 **指甲上有松紧带。**围绕几个指甲的松紧带形成包含它们的最小凸形图形 - 计算机图形学中使用的“凸包”。 **街道的两侧。**街道将社区分为两个半平面：一侧为偶数，另一侧为奇数。 **电子游戏。**使用凸形状检测碰撞要快得多，这就是为什么角色被看不见的凸“盒子”包围。 来源： 阿基米德 (MacTutor) · Pasch (MacTutor) · Minkowski (MacTutor)。 理论与结构 观看有关凸区域和半平面的视频课程，然后遵循理论。

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