费马数：一个猜想和一个反例
数学家们一直梦想找到一个只产生质数的公式。1640 年，费马以为自己找到了。
连续五个质数 费马研究了如下形式的数：
$$F_n=2^{2^n}+1.$$指数是 2 的幂：$1,2,4,8,16,\ldots$ 算出前几个：
$$F_0=3,\quad F_1=5,\quad F_2=17,\quad F_3=257,\quad F_4=65\,537.$$五个都是质数。用手检验 $65\,537$（试除到它的平方根）已经相当费力了。费马写信给弗雷尼克·德贝西说，他确信所有这种形式的数都是质数，尽管他承认自己没有证明。
一个太大的数 下一个数是
$$F_5=2^{32}+1=4\,294\,967\,297.$$这是一个十位数。要检验它是不是质数，需要在 17 世纪用手试除到大约 6.5 万。费马没有去算。
将近一百年后的 1732 年，年轻的莱昂哈德·欧拉算了。他发现：
$$4\,294\,967\,297=641\times6\,700\,417.$$费马的猜想错了。要推翻一个关于所有数的命题，一个反例就够了。
为什么是 641？ 欧拉并不是随便试除。他知道 $F_5$ 的因数必须具有特殊形式 $64k+1$，这大大缩小了搜索范围。这种形式的第五个质数候选就是 641。
还有一种不做除法就能验证整除的巧妙方法。注意 641 可以写成两种形式：
$$641=5\cdot2^7+1=5^4+2^4.$$模 641 时，第一种形式说明 $5\cdot2^7$ 余 $-1$。两边四次方，$5^4\cdot2^{28}$ 余 $1$。第二种形式说明 $5^4$ 与 $-2^4$ 余数相同。互相替换：
$$-2^4\cdot2^{28}=-2^{32}\equiv1\pmod{641}.$$所以 $2^{32}+1$ 余 0：它是 641 的倍数。完整的计算见欧拉专题。
请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。
至今只有五个质数
借助计算机，人们已经知道从 $F_5$ 到 $F_{32}$ 的所有费马数都是合数。除了前五个，没有人找到过其他的费马质数。如今许多数学家怀疑，真相与费马的猜想正好相反：也许只存在这五个。 意想不到的用途：正十七边形 自希腊时代起，人们就知道如何用尺规作出正三角形和正五边形。两千年来，没有人能作出另一个边数为质数的正多边形。
