用尺规等分双纽线
1694 年，雅各布·伯努利研究了一条形如横躺的数字 8 的曲线，称之为 lemniscus，意思是蝴蝶结丝带。以点 $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$ 为焦点，它是到两个焦点距离之积等于 $\frac12$ 的点的集合。它的方程是
$$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,$$用极坐标表示则是 $r^2=\cos2\theta$。一个半世纪之后，阿贝尔证明了一个关于它的定理，像是从欧几里得的书里走出来的：对于哪些数 $n$，可以只用尺规把双纽线分成 $n$ 段等长的弧？
伯努利双纽线 r² = cos 2θ，七个点把它分成八段等长的弧。曲线两次经过中心。Euler’s Eyes 绘图 弧长 首先，曲线的一段有多长？在极坐标中，一小段弧满足 $ds^2=dr^2+r^2\,d\theta^2$。对 $r^2=\cos2\theta$ 求导，
$$2r\,dr=-2\sin2\theta\,d\theta,\qquad\sin2\theta=\sqrt{1-\cos^22\theta}=\sqrt{1-r^4},$$所以 $d\theta=-\dfrac{r\,dr}{\sqrt{1-r^4}}$，并且
$$ds^2=dr^2+\frac{r^4\,dr^2}{1-r^4}=\frac{dr^2}{1-r^4}.$$于是，从中心到距中心为 $r$ 的点的弧长是
$$\boxed{s=\int_0^r\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}.}$$这就是双纽线积分，也就是定义双纽线正弦的那个积分。换句话说：双纽线上沿弧距中心为 $s$ 的点，到中心的距离是 $\operatorname{sl}(s)$。双纽线正弦之于双纽线，正如正弦之于圆。从中心到顶端的弧长为 $\frac\varpi2\approx1.3110$，整条曲线长 $2\varpi\approx5.2441$。
1751 年的圣诞节 1718 年，意大利伯爵朱利奥·法尼亚诺发现了如何用尺规把双纽线的一段弧加倍：给定一段弧，作出长度为它两倍的另一段弧。没有人太在意。1751 年 12 月 23 日，柏林科学院把法尼亚诺的著作交给欧拉审阅。欧拉立刻看出了其中的价值，把法尼亚诺的公式推广为这些积分的加法公式。将近一个世纪后，雅可比说那一天是椭圆函数的诞生日。
分成八段 我们用双纽线正弦写出法尼亚诺的公式：
$$\operatorname{sl}(2u)=\frac{2\operatorname{sl}(u)\sqrt{1-\operatorname{sl}(u)^4}}{1+\operatorname{sl}(u)^4}.$$要把曲线分成八等份，只需找到平分从中心到顶端那段弧的点。顶端在 $r=1$，所以我们寻找满足 $\operatorname{sl}(2u)=1$ 的 $s=\operatorname{sl}(u)$：
$$1+s^4=2s\sqrt{1-s^4}.$$两边平方，并令 $w=s^2$：
$$(1+w^2)^2=4w(1-w^2)\quad\Longrightarrow\quad w^4+4w^3+2w^2-4w+1=0.$$这个多项式是完全平方：$(w^2+2w-1)^2$。所以 $w^2+2w-1=0$，正根为 $w=\sqrt2-1$。所求的点到中心的距离是
$$\boxed{r=\sqrt{\sqrt2-1}\approx0.6436.}$$这个数只涉及平方根，而平方根可以用尺规作出。以曲线中心为圆心、$\sqrt{\sqrt2-1}$ 为半径画圆，它与双纽线交于上图中间的四个点。
阿贝尔定理 高斯在 1796 年证明了正十七边形可以用尺规作出，更一般地，当 $n$ 是 2 的幂乘以不同的费马素数（如 3、5、17、257、65537）时，圆可以被分成 $n$ 等份。在 1801 年的书中，他留下了一句神秘的话：同样的原理也适用于积分 $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$。此后他没有再发表任何相关内容。
