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周长

将绳子缠绕在罐子上，然后将其拉伸至直径：它刚好适合三倍。这适用于任何罐头、轮子或硬币。这个“略多于三”是数字π。 谁发现的 大约 4 000 年前，巴比伦人和埃及人就已经知道圆的轮廓略大于三个直径；他们使用了 3、$3\tfrac{1}{8}$ 和 3,16 等值。第一个计算出 π 的确定性是锡拉丘兹的阿基米德（公元前 3 世纪）：他使用边长为 96 的多边形，证明了 π 位于 $3\tfrac{10}{71}$ 和 $3\tfrac{1}{7}$ 之间。符号 π 由威尔士人 William Jones 在 1706 中使用，并由 Leonhard Euler 推广。 故事 阿基米德用两个多边形（一内一外）包围圆，并将边数增加四倍：6、12、24、48和96。多边形的周长从下方和上方接近轮廓。 公元5世纪，中国祖冲之达到了3,1415926 < π < 3,1415927，这个记录持续了近一千年。如今，π 的小数位数已由计算机计算得出，但对于工程中的几乎所有内容，3,14159 就足够了。 在日常生活中 **车轮和里程表。**每转一圈，车轮都会行驶其长度 $C = 2\pi r$；汽车仪表板计算圈数。 自行车。 轮辋为 29 的车轮与轮胎的直径约为 74 厘米：每转行驶约 2,3 米。 **田径跑道。**外侧车道的起点更靠前，因为它们的弯道更长。 **裁缝的卷尺。**测量腰围就是测量“周长”。 公式 选择半径并将轮子滚动一圈。展开的红色部分就是周长；黄色标记是直径。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Teorema · 周长 任何圆的长度 $C$ 与其直径 $d$ 之间的比率始终是相同的数字 $\pi \approx 3{,}14159$。像这样， $$C = \pi \cdot d = 2\pi r.$$

October 12, 2026 阅读
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平面图形的面积

土地有多少平方米，墙上涂了多少油漆，旗帜上涂了多少布料？所有这些问题都与面积有关 - 几乎所有公式都来自一个：矩形。 谁发现的 我们记录的第一个面积计算来自来自埃及和美索不达米亚的抄写员：莱茵德纸莎草纸（约公元前 1650 BC）计算矩形、三角形甚至圆形区域的面积，巴比伦泥板显示梯形的面积。希腊人为这些规则提供了理由：在几何原本中，欧几里得（公元前300）证明了具有相同底和相同高度的平行四边形具有相同的面积（命题I.35），并且三角形是平行四边形的一半（I.41）。圆公式由阿基米德（公元前3世纪）证明。 故事 希腊人的想法是通过剪切和粘贴来比较图形，无需数字：如果一个图形可以分解并重新组装成另一个图形，则两个图形具有相同的面积。和下图的方法是一样的。 对于圆，埃及人使用的规则是“从直径取$\tfrac{1}{9}$并求其平方”，这相当于使用$\pi \approx 3{,}16$。阿基米德表明，圆的面积等于底等于周长、高等于半径的三角形的面积——即$\pi r^2$。 在日常生活中 房产。 公寓的价格是每平方米的价格；该平面图显示了每个房间的面积。 **油漆和地板。**油漆和陶瓷的用量取决于墙壁和地板的面积。 农业。 产量和种子按每公顷 (10 000 平方米) 计算。 披萨。 直径为 40 厘米的披萨的面积几乎是 30 厘米披萨面积的两倍（1 257 平方厘米与 707 平方厘米）。 从矩形到其他图形 Resumo · 面积公式 数字 区域 主意 长方形 $A = b \cdot h$ 正方形的线 平行四边形 $A = b \cdot h$ 剪出一个三角形，然后把它变成一个长方形 三角形 $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ 平行四边形的一半 梯形 $A = \dfrac{(B + b)\, h}{2}$ 两个梯形组成一个平行四边形 钻石 $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$ 矩形对角线的一半 圆圈 $A = \pi r^2$ 扇区形成“几乎矩形” 选择图形并拖动黄色顶点。高度始终是垂直于底座（虚线）测量的。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 12, 2026 阅读
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用尺子和圆规建造

没有标记的尺子和指南针：仅用这两种工具，希腊人就可以完全精确地绘制中点、垂直线和平行线。 谁发现的 经典结构位于欧几里得（公元前300）的几何原本中：垂直平分线和中点（命题I.10），角平分线 (I.9)、垂直一点（I.11 和 I.12）和平行一点（I.31）。只使用没有标记的尺子和圆规的规则来自欧几里得的前三个公设：通过两点画一条直线，延长它并以任意圆心和半径画一个圆。 故事 对于希腊人来说，建筑是以绘图形式进行的演示：每一步都需要通过已经证明的结果来证明其合理性。这就是为什么有刻度的尺子不值得——测量是近似，建造是保证。 两千多年来，三个著名的问题一直困扰着这些工具：将任何角度分成三等分，构造一个体积是另一个体积两倍的立方体，以及构造一个与圆面积相同的正方形。 19 世纪，Pierre Wantzel (1837) 和 Ferdinand von Lindemann (1882) 证明仅用尺子和指南针就可以实现这三个目标不可能。 在日常生活中 **木工和金属制品。**干点罗盘标记中心，将零件分成两半并绘制垂直线，而无需正方形。 技术制图。 CAD 程序和 GeoGebra 的“垂直平分线”、“角平分线”和“垂直”工具重复了欧几里得的构造。 园艺。 使用两根木桩和一根绳子，您可以标记圆形花坛或垂直于墙壁的线。 四种构造 在每个图中，拖动点并一次前进一步。用真正的尺子和圆规在纸上重复构建。 垂直平分线 和中点 Definição · 垂直平分线 线段 $\overline{AB}$ 的 垂直平分线 是通过其中点垂直于 $\overline{AB}$ 的线。 垂直平分线 上的每个点与 $A$ 和 $B$ 的距离相同。 垂直平分线的构造：点P和Q到A和B的距离相同。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 为什么会起作用？ 圆弧具有相同的半径，因此 $PA = PB$ 和 $QA = QB$。距$A$和$B$等距离的点组成垂直平分线；由于其中有$P$和$Q$，所以直线$PQ$就是垂直平分线。

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