人人都知道勾股定理：$3^2+4^2=5^2$。这样的整数三元组有无穷多个，比如 $5,12,13$ 和 $8,15,17$。 那么立方呢？是否存在正整数满足 $a^3+b^3=c^3$？四次方呢？ 页边的批注 1670 年版丢番图《算术》中第 II.8 题的一页。题目下方就是“Observatio Domini Petri de Fermat”：费马写在页边的注记，由他的儿子付印。丢番图，萨米埃尔·德·费马编（1670） · Wikimedia Commons · 公有领域 大约 1637 年，费马在读丢番图关于把一个平方数分成两个平方数之和的问题时，在书的页边用拉丁文写道： 不可能把一个立方数分成两个立方数之和，或把一个四次方数分成两个四次方数之和，一般地，不可能把任何高于二次的幂分成两个同次幂之和。我已找到一个真正绝妙的证明，可惜这里的页边太窄，写不下。 — 皮埃尔·德·费马，约 1637 年 用今天的语言说：当 $n>2$ 时，不存在正整数 $a$、$b$、$c$ 使得 $$a^n+b^n=c^n.$$这条批注直到 1670 年费马的儿子出版附有父亲批注的书时才公之于众。那个证明从未被找到。页边上的其他所有论断后来都被证明或否定了，只有这一条坚持到最后，所以被称为“最后的定理”（在中文里通称费马大定理）。 358 年的尝试 费马本人用无穷递降法证明了 $n=4$ 的情形。其他情形一个接一个地被攻克： 1770 年：欧拉证明 $n=3$ 的情形。 1825 年：狄利克雷和勒让德证明 $n=5$ 的情形。 1820 年代：索菲·热尔曼（她用男性的名字署名写信，以便被认真对待）证明了适用于一整类质数的一般结果。 1839 年：拉梅证明 $n=7$ 的情形。 1847 年：恩斯特·库默尔提出新思想，证明了 100 以内除三个以外所有“正则”质数的情形。 但没有人能给出对所有指数都成立的证明。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。