E = mc²:藏在质量里的能量
我又想到了电动力学论文的一个推论。相对性原理加上麦克斯韦方程,要求质量是物体所含能量的直接量度。这个想法既有趣又诱人;但我不知道上帝是不是正在笑话这件事,牵着我的鼻子走。
— 阿尔伯特·爱因斯坦致康拉德·哈比希特的信(1905 年夏) 1905 年 9 月,在相对论论文发表三个月后,爱因斯坦给《物理学年鉴》寄去一篇只有三页的补充,标题是一个问句:“物体的惯性取决于它所含的能量吗?“答案是肯定的,而结论——用文字和别的字母写出——就是物理学中最著名的公式:
$$\boxed{E=mc^2.}$$简化的论证 爱因斯坦设想一个静止的物体,同时向相反方向发出两个相同的光脉冲,每个能量为 $\frac E2$。由于两个脉冲相互抵消,物体保持静止。到这里没什么奇怪:物体损失了能量 $E$。
现在让一个以很小速度 $v$ 经过的人来看同一场景。对这位观察者来说,物体前后都在以同一速度 $v$ 运动。但按照相对论,向前发出的光看起来能量稍大,向后发出的稍小,对于很小的 $v$,总共是
$$E\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right).$$对这位观察者来说,总能量也必须守恒。物体除了 $E$ 之外还多损失了 $E\frac{v^2}{2c^2}$,而这份损失只能来自它的运动能量 $\frac12mv^2$。既然速度没变,变的就是 质量:
$$\frac12(\Delta m)\,v^2=E\,\frac{v^2}{2c^2}\quad\Longrightarrow\quad \Delta m=\frac{E}{c^2}.$$一个物体以任何形式损失能量 $E$,就损失质量 $\frac E{c^2}$。爱因斯坦的结论是:“物体的质量是它所含能量的量度”。质量就是储存起来的能量。
那是多少? 数 $c^2$ 非常巨大:$(3\times10^8)^2=9\times10^{16}$ m²/s²。所以很小的质量对应着巨大的能量。仅仅一克:
$$E=0.001\ \text{kg}\cdot9\times10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\approx9\times10^{13}\ \text{J}.$$这相当于约 2.1 万吨 TNT 的能量,比广岛原子弹还多,或者一座约 1 万人口的城镇一年的全部用电量。
反过来,日常的能量对应的质量小得可笑。把一升水从 20 °C 加热到 100 °C,水获得约 335 000 J,它的质量增加
$$\Delta m=\frac{335\,000}{9\times10^{16}}\approx3.7\times10^{-12}\ \text{kg},$$大约十亿分之四克。没有哪台秤能察觉。所以几个世纪以来,质量看起来是严格守恒的。
太阳与恒星 质量真正变成能量的地方,是原子核。在太阳中心,四个氢核聚变成一个氦核。但账算不平:
$$4\times1.00783\ \text{u}=4.03130\ \text{u}\quad\text{对比}\quad\text{氦的}\ 4.00260\ \text{u}.$$少了 $0.0287$ u,约为质量的 0.7%。这部分消失的质量以能量 $\Delta m\,c^2$ 的形式释放出来,太阳就是因此发光的。太阳的辐射功率为 $3.8\times10^{26}$ 瓦;除以 $c^2$,它每秒损失