梯形 | Euler's Eyes

平面图形的面积

土地有多少平方米，墙上涂了多少油漆，旗帜上涂了多少布料？所有这些问题都与面积有关 - 几乎所有公式都来自一个：矩形。谁发现的我们记录的第一个面积计算来自来自埃及和美索不达米亚的抄写员：莱茵德纸莎草纸（约公元前 1650 BC）计算矩形、三角形甚至圆形区域的面积，巴比伦泥板显示梯形的面积。希腊人为这些规则提供了理由：在几何原本中，欧几里得（公元前300）证明了具有相同底和相同高度的平行四边形具有相同的面积（命题I.35），并且三角形是平行四边形的一半（I.41）。圆公式由阿基米德（公元前3世纪）证明。故事希腊人的想法是通过剪切和粘贴来比较图形，无需数字：如果一个图形可以分解并重新组装成另一个图形，则两个图形具有相同的面积。和下图的方法是一样的。对于圆，埃及人使用的规则是“从直径取$\tfrac{1}{9}$并求其平方”，这相当于使用$\pi \approx 3{,}16$。阿基米德表明，圆的面积等于底等于周长、高等于半径的三角形的面积——即$\pi r^2$。在日常生活中房产。公寓的价格是每平方米的价格；该平面图显示了每个房间的面积。 **油漆和地板。**油漆和陶瓷的用量取决于墙壁和地板的面积。农业。产量和种子按每公顷 (10 000 平方米) 计算。披萨。直径为 40 厘米的披萨的面积几乎是 30 厘米披萨面积的两倍（1 257 平方厘米与 707 平方厘米）。从矩形到其他图形 Resumo · 面积公式数字区域主意长方形 $A = b \cdot h$ 正方形的线平行四边形 $A = b \cdot h$ 剪出一个三角形，然后把它变成一个长方形三角形 $A = \dfrac{b \cdot h}{2}$ 平行四边形的一半梯形 $A = \dfrac{(B + b)\, h}{2}$ 两个梯形组成一个平行四边形钻石 $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$ 矩形对角线的一半圆圈 $A = \pi r^2$ 扇区形成“几乎矩形” 选择图形并拖动黄色顶点。高度始终是垂直于底座（虚线）测量的。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 12, 2026 阅读

7 章中的练习——著名的四边形

练习和决议 224 在以下情况下确定$x$的值： Ver respostaa) $x = 120^{\circ}$ · b) $x = 75^{\circ}$ 225 确定以下情况下四边形 $ABCD$ 的角度： Ver respostaa) $130^{\circ}$, $70^{\circ}$, $95^{\circ}$, $65^{\circ}$ · b) $55^{\circ}$, $105^{\circ}$, $70^{\circ}$, $130^{\circ}$ 226 确定以下情况下$x$的值： a) $PA = PB$； b) $AB = AD$ 和 $CB = CD$。 Ver respostaa) $x = 35^{\circ}$ · b) $x = 70^{\circ}$ 227 如果$\overline{AP}$和$\overline{BP}$为角平分线，则在以下情况下确定$x$： Ver respostaa) $x = 70^{\circ}$ · b) $x = 100^{\circ}$

October 11, 2026 阅读

后果——中等基础

连接三角形两条边的中点：该线段平行于第三条边并测量第三条边的一半。谁发现的中基定理是欧几里德的几何原本的命题VI.2的特例：平行于三角形一条边的直线以相同的比例分割另外两条边。一位著名作者得出了一个美丽的结论：法国人 Pierre Varignon (1654–1722) 表明，连接任何四边形的边的中点，总是可以获得一个平行四边形。结果在他去世后发表在1731中。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域皮埃尔·瓦里尼翁.作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域故事瓦里尼翁是巴黎的一位牧师、数学教授，也是法国莱布尼茨微积分的第一批捍卫者之一。 “瓦里尼翁平行四边形”是平均底边的直接应用：它的每条边都是由四边形的对角线形成的三角形的平均底边。梯形的平均底边，等于底边的平均值，解释了海伦记录的梯形面积的公式：底边的平均值乘以高度。亚历山大的苍鹭，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域在日常生活中 **梯子。**在向上变窄的楼梯上，中间的台阶测量第一个和最后一个台阶之间的平均值。 **梯形书架。**在侧面倾斜的书柜中，中间的书架是底部和顶部宽度的平均值。屋顶剪刀。连接两个屋顶中点的水平件尺寸为跨度的一半，并与底座平行。绘图中的中点。在绘图程序中，以任何方式连接中点都会生成平行四边形，正如 Varignon 所预测的那样。来源：元素，命题 VI.2 · Varignon (MacTutor)。理论与结构 Teorema · 三角形的中底 a) 如果线段的端点位于三角形两条边的中点，则它与第三条边平行，并且测量其一半： $$(AM = MB,\ AN = NC) \Rightarrow \overline{MN} \parallel \overline{BC} \ \text{ e } \ MN = \frac{BC}{2}.$$b) **倒数：**如果平行于一侧的线段的一端位于另一侧的中点，另一端位于第三侧，则该端是第三侧的中点。

October 11, 2026 阅读

长方形、菱形和正方形

对角线可以告诉我们很多关于四边形的信息。在矩形内，它们相等；在菱形中，垂直；在广场上，两者。谁发现的广场对角线上最著名的文献是巴比伦石板YBC 7289，大约来自公元前1800–1600，今天在耶鲁大学。它显示一个带有对角线的正方形，值为 $\sqrt{2}$，误差小于百万分之一。矩形和菱形的对角线的性质源自欧几里德的几何原本的平行四边形定理。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事写在平板电脑上的数字以 60 为基数，为 1；24,51,10，即 $1 + \tfrac{24}{60} + \tfrac{51}{60^2} + \tfrac{10}{60^3} \approx 1{,}414213$。没有人确切知道抄写员是如何计算的；一个假设是他们使用了一种逐次逼近的方法，现在的名称为 Heron。亚历山大的苍鹭，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域希腊人后来发现正方形的对角线和边没有共同的度量——这是 $\sqrt{2}$ 不是分数的第一个已知证明。毕达哥拉斯学派的这一发现改变了我们对数字和长度的思考方式。在日常生活中检查正方形。瓦工和木匠测量形状、门或绘画的两条对角线：如果它们相同，则平行四边形是矩形。栅栏和栏杆。金属丝网形成菱形；垂直的对角线允许画布拉伸而不会撕裂。 **风筝。**风筝的交叉枝条是垂直的对角线。 **A4纸。**边之间的比例为$\sqrt{2}$，与正方形的对角线相同：对折，纸张保持其形状。来源： YBC 7289 和 2 的根 (MacTutor) · 元素，命题 I.34。理论与结构除了平行四边形的性质外，每一个都有其特有的性质。 Teorema · 长方形：对角线全等 a) 在每个矩形中，对角线都是全等。 b) 倒数：每个具有全等对角线的平行四边形都是矩形。 Teorema · 菱形：垂直对角线 a) 每个菱形都有垂直的对角线。 b) 倒数：每个具有垂直对角线的平行四边形都是菱形。

October 11, 2026 阅读

平行四边形的性质

对边相等，对角相等，对角线一分为二。平行四边形是力和铰接机构的图形。谁发现的第一个属性位于欧几里得（c. 300 BC）的几何原本的命题I.34中：在平行四边形中，相对边和角度相等，对角线将其分为同一区域的两个部分。在几何之外，平行四边形因平行四边形力法则而闻名，该法则由佛兰德斯西蒙·斯蒂文 (1586) 使用，并由艾萨克·牛顿在原理 (1687) 中阐明：两个作用在一点上的力相当于它们形成的平行四边形的对角线。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域西蒙·史蒂文.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域艾萨克·牛顿。戈弗雷·内勒 (1646–1723) · 维基共享资源 · 公共领域故事欧几里得的证明绘制了一条对角线，并使用平行线和 ALA 情况之间的交替角度来比较形成的两个三角形。该线程遵循的脚本相同。平行四边形的对角线显示了比较中使用的两个三角形。来自博客的原始教学插图。受电弓由 Christoph Scheiner 在 1603 左右发明，使用形成平行四边形的铰接杆将图纸复制到另一个比例：当平行四边形变形时，相对的边保持平行。在铰接式灯具和机器机构中也发现了相同的原理。克里斯托夫·沙伊纳。英语：en:Christoph Thomas Scheffler。德语：来自：Christoph Thomas Scheffler。 · 维基共享资源 · 公共领域在日常生活中 **力和矢量。**为了找出两艘拖船拉动一艘船的效果，使用平行四边形规则将力相加。 **台灯。**铰接杆形成平行四边形，这就是台灯始终保持相同倾斜度的原因。 **汽车剪刀（千斤顶）。**风琴式千斤顶是一个铰接菱形；当你转动螺丝时，它就会升起汽车。对角停车。倾斜空间是平行四边形。来源：元素，命题 I.34 · Stevin (MacTutor) · Scheiner (MacTutor)。

October 11, 2026 阅读

梯形的性质

梯形有一对平行的边，是隐藏在许多坡道、屋顶和口袋中的形状。谁发现的该词的现代含义来自波西多尼乌斯（公元前一世纪）和普罗克洛斯（公元五世纪）：他记录了波西多尼乌斯将具有一对平行边的四边形与没有平行边的四边形分开。对于欧几里得来说，梯形是除正方形、长方形、菱形或平行四边形之外的任何四边形。梯形的面积——底边乘以高度的平均值——出现在亚历山大海伦（公元一世纪）的著作中。波西多尼乌斯，后来的艺术代表。Sailko · 维基共享资源 · CC BY 3.0 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域亚历山大的苍鹭，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域故事基本平均的相同想法可以在一种已经达到现代微积分的方法中找到：梯形规则，它通过将曲线划分为梯形带来近似曲线下的面积。它在工程和计算机中用于计算没有简单公式的面积。在 2016 中，历史学家 Mathieu Ossendrijver 表明，巴比伦天文学家在公元前 350 到 50 之间，已经使用梯形来计算木星在天空中移动的距离 - 这一推理直到 14 世纪欧洲才重新发现。在日常生活中 **运河和沟渠。**灌溉渠道的横截面为梯形，这样坡岸就不会塌陷。 **屋顶和山墙。**许多屋顶的侧坡是梯形。 **台阶和坡道。**带有平台的坡道的侧面轮廓形成梯形。不规则土地面积。测量员将土地分成条状，然后按照梯形规则将梯形面积相加。来源： Proclus (MacTutor) · Heron of Alexandria (MacTutor) · Ossendrijver，科学 (2016)。理论与结构 Propriedade · 任何梯形在任何具有底边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ 的梯形 $ABCD$ 中，与每个非底边相邻的角是补角：$\hat{A} + \hat{D} = \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}$（平行线之间的内络线）。

October 11, 2026 阅读

著名的四边形——定义

梯形、平行四边形、长方形、菱形和正方形。这些名字很古老，但几个世纪以来每个名字的含义都发生了变化。谁发现的正方形和长方形已经出现在巴比伦泥板和埃及地区问题中。定义来自欧几里德（几何原本的定义I.22），他区分了正方形、长方形、菱形和菱形，并将所有其他四边形称为梯形。平行四边形一词首次出现在欧几里得命题I.34中。今天使用的包容性分类，其中每个正方形都是矩形，是在 19 世纪末被采用的，正如下面好奇的“定义随时间变化”中所解释的那样。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事名称中包含图像：trapezium 源自希腊语 trapezion，“小桌子”； rombo，来自 rhombos，一种旋转时发出噪音的陀螺；菱形源自法语losange，与纹章、纹章艺术有关。几个世纪以来，同一个名字在不同的地方有不同的含义。时至今日，英式英语中的trapezium 与美式英语中的trapezoid 相同，反之亦然——这一变化归因于 Charles Hutton 的数学词典，来自 1795。查尔斯·赫顿.William G. Jackman（佛罗里达州 1841–1860）别名 William G. Jackman； W.G.杰克曼； · 维基共享资源 · 公共领域在日常生活中 **警告标志。**在巴西，黄色警告标志是由顶点支撑的方形，形状像菱形。 **地板和瓷砖。**矩形和正方形填充平面图，不留间隙。 Spanograph 剪刀。货运电梯、折叠门和铰接式灯具使用平行四边形，可变形而不会失去平行度。 **屏幕。**电视的16:9格式和A4尺寸的纸张都是具有标准化比例的矩形。来源：元素，定义 I.22 · 元素，命题 I.34 · Charles Hutton (MacTutor)。理论与结构 Definição · 五个著名的四边形它们都是平坦的凸四边形：梯形：有两个平行边（底边）。如果非底边全等，则为等腰；如果非底边全等，则为不等边三角形；如果有两个直角，则为矩形（或双矩形）。平行四边形：具有平行的相对边：$\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ 和 $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$。矩形：有四个全等角。菱形：有四个全等的边。正方形：它有四个全等角和四个全等边。点击区域：每个族都位于包含它的族内。正方形位于矩形和菱形的交叉处。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 11, 2026 阅读

四边形 — 定义和元素

四个边，四个顶点，两条对角线。四边形存在于地块、屏风、桌子和窗户中。谁发现的计算四个边的土地面积是埃及和美索不达米亚抄写员的任务。埃及（公元前 2 世纪）埃德夫神庙的铭文记录了四边形面积的规则：将两个相对边的平均值乘以另外两个边的平均值。该规则仅适用于矩形，并且在其他情况下会高估面积。几何定义——由四条直线限制的图形——来自欧几里德（几何原本的定义I.19）。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事埃德富的地块是捐赠给寺庙的，形状不规则。抄写员的规则很实用，并且对于几乎矩形的地形给出了合理的值，但它显示出一个限制：没有角度和对角线，四个边不能确定四边形。同样的四杆框架可以变成正方形或压扁的菱形。希腊人通过用对角线将四边形分成两个三角形来解决这个问题。 7世纪，印度人婆罗门笈多找到了一个精确的公式，可以计算出可以内接于圆的四边形的面积，仅使用四个边。在日常生活中城市地块。经文描述了土地的四个侧面和角度；面积是通过将地块分成三角形来计算的。 **大门和架子。**四边形的铰接杆变形；对角线（如“法国手”）阻止了它。 **风筝。**许多风筝都是四边形，具有两对连续的等边（三角肌）。屏幕和纸张。 A4纸、卡片和手机屏幕都是直角四边形。来源：元素，定义 I.19 · 埃及数学 (MacTutor) · Brahmagupta (MacTutor)。理论与结构 Definição · 四边形令 $A$、$B$、$C$ 和 $D$ 为同一平面上的四个点，全部不同且三到三个不共线。如果线段 $\overline{AB}$、$\overline{BC}$、$\overline{CD}$ 和 $\overline{DA}$ 仅在末端相交，则它们的交汇处是四边形： $$ABCD = \overline{AB} \cup \overline{BC} \cup \overline{CD} \cup \overline{DA}.$$这些段是侧面； $\hat{A} = D\hat{A}B$、$\hat{B} = A\hat{B}C$、$\hat{C} = B\hat{C}D$ 和 $\hat{D} = C\hat{D}A$ 是角度； $\overline{AC}$ 和 $\overline{BD}$ 是对角线。四边形可以是凸或凹。

October 11, 2026 阅读