Hero Image
约翰·纳什的一生

年表 19286 月 13 日生于美国西弗吉尼亚州布卢菲尔德。 1945进入匹兹堡的卡内基理工学院学习化学工程，后转学数学。 1948来到普林斯顿。发明了被同学们称为"纳什"的棋，今天叫海克斯棋。 1950以博士论文《非合作博弈》答辩，提出纳什均衡。发表《讨价还价问题》。 1951成为麻省理工学院讲师。 1956发表等距嵌入定理。 1957与麻省理工物理系学生艾丽西亚·拉尔德结婚。 1958发表关于抛物型方程正则性的结果。 1959第一次住进精神病院。三十年的疾病开始了。 1994与约翰·海萨尼、莱因哈德·泽尔腾共同获得诺贝尔经济学奖。 2001与艾丽西亚复婚。电影《美丽心灵》上映。 2015与路易斯·尼伦伯格共同获得阿贝尔奖。5 月 23 日与艾丽西亚一同死于车祸。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1928–1945 布卢菲尔德在一个靠铁路和煤矿为生的小城长大。读《数学精英》，自己证明了费马小定理。 1945–1948 匹兹堡在卡内基理工学院，从化学工程转到数学，并想到了议价问题。 1948–1951 普林斯顿发明海克斯棋，以 28 页的博士论文提出纳什均衡。 1951–1959 麻省理工学院在麻省理工学院任教。证明嵌入定理和抛物型方程的结果。1959 年开始发病。 1970–2015 普林斯顿作为“范氏楼的幽灵”在走廊里游荡，1980 年代末康复。 1994 斯德哥尔摩与约翰·海萨尼、莱因哈德·泽尔腾共同获得诺贝尔经济学奖。 2015 奥斯陆与路易斯·尼伦伯格共同获得阿贝尔奖。5 月 23 日回国途中，他和艾丽西亚在新泽西州的出租车车祸中去世。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 约翰·纳什的足迹：从布卢菲尔德到普林斯顿，以及领取诺贝尔奖和阿贝尔奖的旅程。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1928–1945 · 布卢菲尔德1945–1948 · 匹兹堡1948–1951 · 普林斯顿1951–1959 · 麻省理工学院1970–2015 · 普林斯顿1994 · 斯德哥尔摩2015 · 奥斯陆 约翰·纳什的足迹：从布卢菲尔德到普林斯顿，以及领取诺贝尔奖和阿贝尔奖的旅程。 布卢菲尔德的少年 小约翰·福布斯·纳什出生在西弗吉尼亚州的布卢菲尔德，一个以铁路和煤矿为生的小城。父亲是电力公司的电气工程师；母亲婚前教过英语和拉丁语。在学校，这个男孩害羞、孤僻，并不出众。在家里，他做化学和电学实验。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
海克斯棋：为什么先手必胜

1948 年，在普林斯顿数学楼的公共休息室里，教授和学生们下午常在这里下国际象棋和围棋，约翰·纳什拿出了一种新游戏。棋盘是一个菱形，铺满了像蜂巢一样的六边形格子。红、蓝两位棋手轮流在空格上落子，每次一枚。棋子落下后永不移动。红方要用一串红子连接上下两条边；蓝方要用一串蓝子连接左右两条边。 同学们把这种游戏叫做"纳什"。他并不知道，丹麦人皮特·海恩早在 1942 年就发明了它，取名 Polygon。1952 年，帕克兄弟公司以一个流传至今的名字推出了它：海克斯（Hex）。 7×7 的海克斯棋盘。红方获胜：一串用黄色标出的红色格子连接了上下两边。Euler’s Eyes 绘图 永远不会平局 第一个令人惊讶的性质：在海克斯棋中，下满的棋盘总有一位胜者。不可能把所有格子填满而谁都没有连成。 直觉是这样的：要阻止红方从上连到下，蓝方需要一道从一边切到另一边的"屏障"。而一道从一边通到另一边的蓝色屏障，恰恰就是一串获胜的蓝色链条。如果红方没有赢，那是因为蓝方挡住了它，而挡住就是赢。 这依赖于格子是六边形。在国际象棋那样的正方形棋盘上，两个格子可以只在角上相接，两条不同颜色的路径可以沿对角线交叉，谁也连不成。而在六边形中，每个顶点处恰好有三个格子相遇，这样的交叉是不可能的。1979 年，数学家大卫·盖尔证明，海克斯棋没有平局这一事实与布劳威尔不动点定理等价，而纳什在博弈均衡中用到的正是这类结果。 策略窃取 第二个性质更奇怪。纳什证明了先手有必胜策略：只要下得完美，他总能赢。但证明并没有说这个策略是什么。这个论证叫做策略窃取，过程如下： 游戏是有限的，并且没有平局。所以两位棋手中必有一位有必胜策略：一套规则，告诉他在每种局面下怎么走，并保证无论对方怎么防守都能获胜。 用反证法，假设拥有必胜策略的是后手。 那么先手可以把它"偷"过来。他随便走第一步，然后假装自己是后手，无视那枚多出来的棋子，按照后手的必胜策略下棋。 如果某一刻策略要求下在那枚多余棋子所在的格子，他就随便下在别的格子上，这枚新棋子成为新的多余棋子。 在海克斯棋中，盘面上多一枚子永远不会吃亏。所以先手按照偷来的策略下棋，一定获胜。 但这与"后手有必胜策略"的假设矛盾。因此拥有必胜策略的是先手。 $$\boxed{\text{在海克斯棋中，先手总能获胜。}}$$这是一个存在性证明：它保证策略存在，却不把它展示出来。对于不超过 9×9 的棋盘，计算机已经找到了明确的必胜策略。对于标准的 11×11 棋盘，没有人知道它是什么。 馅饼规则 由于先手占优，海克斯棋比赛采用馅饼规则，灵感来自两个孩子公平分馅饼的方法：一个切，一个选。在海克斯棋中，先手走第一步，后手决定是接过这一步、交换颜色，还是保持原样。于是先手会倾向于走一步不太好也不太坏的棋。 练习：在 1×1 和 2×2 的海克斯棋盘上，先手怎样获胜？在 1×1 的棋盘上，唯一的格子同时接触四条边：先手第一步就赢了。在 2×2 的棋盘上，如果红方先走，制胜的一步是菱形两个钝角处的格子之一：每个这样的格子都与另一行的两个格子相邻，而蓝方只能占住其中一个。下一步，红方就连成了链。 练习：策略窃取论证适用于井字棋吗？国际象棋呢？在井字棋中，多一枚子同样不会吃亏，论证表明后手不可能有必胜策略。但井字棋可以平局，而且在完美对弈下确实是平局：论证只保证先手不会输。在国际象棋中，论证一开始就失效了：多一枚子可能吃亏，因为有时候必须走棋反而是劣势，即所谓"楚茨文格"（zugzwang）。 来源： David Gale，“The game of Hex and the Brouwer fixed-point theorem”，The American Mathematical Monthly 86（1979）· Martin Gardner，“The game of Hex”，收于 Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions（Chicago，1988）· Sylvia Nasar，A Beautiful Mind（Simon & Schuster，1998），第 11 章。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
纳什均衡：谁也无法单独改善

均衡点是这样一个 n 元组：如果其他人的策略保持不变，每个参与者的混合策略都使他自己的收益最大。 — 约翰·纳什，《美国国家科学院院刊》（1950） 1944 年，约翰·冯·诺伊曼和经济学家奥斯卡·摩根斯特恩出版了《博弈论与经济行为》，这部巨著把战略决策变成了数学：纸牌游戏、战争、市场。冯·诺伊曼的重大成果适用于两人零和博弈，即一方之所得就是另一方之所失，比如国际象棋或扑克。但生活中大多数情形并非如此：在贸易协定、谈判或交通中，双方可以一起赢，也可以一起输。 1949 年，一个 21 岁的学生找到了适用于任何博弈、任意多参与者的思想。 思想 在一场博弈中，每个参与者选择一个策略，每个人的结果取决于所有人的选择。纳什均衡是这样一种策略组合：在其他人保持各自策略不变时，没有任何参与者能通过单独改变策略而获益。 用符号表示：若 $s_i^*$ 是参与者 $i$ 的策略，$s_{-i}^*$ 表示其他人的策略，$u_i$ 是参与者 $i$ 的收益，则 $$\boxed{u_i(s_i^*,s_{-i}^*)\geq u_i(s_i,s_{-i}^*)\quad\text{对每个参与者 }i\text{ 和每个策略 }s_i.}$$在均衡中，每个人都在给定别人所做的事情的条件下尽力而为。谁也不后悔自己的选择。 广场还是咖啡馆？ 安娜和布鲁诺约好下午见面，却忘了说在哪里，而且两人都没带手机。每人可以去广场或咖啡馆。两人都更喜欢咖啡馆，但最重要的是碰面。收益（先安娜、后布鲁诺）如下： 安娜 / 布鲁诺 广场 咖啡馆 广场 (2, 2) (0, 0) 咖啡馆 (0, 0) (3, 3) 逐一检验每种组合。在（咖啡馆，咖啡馆），如果安娜单独改去广场，她的收益从 3 变成 0；布鲁诺也一样。谁都不想改变：这是一个均衡。在（广场，广场），单独改变会让各自从 2 变成 0：这也是一个均衡！而在（广场，咖啡馆），安娜改去咖啡馆会获益，所以不是均衡。 这个博弈有两个均衡，其中一个对两人都更好。纳什的概念指出哪些组合是稳定的，却不说哪一个会发生。实际上，起决定作用的是惯例、习惯、两人常去的地方。 囚徒困境 1950 年，也就是纳什论文的同一年，兰德公司的两位研究员梅里尔·弗勒德和梅尔文·德雷希尔设计了一个博弈来检验这个想法，数学家阿尔伯特·塔克把它讲成两个囚犯的故事。警察抓住两名同伙，把他们分开审讯。每人可以沉默，也可以告发对方。刑期（以年计）如下： A / B 沉默 告发 沉默 (1, 1) (10, 0) 告发 (0, 10) (5, 5) 站在囚犯 A 的角度想。如果 B 沉默，A 沉默判 1 年，告发判 0 年：告发更好。如果 B 告发，A 沉默判 10 年，告发判 5 年：告发更好。无论 B 怎么选，告发对 A 都更好。 同样的推理对 B 也成立。唯一的纳什均衡是（告发，告发），各判 5 年。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
混合策略：点球与猜单双

每个有限博弈都有一个均衡点。 — 约翰·纳什，博士论文《非合作博弈》（1950） 有些博弈，如果每个参与者都选定一种固定的出法，就根本没有均衡。最简单的例子是猜单双。安娜押"双"，布鲁诺押"单"，两人各伸出一根或两根手指。和是双数，安娜得一分；是单数，布鲁诺得一分。把每人的选择简化为"一根"或"两根"手指，收益如下： 安娜 / 布鲁诺 1 根 2 根 1 根 (1, −1) (−1, 1) 2 根 (−1, 1) (1, −1) 检验这四种组合：在每一种中，输的一方换一种出法都会获益。固定出法下没有均衡。这很合理：总是出同一种的人，一旦被对方察觉就会输。 抽签是最好的策略 出路是混合：以一定的概率随机选择。混合策略就是各种出法上的一个概率分布。设安娜以概率 $p$ 伸 1 根手指，布鲁诺以概率 $q$ 伸 1 根手指，两人独立抽取。 如果安娜伸 1 根，她的期望收益是 $q\cdot1+(1-q)\cdot(-1)=2q-1$。如果伸 2 根，则是 $q\cdot(-1)+(1-q)\cdot1=1-2q$。只有当两种出法给她相同的收益时，也就是布鲁诺让她无差异时，安娜才愿意混合： $$2q-1=1-2q\quad\Longrightarrow\quad q=\frac12.$$同理，只有当 $p=\frac12$ 时布鲁诺才会混合。唯一的均衡是每人各以 50% 的概率伸 1 根或 2 根手指。面对这种混合，任何策略，无论纯的还是混合的，都无法让对方的期望收益大于零。 纳什定理 这正是 1950 年论文的重大成果：每个参与者和出法数目都有限的博弈，只要允许混合策略，就至少有一个纳什均衡。 证明用到一个不动点定理。对每一个混合策略组合，构造另一个组合：每个参与者都把自己的混合稍稍朝收益更高的出法移动一点。这就定义了策略组合集合到其自身的一个连续函数。这个集合就像一个没有洞的球，而布劳威尔定理保证：球到自身的每个连续函数都有一个不动点，即函数不移动的组合。一个不动的点，恰恰就是谁都不想改变的组合：一个均衡。 定理保证均衡存在，但不说它唯一，也不说它容易计算。今天我们知道，在大型博弈中，找到纳什均衡可能是一个极其困难的计算问题。 点球 混合策略最著名的例子发生在球场上。罚点球时，罚球者选择方向，而守门员必须在看到球之前扑出。对于右脚罚球者，自然方向是他的左侧，也就是守门员的右侧。设进球概率如下： 罚球者 / 守门员 守门员扑向自然方向 守门员扑向另一侧 射向自然方向 60% 95% 射向另一侧 90% 70% 这些数字经过取整，但接近欧洲足球的真实数据：守门员扑错方向时罚球者几乎不会失手；自然方向射起来最顺脚，但守门员扑对方向时也最容易扑出。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
纳什议价解

本文对一个经典的经济问题给出了新的处理，这个问题以多种形式出现，如讨价还价、双边垄断等。 — 约翰·纳什，《讨价还价问题》（1950） 1948 年，还是卡内基理工学院本科生的纳什上了一门国际经济学课，这是他一生中唯一的经济学课。他从课上带走了一个问题：两个人谈判时，怎样分配协议带来的收益？经济学家们认为，答案取决于双方的心理、技巧和虚张声势，一般而言无话可说。纳什证明：如果协议必须满足几条合理的要求，那么可能的答案只有一个。这篇论文在他到普林斯顿之前就已写成，1950 年发表在《计量经济学》（Econometrica）杂志上。 问题 两个人 1 和 2 可以达成协议。每个可能的协议都给每人带来一份收益，用效用衡量：$u_1$ 和 $u_2$。如果达不成协议，每人保留原有的东西，即谈判破裂点 $(d_1,d_2)$。只有当协议给每人的至少不少于没有协议时的所得，它才有意义。 四个要求 纳什要求解具有四条性质： 有效性。 不应存在另一个对双方同时都更好的协议。 对称性。 如果局面是对称的，双方的可能性和破裂点都相同，那么双方所得相等。 不变性。 如果把某人的效用换一种尺度来衡量，就像把摄氏度换成华氏度，解不变。 无关选项的独立性。 如果一个问题的解在一个更小的问题中仍然可行，它仍然是解。去掉没人会选的选项，不改变协议。 纳什定理说：同时具有这四条性质的规则只有一个：选择使相对于破裂点的收益之积 $$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2)}$$最大的协议。 分 10 元钱 两个人要分 10 元钱。如果谈不拢，谁也拿不到：$d=(0,0)$。为简单起见，设效用就是钱本身。若 1 号拿 $x$，2 号就拿 $10-x$，乘积是 $$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$最大值在 $x=5$：每人 5 元。在对称情形下，这并不意外。 有好退路的人分得更多 现在设 1 号有一条退路：谈不拢时，她能在别处拿到 4 元，而 2 号仍然一无所有。破裂点是 $(4,0)$。相对于破裂点的收益是 $x-4$ 和 $10-x$，乘积为 $$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$ 相对于破裂点的收益之积 (x − 4)(10 − x)。x = 4 时它为零，因为 1 号从协议中一无所得；x = 10 时也为零，因为 2 号一无所得。最大值 9 在 x = 7 处。Euler’s Eyes 绘图 最大值在 $x=7$：1 号分 7 元，2 号分 3 元。每人都比没有协议时多得 3 元。纳什解平分剩余，即协议在每人已有保障之外所创造的价值。所以有好退路的人分得更多：退路不是白送的，而是谈判的起点。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
只弯不拉：嵌入定理

拿一张纸。你可以把它卷成圆柱而不撕破、不拉伸：用软尺在纸面上量出的距离保持不变。但你无法不起褶皱地用它包住一个球。纸和球面的内蕴几何不同，高斯在 1827 年证明，这种差别，即曲率，在曲面不拉伸地弯曲时不会改变。 19 世纪，波恩哈德·黎曼有一个更大胆的想法：只用内部的测量来描述一个曲面，或任意维数的空间，而不把它画在任何地方。只需要一条规则，即度量，告诉我们怎样测量任意曲线的长度。广义相对论正是这样描述时空的：从内部描述，周围不需要更大的空间。 问题 那么，每一个抽象的黎曼空间，都能画进一个普通的欧几里得空间（也许维数很高），使得在空间内部量出的长度与画出来的长度一致吗？这种"无失真的画法"叫做等距嵌入。这个问题已有半个世纪，几何学家们认为它极其困难。 大约 1953 年，在麻省理工学院，几何学家沃伦·安布罗斯被这位年轻同事的傲慢激怒，向纳什挑战：既然这么厉害，那就把这个问题解决了。纳什接受了赌约。 一个例子：圆柱 我们用一个简单的情形来看看等距嵌入是什么意思。平面上的一条带子有坐标 $(u,v)$ 和普通的度量 $ds^2=du^2+dv^2$：位移为 $du$ 和 $dv$ 的一小段曲线长度为 $\sqrt{du^2+dv^2}$。把带子卷成半径为 $R$ 的圆柱： $$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\sin\frac uR,\ v\right).$$导数是 $$F_u=\left(-\sin\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$内积为 $$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$所以在圆柱上 $ds^2=du^2+dv^2$，与带子上完全一样。卷起来是等距的：在曲面上爬行的蚂蚁察觉不到任何差别。但请注意：隔着圆柱相距很近的两点，沿曲面走可能相距很远。嵌入保持的是曲面上曲线的长度，而不是穿过空间的直线距离。 平坦环面 现在来看一个难的情形。拿一张正方形的纸，把上边和下边粘起来：它变成圆柱。再把圆柱两端粘起来：它变成甜甜圈，即环面。如果用真的纸来做，纸会起皱：普通的甜甜圈外侧曲率为正，内侧为负。由平坦正方形做成、保留正方形度量的环面叫做平坦环面，一个经典定理说，它不能被光滑地、无失真地画进三维空间。它可以无失真地放进四维空间，但放不进三维。 纳什证明了什么 1954 年，纳什发表了一个惊人的结果：如果嵌入只需要一阶光滑，也就是每一点都有确定的切面、但不一定有曲率，那么任何曲面都能等距地放进三维空间。荷兰人尼古拉斯·凯珀在 1955 年完善了这个论证。根据纳什–凯珀定理，就连平坦环面也能放进普通空间。代价是一个极其古怪的曲面，布满了褶皱叠褶皱，尺度越来越小，像分形一样。 平坦环面在三维空间中的一个等距嵌入，由 Hevea 项目在 2012 年计算得出。曲面上布满了越来越小的褶皱叠褶皱；这里显示的是前三层。Hevea 项目，Romainbehar 上传 · Wikimedia Commons · CC0 1956 年，纳什发表了安布罗斯所提出的情形，即完全光滑的嵌入：每个黎曼流形都可以等距地放进维数足够高的欧几里得空间。为此他发明了一种求解方程的新技术，一种逐次逼近的方法，每一步都修正上一步损失的光滑性。这种技术后来由于尔根·莫泽改进，被称为纳什–莫泽方法，今天被用于天体力学以及与几何毫无关系的微分方程问题。 一张揉皱的纸 纳什–凯珀定理有一个听起来荒谬的推论：一张平的纸可以不拉伸地放进一个任意小的球里，只要允许无限细的褶皱。2012 年，一个法国团队，即 Hevea 项目，首次计算出平坦环面的这样一个嵌入，并制作了展示它模样的图像。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
热方程与德乔治–纳什正则性

1900 年，在巴黎的国际数学家大会上，大卫·希尔伯特提出了 23 个问题，他认为这些问题将引领 20 世纪的数学。第 19 问题用通俗的话说是：变分法中"性质良好"的问题，其解是否总是光滑函数？半个世纪后，对于一类重要的方程，这个问题仍未解决。1956 年，纳什从一位同事那里听说了它，决定攻克它。 热方程 从最简单的例子开始。一根很长的金属棒在点 $x$、时刻 $t$ 的温度为 $u(x,t)$。热量从热处流向冷处，温度满足傅里叶的热方程： $$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$其中 $\kappa>0$ 是材料的扩散率。方程说：一点的温度比周围的平均值低时就升高，比平均值高时就降低。 如果在零时刻所有热能都集中在一点，那么 $t>0$ 时的解是高斯函数 $$G(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}\,e^{-x^2/(4\kappa t)}.$$我们来验证。对 $t$ 求一次导、对 $x$ 求两次导， $$\frac{\partial G}{\partial t}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G,\qquad\kappa\frac{\partial^2G}{\partial x^2}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G.$$两者相等。钟形曲线随时间变宽变低，面积保持为 1：能量守恒并扩散开来。宽度按 $\sqrt t$ 增长，与爱因斯坦布朗运动中走过的距离完全一样。这不是巧合：热是分子的运动，热方程描述的是从远处看到的随机游走。 当材料不规则时 高斯函数有一个了不起的性质：即使初始温度是一个无限集中的尖峰，对任何 $t>0$，解都是完全光滑的。扩散把一切都抹平了。 但如果材料不均匀呢？想象一块由铜、木头和玻璃碎块胡乱粘成的板，每块导热的方式都不同。方程变为 $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x,t)\,\frac{\partial u}{\partial x}\right),$$其中导热系数 $a(x,t)$ 可以从一块到另一块突然跳变。只要求它介于两个正的界限之间：$0<\lambda\leq a\leq\Lambda$。系数如此不规则，解没有公式，甚至不清楚它是否有导数。问题是：温度会剧烈变化吗，还是热仍然会把一切抹平？ 定理 纳什在 1957 年证明，热仍然会抹平：在任意维数中，这些方程的解都是赫尔德连续的，即存在只依赖于 $\lambda$、$\Lambda$ 和维数的常数 $C$ 与 $0<\alpha\leq1$，使得 $$\boxed{|u(x)-u(y)|\leq C\,|x-y|^{\alpha}.}$$无论材料多么杂乱，温度都不会跳变。纳什的证明极其独到：他用了概率和熵的思想，把热当作扩散开的质量，在没有任何公式的情况下控制住了解。有了这个结果，希尔伯特第 19 问题对这类方程得到了解决。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
约翰·纳什的遗产

从统计上看，一位 66 岁的数学家或科学家，似乎不太可能通过继续研究为自己以前的成就增添多少东西。但我仍在努力。 — 约翰·纳什，为诺贝尔基金会写的自传（1994） 约翰·纳什是唯一同时获得诺贝尔奖和阿贝尔奖的人，这是经济学和数学中的两项最高荣誉。他的工作的两半似乎毫无共同之处：一半关于人的决策，另一半关于曲面和方程。把它们联系起来的是风格：用谁都没想到的思想，去攻克人人都认为不可能的问题。 博弈论无处不在 纳什均衡成了经济学的通用语言。它解释了为什么同一个路口的两家加油站价格几乎一样，为什么即使大家都不打广告会更好、企业还是要打广告，为什么气候协议如此困难。1990 年代，许多国家的政府开始用依据博弈论设计的拍卖出售移动电话频段，筹得数百亿美元。 在生物学中，英国人约翰·梅纳德·史密斯在 1970 年代证明，演化也会产生纳什均衡：在种群中存活下来的行为策略，是任何突变都无法改进的策略。在政治学中，均衡有助于理解选举、战争和议会投票。在计算机科学中，它出现在互联网路由和数字市场的算法设计中。1994 年以来，诺贝尔经济学奖已多次颁给博弈论方面的工作。 纯数学 嵌入定理和纳什–莫泽方法改变了几何与分析。纳什为 $C^1$ 情形发明的技术，被俄罗斯人米哈伊尔·格罗莫夫称为凸积分，催生了"刚性与柔性"现象这一整个领域，并在 2018 年被用来证明拉斯·昂萨格关于流体湍流的一个猜想。德乔治–纳什定理是系数不规则的微分方程现代理论的基础，这类方程描述复合材料和多孔介质。 疾病与康复 纳什还留下了关于精神疾病的一课。三十年间，他被看作一个废人。他的康复虽然缓慢而不完全，却表明精神分裂症并不一定是终身判决。获得诺贝尔奖后，他和艾丽西亚成为改善治疗、减少污名的倡导者；他们的儿子约翰·查尔斯也是数学家，也患有精神分裂症。 留下了什么 博弈论。 适用于任何博弈的纳什均衡、混合策略下均衡的存在性，以及议价解。 棋类游戏。 海克斯棋、策略窃取论证，以及与不动点定理的联系。 几何。 $C^1$ 和光滑情形的等距嵌入定理，以及凸积分。 分析。 德乔治–纳什定理，以及求解非线性方程的纳什–莫泽方法。 应用科学。 经济学、演化生物学、政治学、拍卖和计算机科学。 写给国家安全局的信 1955 年，纳什写信给美国国家安全局，提出一种加密系统。在这些直到 2012 年才公开的信中，他论证说：如果破解一种密码所需的时间随密钥长度指数增长，而使用它所需的时间增长很慢，那么这种密码就是安全的。这正是现代密码学的基础思想，而纳什提出它，比它出现在计算理论中早了将近二十年。 要点回顾 约翰·纳什生于 1928 年，卒于 2015 年。他的主要工作完成于 20 到 30 岁之间，在普林斯顿和麻省理工。 海克斯棋永远不会平局，而且先手总能获胜：这就是策略窃取论证。 在纳什均衡中，谁也无法通过单独改变而改善。均衡可能对所有人都不好，比如囚徒困境。 每个有限博弈都有混合策略均衡。在猜单双中，每人各以 50% 的概率随机出。 在纳什议价中，要使相对于破裂点的收益之积最大，每人得到自己的破裂点收益加上一份剩余。 每个黎曼流形都能无失真地画进欧几里得空间；如果只要求一阶光滑，就连平坦环面也能放进普通空间。 即使在不规则的材料中，热也会抹平：解是赫尔德连续的。 来源： Sylvia Nasar，A Beautiful Mind（Simon & Schuster，1998）· 约翰·纳什的自传，诺贝尔基金会 · 纳什写给国家安全局的信（1955），该局于 2012 年公开。

October 14, 2026 阅读
Hero Image
图片来源

照片和图片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 约翰·纳什肖像，Peter Badge 摄：来源页面 · CC BY-SA 3.0。 2006 年的约翰·纳什，摄于科隆，Elke Wetzig 摄：来源页面 · CC BY-SA 3.0。 平坦环面的等距嵌入，Hevea 项目，Romainbehar 上传：来源页面 · CC0。 博客绘图 封面、海克斯棋盘和议价中收益之积的图像都是原创插图，网站的每种语言都有相应版本。棋盘展示的是一局虚构的对局，其中红方连成了链。 记录 文件 data/nash_imagens.json 记录了每张下载图片的出处、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料列在每篇文章的末尾。 约翰·纳什的全部主题 · ← 约翰·纳什的遗产

October 14, 2026 阅读