半直型 | Euler's Eyes

章节练习2——线段

练习和决议 6 如果线段 $\overline{AB}$ 的尺寸为 17 cm，请确定以下情况下 $x$ 的值： Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. Ver resoluçãoa) $x + 7 = 17 \Rightarrow x = 10$. b) $PA = PB + BA$: $21 = x + 17 \Rightarrow x = 4$. c) $(x + 3) + x = 17 \Rightarrow x = 7$. d) $AP = AB + BP$: $2x = 17 + (x - 3) \Rightarrow x = 14$. Ver respostaa) $x = 10$ 厘米 · b) $x = 4$ 厘米 · c) $x = 7$ 厘米 · d) $x = 14$ 厘米

October 11, 2026 阅读

日常生活中的线段和直线

在成为定理对象之前，线和线段是工作工具：拉伸的绳子、尺子和铅垂线。谁发现的没有特别的人：第一条直线是由来自埃及和美索不达米亚等文明的农民、建筑商和测量员绘制的。希腊文本称为harpedonaptai，“绳索担架”，埃及测量土地的专家；该术语出现在德谟克利特（公元前 5 世纪）的片段中。在罗马，测量员使用groma（带有铅垂线的十字形）来绘制笔直的道路和地块。哲学家的半身像，可能是德谟克利特；身份识别是不确定的。用户：shakko · 维基共享资源 · CC BY-SA 3.0 故事拉紧的绳子是在地板上形成直线的最简单方法。建筑商用两根木桩和一根绳子对齐墙壁、灌溉渠和土地边界。吉萨金字塔的侧面与基点对齐，误差只有几分之一，这是观察和对齐技术的结果。埃及绘画中的农业工作场景：测量田地是收获周期的一部分。欧拉之眼博客的集合。罗马道路沿着用格罗玛铺设的长而笔直的道路延伸。有些仍然是欧洲高速公路的基础。同样的原则也适用于当今任何工作中使用的石匠线条。在日常生活中梅森线和铅垂线。拉伸的绳子标志着砖排的对齐；铅垂线给出垂直度。 **员工、网格和表格。**笔记本、电子表格和日历按平行和垂直线段组织。 **城市地图。**笔直的街道和规则的街区（如贝洛奥里藏特或拉普拉塔的中心）让您更容易找到周围的路。 **体育运动。**足球场、排球场和游泳池泳道的线段是具有官方测量值的线段。来源：埃及数学 (MacTutor) · 德谟克利特 (MacTutor)。理论与结构连续段：一个段的结束是另一个段的结束。温度计的刻度：共线段。栅栏的木板并排。仅共享边界的邻居：相邻段的想法。预览：两条直线的位置接下来的章节将仔细研究两条直线相交时会发生什么。前进：平面上的两条直线可以是并存（公共点）、平行（无公共点）、重合（所有公共点），并且在竞争对手中，垂直（形成直角）。拖动球来查看每种情况。平面内的两条直线：并线、垂直、平行或重合。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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两点之间的距离

两点之间的距离是连接它们的线段的长度——它们之间的最短路径。谁发现的这个想法很直观，也很古老。有作者的是它的用途和概括。公元前 240 左右，昔兰尼的埃拉托色尼通过比较锡耶纳和亚历山大的阴影计算出了绕地球的距离。在 1906 中，法国人 Maurice Fréchet 意识到三个属性就足以谈论任何物体之间的“距离”：距离绝不为负、对称且服从三角不等式。在1914中，Felix Hausdorff将这种结构称为度量空间。昔兰尼的埃拉托色尼，后来的艺术表现。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域莫里斯·弗雷谢特.身份不明的摄影师 · 维基共享资源 · 公共领域菲利克斯·豪斯多夫。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域故事亚历山大图书馆馆长埃拉托色尼知道，在锡耶纳，在一年中最长的白天，正午的阳光照亮了井底。同一天，在亚历山大，一根杆子投下的阴影相当于完整转弯的1/50。由于城市之间的距离约为 5 000 个体育场，地球周长约为 250 000 个体育场 — 这一值接近实际值，具体取决于所采用体育场的大小。弗雷谢的概括表明，距离几何在平面之外仍然有效。今天，我们使用相同的三个规则来测量单词、图像甚至 DNA 序列之间的“距离”。在日常生活中 **地图上的“直线”。**应用程序显示直线距离以及沿路径的距离；第一个总是小于或等于。 **正在运行的应用程序。**手表每秒都会添加记录的 GPS 点之间的距离。 **出租车距离。**在一个有方形街区的城市中，真实路线包括水平和垂直部分——另一个遵守弗雷谢规则的“距离”。拼写检查器。建议与您键入的单词“距离”最短（更改的字母较少）的单词。来源： Eratosthenes (MacTutor) · Fréchet (MacTutor) · Hausdorff (MacTutor)。理论与结构 Definição · 距离给定两个不同的点 $A$ 和 $B$：它们之间的几何距离（由$d_{A,B}$表示）是线段$\overline{AB}$或与其一致的任何线段；它们之间的公制距离是线段 $\overline{AB}$ 的测量值（长度）。如果$A$和$B$重合，则几何距离为零，公制距离也为零。

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一段的测量

测量一个段就是询问一个单元在其中容纳了多少次。问题很简单；这个答案花了几个世纪才完成。谁发现的测量长度早于文字，但解决这个理论问题的人是Cnidus的Eudoxus（约公元前408–355）。毕达哥拉斯学派发现，正方形的对角线和边是不可通约的：没有任何单位，无论多小，都能满足两者的整数次。 Eudoxus 创建了一种即使在这种情况下也有效的比例理论，记录在几何原本的第五卷中。故事这些单位从人体开始：跨度、英尺、步长、英寻。在埃及，皇家肘（约 52 厘米）具有大型建筑物中使用的石头图案。每个地区都有自己的测量标准，这使得几个世纪以来的贸易变得复杂。埃及古墓中的场景：测量者拉着一根打结的绳子来测量一片粮田。欧拉之眼博客的集合。在1791中，法国大革命期间，米被提议为从北极到赤道距离的百万分之一。自1983起，它由光在真空中以1/299792458秒的传播距离来定义。巴西在 1862 中采用了公制。在日常生活中 **卷尺和尺子。**每次测量都是与仪器上记录的单位进行比较。英寸屏幕。“50英寸”电视的对角线约为127厘米；英寸尺寸为 2,54 厘米。 **里程表。**汽车的仪表板计算车轮转了多少圈，并将其乘以每转的长度。 **地图比例尺。**在比例尺 1 : 50 000 上，纸上的每一厘米代表地面上的 500 米。来源： Eudoxo (MacTutor) · 元素，第五本书 · BIPM：计量器的定义。理论与结构段 $\overline{AB}$ 的测量由 $m(\overline{AB})$ 表示，或者简单地由 $AB$ 表示。 Definição · 测量（长度）非零段的度量是与其关联的正实数，使得：全等线段具有相同的测量值，相反，具有相同测量值的线段是全等的：$\overline{AB} \equiv \overline{CD} \iff m(\overline{AB}) = m(\overline{CD})$；如果一个段比另一个段大，则其测量值较大：$\overline{AB} > \overline{CD} \iff m(\overline{AB}) > m(\overline{CD})$；总和段对应于测量值的总和：$\overline{RS} = \overline{AB} + \overline{CD} \iff m(\overline{RS}) = m(\overline{AB}) + m(\overline{CD})$。段的测量称为段的长度。

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中点

找到线段的确切中间位置是几何学中最古老和最常用的构造之一。谁发现的我们所知道的最古老的构造是欧几里德（c. 300 BC）的几何原本，在命题I.10中：“将给定的有限直线切成两半”。欧几里得在线段上举起一个等边三角形，将顶角分成两半，并通过全等三角形证明，该划分正好落在中间。很久以后，丹麦人 Georg Mohr (1672) 和意大利人 Lorenzo Mascheroni (1797) 表明，只需使用指南针即可找到中点，无需尺子。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域洛伦佐·马斯切罗尼。Francesco Saverio Redenti · 维基共享资源 · CC0 故事对于欧几里得来说，找到中点并不是测量并除以二：它是构造一个点并证明它将线段分成相等的部分。该证明使用了之前的结果 - 等边三角形 (I.1)、角平分线 (I.9) 和 LAL 同余情况 (I.4) - 这是几何原本链命题的一个很好的例子。将线段分成两半：三角形和等式证明中点的位置合理。来自博客的原始教学插图。马斯切罗尼的书，指南针几何，献给热爱几何的拿破仑·波拿巴；仅用指南针将圆分成四个相等的弧的挑战被称为“拿破仑问题”。在日常生活中 **挂一幅画。**钉子位于墙壁或其下方家具宽度的中点。对折。折叠床单、餐巾或毛巾即可找到中点，无需任何测量。在路中间相遇。两个人离开不同的城市，想要走同样的距离，寻找路的中间点。 **跷跷板。**支撑位于板的中间，因此在没有任何人在上面的情况下保持平衡。来源：元素，命题 I.10 · Mascheroni (MacTutor) · Mohr (MacTutor)。理论与结构 Definição · 中点当且仅当 $M$ 位于 $A$ 和 $B$ 和 $\overline{AM} \equiv \overline{MB}$ 之间时，点 $M$ 是线段 $\overline{AB}$ 的中点。

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片段一致性

当两个片段可以“放置”在另一片段之上时，这两个片段是一致的。这是用几何学的方式来表示它们的大小相同，而不需要有刻度的尺子。谁发现的欧几里得在几何原本（约公元前300）的开头处理了这个主题。他的共同概念4说“彼此重合的事物是相等的”，而命题I.2和I.3展示了如何传输一个片段以及如何从一个较大的片段中切割出一个与较小的片段相等的片段。最令人好奇的是工具：欧几里得只承认指南针在离开纸张时会“闭合”，即使如此，也证明了复制距离是可能的。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事在希腊几何中，长度不与数字进行比较。两段相等，或大或小，这是用没有标记的尺子和圆规决定的。添加片段就是将它们一个接一个地放置；从另一个中取一个意味着重叠并查看剩下的内容。这种工作方式有一个优点：结果对于任何测量单位都有效，即使对于不是任何单位的精确倍数的长度也是如此——希腊人很清楚这个问题。在希尔伯特 (1899) 的公理学中，段同余成为一个原始术语，有自己的公理。大卫·希尔伯特.身份不明的摄影师 · 维基共享资源 · 公共领域在日常生活中干点指南针。木工和锁匠将测量结果从一件工件复制到另一件，而无需读取数字 - 这就是车间中的 I.2 命题。 **缝纫图案。**按照图案缝合布料可确保两个袖子一致。替换零件。“标准”螺钉适合任何机器，因为尺寸与原始零件的尺寸一致。 **切割几块相同的木板。**木匠测量第一块木板，并使用木板本身作为其他木板的模板。来源：元素，命题 I.2 · 元素，命题 I.3 · 欧几里德 (MacTutor)。理论与结构段的同余（符号$\equiv$）是一个原始概念。直观上，全等片段“具有相同的大小”：一个片段可以覆盖另一个片段。它遵循以下假设： Postulado · 片段一致性 **反射：**每个段都与其自身一致：$\overline{AB} \equiv \overline{AB}$。 **对称：**如果 $\overline{AB} \equiv \overline{CD}$，则 $\overline{CD} \equiv \overline{AB}$。 **传递：**如果 $\overline{AB} \equiv \overline{CD}$ 和 $\overline{CD} \equiv \overline{EF}$，则 $\overline{AB} \equiv \overline{EF}$。线段传输：给定线段 $\overline{AB}$ 和原点射线 $A^{\prime}$，该射线上有一个单个点 $B^{\prime}$，例如 $\overline{A^{\prime}B^{\prime}} \equiv \overline{AB}$。携带是我们使用指南针所做的：我们将指南针打开到一段的大小，并从另一个点标记该大小。

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两个段的位置

连续、共线、相邻线段：描述两条直线如何组合在一起的名称。谁发现的这个分类没有作者：它是一个现代的教学组织。然而，连接分段的做法非常古老。埃及测量员与希腊历史学家希罗多德（公元前 5 世纪）联系在一起，与几何学的起源联系在一起，每次尼罗河泛滥后，他们都会通过修改绳索测量结果来标记田地。几个世纪后，亚历山大的苍鹭（公元 1 世纪）在他的Dioptra 中描述了如何使用对齐的剖面来测量土地。希罗多德，后来的艺术表现。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · CC0 亚历山大的苍鹭，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域故事希罗多德说，当尼罗河侵占了一块土地时，法老的一名雇员来测量损失以调整税收，希腊人会从那里学到几何学。这个故事是希腊人对埃及的描述，而不是埃及文献，但它展示了几何学是如何与土地测量联系在一起的。莱茵德纸莎草纸的细节，由艾哈迈斯在公元前 1650 左右抄写。该文件保留了埃及的数学问题和程序。抄写员艾哈迈斯；大英博物馆文件的复制品 · 维基共享资源 · 公共领域。测量乐曲的长边正是添加连续且共线的线段：一个和弦的末端是下一个和弦的开始，全部在同一条线上。本主题的命名法为这种情况提供了准确的名称。在日常生活中 GPS 路线。路线被绘制为一系列连续的线段；在直线上，它们也是共线的。木匠的铰接式仪表。折叠尺是连续的段；拉伸后，它们变得共线且相邻。 **管道。**由套管拼接而成的管道形成相邻的管段；使用肘部时，它们保持连续，但不再共线。栅栏。两个帖子之间的每个间隙都是一个段；整个栅栏是它们的总和。来源：埃及数学 (MacTutor) · 亚历山大苍鹭 (MacTutor)。理论与结构 Definição · 连续、共线和相邻线段如果两个段中其中一个的末端也是另一个的末端，则它们是连续的。如果两条线段位于同一条直线上，则它们是共线。两个连续且共线的线段是邻近的有共同点只是一端（它们没有共同的内部点）。书中的例子：$\overline{MN}$和$\overline{NP}$相邻（$\overline{MN} \cap \overline{NP} = \lbrace N \rbrace$）； $\overline{RS}$ 和 $\overline{ST}$ 连续且共线，但不相邻 ($\overline{RS} \cap \overline{ST} = \overline{ST}$)。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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线段和射线

直线没有起点也没有终点。在实践中，我们几乎总是使用它的各个部分：线段和射线。谁发现的希腊人首先想到了这件作品。在几何原本（约公元前300 BC）中，欧几里得谈到了“有限直线”——我们的线段——而他的第二个假设允许有限直线连续延伸。换句话说，对他来说，无限的直线就是将一段线段尽可能延长而得到的。 “线段”和“射线”的名称以及学校中使用的定义来自现代词汇，由 19 世纪和 20 世纪的几何书籍建立。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域故事希腊人对无限的谨慎有其哲学根源。亚里士多德区分了无限的“潜力”——它总是可以进一步发展——与无限的“行动”，被视为完整的东西。欧几里得的公设尊重这种区别：它们谈论的是延长，而不是现成的无限直线。亚里士多德，后来的艺术表现。Lisipo 作品的副本 · 维基共享资源 · 公共领域称为 P.Oxy 的元素碎片。我29，在奥西林科发现。文字和图形记录了欧几里得几何学的古代传承。欧几里得文本；身份不明的早期抄袭者 · 维基共享资源 · 公共领域。射线在现代几何中变得越来越重要，因为它是定义角度的正确对象类型：从同一顶点开始并在一个方向上无限延伸的两条边。在日常生活中 **光线。**激光或手电筒的光束从一点出发，沿一个方向前进：它们是半直线模型。尺子、卷尺和卷尺。测量片段 — 总是有开始和结束。 **人行横道和停车位。**沥青上画的标记是对齐的段。 **游戏中的视觉。**在电子游戏中，检测目标是否被击中的“瞄准半径”被计算为从相机中射出的射线。来源：元素，假设 2 (D. Joyce) · 欧几里德 (MacTutor)。理论与结构 Definição · 直线段给定两个不同的点 $A$ 和 $B$，直线段 $\overline{AB}$ 是集合 $\lbrace A, B \rbrace$ 与 $A$ 和 $B$ 之间的点集的交点： $$\overline{AB} = \lbrace A, B \rbrace \cup \lbrace X \mid X \text{ está entre } A \text{ e } B \rbrace$$$A$ 和 $B$ 是段的结束；它们之间的点是内部点。如果 $A = B$，我们说 $\overline{AB}$ 是空段。

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“存在于之间”的概念

“B 位于 A 和 C 之间。”欧几里得几乎在每次演示中都使用了这个想法，但从未对其进行解释。谁发现的第一个将“存在于”转变为公理的是德国吉森教授Moritz Pasch (1843–1930)，他在1882所著的Lições de Geometria Moderna一书中提出了这一点。在他之前，卡尔·弗里德里希·高斯已经在 1832 的一封信中观察到，在完整的几何阐述中需要澄清像“之间”这样的词。 David Hilbert 将 Pasch 的思想纳入了 1899，即所谓的秩序公理。莫里茨·帕什.古斯塔夫·巴托芬 · 维基共享资源 · 公共领域卡尔·弗里德里希·高斯。克里斯蒂安·阿尔布雷希特·詹森 (1792–1870) · 维基共享资源 · 公共领域大卫·希尔伯特.身份不明的摄影师 · 维基共享资源 · 公共领域故事两千多年来没有人错过这个定义，因为绘图解决了它：只要看图就知道哪一点在中间。当你想要一个不依赖于数字的证明时，就会出现问题。有一些著名的“证明”，例如每个三角形都是等腰三角形，这些证明似乎是正确的，但只是因为一个点画在另一个点的错误一侧而失败。顺序公理可以防止此类错误。帕什认为，即使对于那些从未见过这个雕像的人来说，示威也应该仍然有效。这一要求改变了几何的书写方式，并为希尔伯特的工作铺平了道路。在日常生活中 **队列。**知道您和收银员之间的人就知道还剩下多少人。 **地铁站。**在直达列车线路上，如果B站位于A和C之间，则从A到C的人必须经过B。高速公路的公里数。公里 120 位于公里 100 和公里 150 之间；地标的顺序可以让您找到事故地点或出口。 **进度条。**视频的标记始终位于开始和结束之间，其位置指示还剩多少。来源： Moritz Pasch (MacTutor) · Hilbert (MacTutor)。理论与结构 Postulado · 假设概念介于无论点 $A$、$B$ 和 $P$：如果$P$在$A$和$B$之间，则$A$、$B$和$P$共线；如果$P$在$A$和$B$之间，则$A$、$B$和$P$两两不同；如果$P$在$A$和$B$之间，则$A$不在$P$和$B$之间，$B$也不在$A$和$P$之间；如果 $A$ 与 $B$ 不同，则 $A$ 和 $B$ 之间存在一个点 $P$。

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