许多人听说过帕斯卡“证明了上帝存在”。他并没有这样做，而且明明白白地说过这是做不到的。他提出的东西更耐人寻味：既然理性无法裁决这个问题，那就换一个问题。不问“上帝存在吗？”，而问“押哪一边更划算？”。然后用他刚刚和费马一起发明的数学——公平分配赌注的数学——来回答这第二个问题。 一张写满涂改的纸 《思想录》的手稿纸页，帕斯卡去世后被粘贴在一本大册子里，摄于 2016 年法国国家图书馆的展览。帕斯卡在碎纸片上写作，朝着不同方向书写，还涂改了很多。ActuaLitté · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 晚年的帕斯卡为一本捍卫基督教的书收集笔记，但这本书始终没有写成。1662 年他去世后，朋友们找到了几百个片段，有些是用剪刀剪下来、再用线串起来的，并在 1670 年以《思想录》为题出版了其中的一部分。 关于赌注的那个片段是一张对折的纸，两面都写满了字，页边和倒过来的方向上还有补充。编者用它开头的几个词来称呼它：“无限，虚无”。这是帕斯卡和一位不信者之间的对话，这位对话者或许是以他在巴黎社交生活中结识的赌徒为原型的，比如德·梅雷骑士。 理性无法裁决 出发点是承认无能为力： 上帝存在，或者不存在。可是我们倒向哪一边呢？理性在这里什么也决定不了。有一片无限的混沌把我们隔开。在这无限距离的尽头，正进行着一场游戏，结果将是正面或反面。你押什么？ — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无” 对话者回答说，正确的做法是什么也不押。帕斯卡拒绝了这条退路： 是的，但必须下注。这并不由你选择：你已经上了船。 — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无” 像信者那样生活，或像不信者那样生活，本身就已经是一种选择。不选择，就等于选择了后者。 四格表 今天，人们把这个赌注写成一张表。有两种选择和两种世界状态： 上帝存在 上帝不存在 信 无穷的收益：“无限幸福的无限生命” 损失很小：一些享乐 不信 失去一切 得到很少：同样那些享乐 帕斯卡分三步走遍这张表，每一步都比前一步更有力。哲学家伊恩·哈金在 1972 年的一篇文章中指出，这是三个不同的论证，而第三个是一笔期望值的计算。 第一步：占优。“如果你赢了，你赢得一切；如果你输了，你一无所失。那就毫不犹豫地押他存在吧。”如果“信”在每一列都更好或一样好，那就根本不需要计算。 **第二步：机会均等时的计算。**对话者反驳说，他还是会失去一些东西。帕斯卡承认这一点，并像掷骰子那样算账：在输赢机会均等时，押一条命去赢两条命是值得的；押一条命去赢三条命而不押，就是愚蠢。 **第三步：无穷。**如果机会并不均等呢？帕斯卡回答说，这无关紧要： 这里有无限幸福的无限生命可以赢得，一个赢的机会对有限个输的机会，而你押上的是有限的。 — 布莱兹·帕斯卡，《思想录》，片段“无限，虚无” 计算 设 $p$ 是你认为上帝存在的概率，无论多小，但大于零。设 $c$ 是信仰生活的代价，是一个有限的数，$G$ 是上帝存在时的收益。信的期望值是 $$E(\text{信})=p\cdot G-(1-p)\cdot c.$$如果 $G$ 有限，结果可以是任何值：它取决于 $p$、$G$ 和 $c$。但帕斯卡令 $G=\infty$。于是，对任何 $p>0$， $$p\cdot\infty-(1-p)\cdot c=\infty,$$任何有限的选项都无法与之竞争。这和分配赌注是同一个思想：每个赌注的价值等于奖金乘以机会。不同的是，现在奖金是无穷大。 一本仿冒本中《思想录》的第一页，这是照 1670 年版翻印的盗版。第一章题为“驳无神论者的漠不关心”。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 这不是证明 请注意这笔计算没有说什么。它丝毫没有提高概率 $p$。一个原来认为上帝存在的机会是千分之一的人，在赌注之后仍然认为是千分之一。这个论证关乎该怎么做，而不关乎什么是真的。