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戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的一生

年表 16467 月 1 日生于神圣罗马帝国的莱比锡。 166114 岁进入莱比锡大学。 1666出版《论组合术》。莱比锡大学拒绝授予他法学博士学位；次年阿尔特多夫大学授予了他。 1672作为外交使节前往巴黎。开始跟随克里斯蒂安·惠更斯认真学习数学。 1673在伦敦展示他的计算机器，当选皇家学会会员。 1675在 10 月和 11 月的手稿中创造了符号 $\int$ 和 $d$。 1676迁居汉诺威，在那里担任图书馆馆长和顾问长达 40 年。 1684在《学术纪事》上发表第一篇关于微分学的论文。 1700创建柏林科学院并任首任院长。 1703发表关于二进制算术的阐述。 171611 月 14 日在汉诺威去世。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1646–1666 莱比锡在莱比锡出生、求学。大学以他太年轻为由拒绝授予他法学博士学位。 1666–1667 阿尔特多夫在纽伦堡附近几个月就拿到博士学位，并谢绝了提供给他的教授职位。 1668–1672 美因茨进入美因茨选帝侯大主教的宫廷，担任法学家和顾问。 1672–1676 巴黎他带着外交使命来到巴黎，跟惠更斯学习数学。1675 年创造了符号 $\int$ 和 $d$。 1673 伦敦在皇家学会展示他的计算机器，并当选为会员。 1676 海牙在前往汉诺威的途中，拜访哲学家斯宾诺莎。 1676–1716 汉诺威担任公爵的图书馆员和顾问四十年。发表微积分（1684）和二进制算术（1703）。1716 年去世。 1687–1690 罗马为撰写公爵家族史，他花了三年时间走访德意志、奥地利和意大利的档案馆。 1700 柏林创立柏林科学院，并成为首任院长。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 外交官、图书馆员和数学家莱布尼茨的旅程。 地图：© OpenStreetMap 贡献者

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莱布尼茨的记号：描述变化的语言

在符号中可以看到一种有利于发现的优点：当符号简洁地表达出事物的确切本性，仿佛把它描绘出来时，这种优点最大；这时，思考的劳动便奇妙地减少了。 — 莱布尼茨致契恩豪斯的信（1678） 牛顿最先得到了微积分，但决定它怎么写的是莱布尼茨。而写法造成了天壤之别。 字母 d 1675 年 11 月 11 日，莱布尼茨在巴黎写的一份手稿中开始用字母 $d$ 表示一个无穷小的差。$d$ 来自拉丁文 differentia，源于动词 differre，意为“分开”。于是： $dx$ 是 $x$ 的两个非常接近的值之间的微小差； $dy$ 是 $y$ 相应的差； $\dfrac{dy}{dx}$ 是它们的比：$x$ 每变化一点点，$y$ 变化多少。 “微分学”（differential calculus）的名称由此而来：关于差的计算。 用 dx 来计算 莱布尼茨把 $dx$ 和 $dy$ 当作真正的量，只不过是无穷小的量。对于 $y=x^2$，如果 $x$ 变为 $x+dx$，那么 $$dy=(x+dx)^2-x^2=2x\,dx+(dx)^2.$$由于 $(dx)^2$ 比 $dx$ 无穷地小，他把它略去，得到 $dy=2x\,dx$，即 $$\frac{dy}{dx}=2x.$$这与牛顿用流数所做的计算相同，只是写法不同。今天我们用极限来说明“略去 $(dx)^2$”的合理性：有限差之比为 $2x+h$，当 $h\to0$ 时趋于 $2x$。 1684 年的论文 莱布尼茨 1684 年 10 月发表于《博学学报》的《求极大极小的新方法》第一页。这是微分学第一次付印。莱布尼茨 · Wikimedia Commons · 公有领域 1684 年 10 月，莱布尼茨在莱比锡的期刊《学术纪事》上发表了他的法则，标题很长：《一种求极大值与极小值以及切线的新方法，它不受分数或无理量的阻碍，以及一种为此而用的奇妙算法》。这是六页密密麻麻、错印很多的文字，几乎没人看得懂。雅各布·伯努利和约翰·伯努利兄弟看懂了，正是他们把微积分传遍了欧洲。

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乘积法则：一次计算中的两种变化

如果你知道 $u$ 如何变化、$v$ 如何变化，那么乘积 $uv$ 如何变化？最自然的猜测是把变化相乘：$d(uv)=du\cdot dv$。看起来多么对称、多么优雅…… 莱布尼茨也做过同样的猜测。 莱布尼茨的检验与失误 在 1675 年 11 月 11 日那份开始使用字母 $d$ 的手稿中，莱布尼茨问自己：$d(xy)$ 是否等于 $dx\,dy$，$d\!\left(\frac xy\right)$ 是否等于 $\dfrac{dx}{dy}$？他没有轻信优雅，而是用一个例子检验了一下，发现并不成立。几天后，他找到了正确的法则。 这是重要的一课：即使是微积分的发明者也会犯错，而拯救他们的是验算。 你自己也试试。取 $u=x$、$v=x$，乘积是 $x^2$，导数是 $2x$。但导数之积是 $1\cdot1=1$。对不上。 变大的矩形 把 $u$ 和 $v$ 想象成一个矩形的两条边，$uv$ 是它的面积。现在把两条边都稍微增加一点：$u$ 变成 $u+du$，$v$ 变成 $v+dv$。 新面积是 $(u+du)(v+dv)$。它增加了多少？ $$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=v\,du+u\,dv+du\,dv.$$从几何上看，矩形多出了三块：一条面积为 $v\,du$ 的长条，另一条面积为 $u\,dv$ 的长条，以及角上一个面积为 $du\,dv$ 的小方块。 小方块是两个无穷小量的乘积，因此比长条无穷地小。莱布尼茨把它略去，得到 $$d(uv)=u\,dv+v\,du.$$而猜测的 $du\,dv$，恰恰是无关紧要的那一块。 用极限的写法 今天我们写 $p(x)=f(x)\,g(x)$，并把增量除以 $h\ne0$： $$\frac{\Delta p}{h}=g\,\frac{\Delta f}{h}+f\,\frac{\Delta g}{h}+\frac{\Delta f}{h}\,\Delta g.$$当 $h\to0$ 时，前两项分别趋于 $gf'$ 和 $fg'$。最后一项趋于零，因为 $\dfrac{\Delta f}{h}$ 趋于一个固定的数 $f'$，而 $\Delta g$ 趋于零。因此

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积分号 ∫：从求和到累积

1675 年 10 月 29 日，莱布尼茨在巴黎研究一个面积问题。在此之前，他沿用意大利人卡瓦列里的做法，写 omn.（拉丁文 omnia“全部”的缩写）来表示一个图形中所有线段之和。写到页面中间时，他写道： 用 ∫ 代替 omn. 会很有用。 — 莱布尼茨，1675 年 10 月 29 日手稿 符号 $\int$ 是一个拉长的 S，取自 summa，即“和”。在当时的手写中，长 s 是一个普通字母。从那以后，这个符号再也没有被取代。 把薄片加起来 莱布尼茨的想法是把一个区域切成极细的竖直薄片。每片几乎是一个高为 $y$、宽为 $dx$ 的矩形，面积为 $y\,dx$。总面积就是所有薄片之和： $$\int y\,dx.$$这个符号一下子说明了一切：把高（$y$）乘以微小的宽（$dx$）全部加起来（$\int$）。求和的上下限写在上方和下方：$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 就是从 $x=a$ 到 $x=b$ 所有薄片之和。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 谁起了“积分”这个名字？ 莱布尼茨把他的发明称为 calculus summatorius，即“求和的计算”。积分（integral）一词出现在雅各布·伯努利 1690 年的一篇论文中。莱布尼茨和约翰·伯努利讨论过该用哪个名字，最后同意用“积分”，但符号仍然是莱布尼茨的 S。 把差加起来，得到总量 还记得传记中惠更斯给莱布尼茨出的那道题吗？在那里，一串差之和几乎全部抵消： $$(F_1-F_0)+(F_2-F_1)+(F_3-F_2)+\cdots+(F_n-F_{n-1})=F_n-F_0.$$把一个量的所有微小变化加起来，剩下的只有总变化：终值减初值。莱布尼茨意识到，对于无穷小的差，情况也一样。如果 $dF=f(x)\,dx$，那么 $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b dF=F(b)-F(a).$$换句话说，$\int$ 和 $d$ 互相抵消，就像加法和减法。这就是微积分基本定理，以最简短的方式写了出来。牛顿则沿着流数的道路得到了同样的结论。 例子：抛物线下的面积 求 $y=x^2$ 在 $0$ 与 $3$ 之间的面积，我们要找满足 $dF=x^2\,dx$ 的 $F$。由于 $d\!\left(\frac{x^3}{3}\right)=x^2\,dx$：

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二进制算术：用 0 和 1 表示数

我们为什么逢十进一？大概是因为我们有十根手指。数字 10 并没有什么特别之处：任何数都可以用任何进制来写。莱布尼茨把这个想法推向极致，问道：最少需要几个数字，才能写出所有的数？ 答案是两个：0 和 1。 每一位的值翻倍 用二进制写出的 0 到 32，出自莱布尼茨 1703 年发表于巴黎科学院论文集的《二进制算术的解释》中的表格。莱布尼茨（1703） · Wikimedia Commons · 公有领域 在十进制中，各位的值是 1、10、100、1000……，每个数字表示那个值用了多少次。在二进制中，各位的值是 1、2、4、8、16、32……，每个数字只能表示是（1）或否（0）。 $$10110_2=1\cdot16+0\cdot8+1\cdot4+1\cdot2+0\cdot1=22.$$下标 $_2$ 提醒我们这个数是用二进制写的。用八位，也就是八个比特，各位的值从 1 到 128，能写出的最大数是 $$11111111_2=128+64+32+16+8+4+2+1=255.$$算上零，共有 $2^8=256$ 个不同的数。这就是为什么计算机里有那么多东西的范围是 0 到 255。 打开或关闭八个比特 128 64 32 16 8 4 2 1 打开各位的权值，观察二进制写法和十进制和。左边补零可以保持八位长度，而不改变数值。 请启用 JavaScript 以使用控件；例子和计算也在正文中。

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莱布尼茨的机器：把算术变成运动

1642 年，年轻的布莱兹·帕斯卡为了帮助当税务官的父亲，造了一台机器。这台“帕斯卡计算器”通过转动齿轮做加法和减法。但要做乘法，就得用手反复做很多次加法。 莱布尼茨在巴黎见到了帕斯卡计算器，想更进一步：造一台能自己做乘法和除法的机器。 乘法就是加法加移位 诀窍和学校里的竖式乘法一样。要算 $23\times14$，把 14 拆成 $4+10$： $$23\times14=23\times4+23\times10=92+230=322.$$乘以 4 就是把 23 加四次。乘以 10 只是把数左移一位。所以，一台加法做得好、又能移位的机器，就能做任何乘法。 把 23 × 14 拆成 23 × 4 和 23 × 10。示意图解释的是计算，并非历史上那台机器的复制品。本博客原创插图。 阶梯轮 莱布尼茨的计算机，带有阶梯圆柱，陈列于德累斯顿技术收藏馆。当时只造了两台，唯一留存下来的一台保存在汉诺威的戈特弗里德·威廉·莱布尼茨图书馆。Kolossos · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 难点在于：如何让机器把同一个数加好几次，而不需要操作者重新输入。莱布尼茨的解决方案是阶梯轮（德语 Staffelwalze）：一个圆柱体上带有九个长短不一的齿，就像一道绕在上面的阶梯。 一个小齿轮在阶梯轮旁边滑动。如果它停在“3”的高度，阶梯轮每转一圈只有三个齿能碰到它，它就转动三格；如果停在“7”，就转七格。所以，调好小齿轮的位置，就等于在机器里存储了一个数字。每摇一次手柄，就再加一次这个数字。 计算 $23\times4$ 时，先设好 2 和 3，摇四次手柄。然后把机器的活动部分移一位，再摇一次，加上 $23\times10$。结果显示在表盘上：322。 进位的难题 在十进制齿轮上给 9 加 1，表盘要回到 0，同时下一个齿轮要前进一格：这就是“进位”。计算 $9999+1$ 时，四个齿轮必须依次、在恰当的时刻把进位传递下去。以 17 世纪零件的精度，这是最难的地方。

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莱布尼茨的 π 级数：简单而缓慢的求和

$\pi$ 来自圆的几何，奇数来自算术。两者似乎没有任何理由相遇。但它们确实相遇了： $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots$$把奇数的倒数交替加减，结果乘以 4，就是 $\pi$。 一个发现，三次出现 莱布尼茨于 1673 年在巴黎发现了这个公式，当时他还在跟惠更斯学数学。他把结果拿给老师看，惠更斯大为赞赏。这是莱布尼茨的第一个重大发现，也让他确信自己能成为数学家。 他并不是第一个。1671 年，苏格兰人詹姆斯·格雷戈里已经找到了反正切级数，这个公式只是它的一个特例。而大约 250 年前，喀拉拉学派的创始人、印度数学家桑加马格拉马的马德哈瓦就已经发现了同一个级数。当时的欧洲人并不知道这些工作。所以今天它被称为马德哈瓦–莱布尼茨级数或格雷戈里–莱布尼茨级数。 “神喜爱奇数” 在评论这个级数时，莱布尼茨引用了罗马诗人维吉尔的诗句：Numero Deus impare gaudet，“神喜爱奇数”。他觉得，一个与完美圆形紧密相连的数，恰恰由奇数生成，真是美妙。 证明 我们用今天的工具，分三步证明这个公式。 1. 一个等比数列的和。 公比为 $-q$ 的等比数列 $1-q+q^2-q^3+\cdots$ 有已知的求和公式。取 $q=t^2$，在第 $N$ 项处截断，加上余项后等式就是精确的： $$\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\cdots+(-1)^{N-1}t^{2N-2}+\frac{(-1)^Nt^{2N}}{1+t^2}.$$2. 两边从 0 到 1 积分。 左边，$\dfrac{1}{1+t^2}$ 在 0 与 1 之间的面积是 $\arctan1=\dfrac\pi4$，因为 $45°$ 的正切等于 1。右边，每个幂 $t^{2k}$ 给出 $\dfrac{1}{2k+1}$： $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\cdots+\frac{(-1)^{N-1}}{2N-1}+R_N.$$3. 余项趋于零。 由于 $1+t^2\ge1$，余项有界： $$|R_N|\le\int_0^1t^{2N}\,dt=\frac{1}{2N+1}.$$当 $N$ 增大时，$\dfrac{1}{2N+1}$ 趋于零，部分和可以任意接近 $\dfrac\pi4$。 美丽，但缓慢 乘以 4 后，部分和逼近 $\pi$ 的误差至多为 $\dfrac{4}{2N+1}$。这很慢： 项数 部分和 × 4 保证的最大误差 1 4 1.33 2 2.667 0.8 10 3.0418 0.19 100 3.1316 0.02 1000 3.1406 0.002 用了一千项，小数点后第三位还是错的。要得到十位正确的小数，需要数十亿项。这个级数非常适合理解 $\pi$，却非常不适合计算 $\pi$。如今计算出数万亿位的计算机，用的是其他快得多的公式。

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Calculemus：用计算来推理

纠正我们推理的唯一方法，是让它们像数学家的推理一样具体可感，使我们一眼就能发现错误；而当人们发生争论时，我们只需说一声：让我们来计算吧！不必多费口舌，就能看出谁是对的。 — 莱布尼茨，《发现的艺术》（1685） 莱布尼茨是律师、外交官和哲学家。他一生目睹了无数永无休止的争论：宗教之间、国家之间、哲学流派之间。而数学家不会争论 $2+2$ 是否等于 4，只会去算。如果推理也能像数字一样被计算呢？ 思想的字母表 这个计划分为两部分。 第一部分是一种通用语言，莱布尼茨称之为 characteristica universalis（普遍文字）。在这种语言里，每个简单观念都有一个符号，复杂观念则是这些符号的组合，就像单词由字母组合而成。莱布尼茨 20 岁时在 1666 年的《论组合术》中就开始构思它。 第二部分是一种推理演算，即 calculus ratiocinator：一套操作符号的规则，让人像做加法一样机械地得出正确结论。在那样的世界里，争论可以用纸和笔来解决。 把概念当作质数 莱布尼茨真的尝试过一个用数字的版本。想法是：给每个简单概念分配一个质数，给每个复合概念分配其组成部分的质数之积。 例如，按照经典定义，“人是理性的动物”。如果动物 $=2$，理性 $=3$，那么人 $=2\times3=6$。 于是，“所有人都是动物”这句话就变成一个算术问题：**2 能整除 6 吗？**能，所以这句话为真。那“所有动物都是人”呢？**6 能整除 2 吗？**不能，所以为假。关于概念的推理变成了一道除法题。 这个系统有严重的问题，它处理不好否定和“有些”这类句子。莱布尼茨知道这一点，并不断尝试其他形式。但核心思想——逻辑可以是代数——已经提出来了。 用今天的记号举例 今天我们用逻辑符号书写推理。考虑关于一个图形的三个命题： $P$：这个图形是正方形； $Q$：这个图形是矩形； $R$：这个图形的两条对角线等长。 如果 $P\Rightarrow Q$（所有正方形都是矩形）且 $Q\Rightarrow R$（所有矩形的对角线都相等），那么 $P\Rightarrow R$。结论来自论证的形式，根本不需要去想正方形。这正是莱布尼茨想要的：只看符号就能检验推理。 但符号不会创造奇迹。如果前提是错的，计算再正确，结论也可能是错的。而颠倒蕴含关系是常见的错误：由“所有正方形都是矩形”推不出所有矩形都是正方形。 组合不等于解释 三个命题，每个或真或假，共有 $2^3=8$ 种组合：000、001、010、011、100、101、110、111。注意，这正是 0 到 7 的二进制写法。逻辑与 0、1 构成的数之间的联系，莱布尼茨已有所察觉，两个世纪后它将成为核心。 部分实现的梦想 莱布尼茨关于逻辑的著作几乎全部未发表，直到 19 世纪。尽管如此，这个想法又回来了： 1854 年，乔治·布尔出版《思维规律》，把逻辑变成了一种只有 0 和 1 的代数。 1879 年，戈特洛布·弗雷格创造了一套完整的逻辑符号语言，与莱布尼茨的设想非常接近。 1936 年，艾伦·图灵描述了一种抽象机器，能执行任何用规则描述的计算。 然而在 1931 年，库尔特·哥德尔证明了：没有任何规则系统能判定数学中的所有真理。莱布尼茨完整的梦想是不可能实现的。但其中可能的那一部分就存在于每台电脑里：一个按规则操作符号的机械装置。

October 11, 2026 阅读
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莱布尼茨的遗产

微积分之争 莱布尼茨在 1684 年和 1686 年发表了微积分。牛顿早在 1665–1666 年就得到了同样的思想，却把一切都留在手稿里。十五年间，没有人争什么。 1699 年，牛顿的朋友、瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·德迪利耶在一本书中暗示莱布尼茨借鉴了牛顿。1708 年，苏格兰人约翰·基尔更进一步，指控莱布尼茨剽窃。理由是：1676 年莱布尼茨访问伦敦时，见过牛顿《分析》的一份抄本。 身为皇家学会会员的莱布尼茨请求学会进行公正调查。1712 年，一个委员会认定牛顿是第一发明人。莱布尼茨从未被请去陈述自己的理由，而那份报告是由学会会长牛顿本人秘密写成的。 莱布尼茨以一本匿名小册子回应，并试图把争论变成一场数学挑战。他于 1716 年去世，问题悬而未决。据说牛顿听到他的死讯时说，自己“伤透了莱布尼茨的心”。 今天历史学家的结论很清楚：两人是各自独立发明微积分的。莱布尼茨的手稿一步一步地记录了他得出这些思想的过程，那是一条不同于牛顿的道路。牛顿先得到，莱布尼茨先发表，而且记号更好。 在牛顿的遗产一篇中，可以看到从牛顿一方讲述的同一个故事。 胜出的记号 这场争执有一个意外的赢家：记号。欧洲大陆的数学家，如伯努利家族、欧拉和拉格朗日，使用莱布尼茨的 $dx$ 和 $\int$，在 18 世纪把微积分推向了很远。在英国，出于对牛顿的忠诚，人们坚守小点记号，英国数学因此落后。1812 年，剑桥学生创立了分析学会，正是为了采用莱布尼茨的记号，他们戏称这是在推崇“纯粹的 d 主义”，反对大学里的“点时代”。 莱布尼茨留给数学的有： 符号 $dx$、$\dfrac{dy}{dx}$ 和 $\int$； 数学意义上的函数和坐标这两个词； 用点“$\cdot$”表示乘法、用冒号“:”表示除法； 相似符号 $\sim$ 和全等符号 $\cong$（与今天相近的形式）。 数学之外 莱布尼茨也是历史上伟大的哲学家之一，著有《单子论》和《神义论》。在物理学中，他与笛卡儿的追随者争论如何度量运动物体的“力”，他的“活力”（$mv^2$）是动能概念的前身。在计算领域，二进制和用计算来推理的梦想预示了直到 20 世纪才实现的思想。 控制论的创始人诺伯特·维纳称莱布尼茨为这一领域的“守护神”。在德国，最重要的科学研究奖项就叫戈特弗里德·威廉·莱布尼茨奖。 要点回顾 莱布尼茨生于 1646 年，卒于 1716 年，除了是数学家，还是法学家、外交官、图书馆馆长和哲学家。 他成年后才在巴黎跟随惠更斯认真学习数学。 他在 1675 年创造了符号 $d$ 和 $\int$，并于 1684 年和 1686 年发表了微积分。 链式法则 $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ 借助记号看起来就像约分。 乘积的导数是 $u\,dv+v\,du$，而不是 $du\,dv$。 $\int$ 和 $d$ 是互逆运算：把差加起来就得到总量。 他系统整理了二进制算术，并于 1703 年发表。 他用阶梯轮造出了一台会做乘法的机器。 他发现了 $\dfrac\pi4=1-\dfrac13+\dfrac15-\cdots$，马德哈瓦和格雷戈里此前已知道。 牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分。 资料来源： 生平与著作，MacTutor · 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨图书馆藏莱布尼茨文献。

October 11, 2026 阅读
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图片来源

历史肖像 克里斯托夫·伯恩哈德·弗朗克约 1695 年所绘的莱布尼茨肖像来自维基共享资源，属于公有领域。我们使用维基共享资源提供的 960 像素缩略图，未作编辑。 来源页面。 公有领域标记。 博客图形 封面和乘法 $23\times14$ 的示意图为原创插图。示意图解释的是计算，并不复制那台历史机器的机构。 八个二进制位、乘积法则各项以及 π 级数部分和的交互图形是为本专题制作的。即使没有 JavaScript，读者也可以借助正文中的例子跟上计算。 记录 文件 data/leibniz_imagens.json 记录了肖像的来源、许可、核查日期和 SHA-256 哈希值。每个主题的历史资料列在各篇文章末尾。 新增的历史图片 这些图片来自维基共享资源。每张图片的来源、许可和 SHA-256 哈希值记录在 data/leibniz_imagens.json 中。 莱布尼茨论文中的二进制表（1703）: 莱布尼茨（1703） · Wikimedia Commons · 公有领域 白晋寄来的《易经》卦图（1701）: 白晋与莱布尼茨 · Wikimedia Commons · 公有领域 德累斯顿的莱布尼茨计算机: Kolossos · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 《求极大极小的新方法》第一页（1684）: 莱布尼茨 · Wikimedia Commons · 公有领域 莱布尼茨的全部主题 · ← 莱布尼茨的遗产

October 11, 2026 阅读
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莱布尼茨对牛顿的点：能动的记号与贫瘠的记号

1675 年 10 月 29 日，在巴黎，莱布尼茨正在把一条曲线下面无穷多的细条加起来，他厌倦了在每个和式前面写 omnia（“全部”）。他在笔记本上记下： Utile erit scribi ∫ pro omnia.（用 ∫ 代替“全部”来写，将会很有用。） — 莱布尼茨，1675 年 10 月 29 日的手稿 $\int$ 是一个拉长的 S，取自 summa（和）。两周后，在同一本笔记里，出现了 $d$，取自 differentia（差），表示无穷小的差。有了这两个符号，莱布尼茨手里就有了一套表达整个微积分的语言。艾萨克·牛顿早在十年前就在剑桥得到了同样的思想，但写法不同。要看一个符号的形状如何改变人们能用它做的事，这是历史上最好的例子。 艾萨克·牛顿（1643–1727）：流数与点。戈弗雷·内勒 · Wikimedia Commons · 公有领域 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1646–1716）：微分与 ∫。克里斯托夫·伯恩哈德·弗兰克 · Wikimedia Commons · 公有领域 同一个想法的两种写法 牛顿想的是随时间流动的量，比如运动物体的位置。他把这个量叫作流量，把它的变化率叫作流数，并开始在字母上方加一个点来标记流数：如果流量是 $x$，流数就是 $\dot{x}$；流数的流数是 $\ddot{x}$。 莱布尼茨想的是相邻两个值之间极小的差。$x$ 的差是 $dx$，$y$ 的差是 $dy$，变化率就是两者之比 $\dfrac{dy}{dx}$。并排来看： 想表达的意思 牛顿 莱布尼茨 $y$ 的变化率 $\dot y$ $\dfrac{dy}{dx}$ 相对于什么？ 时间（隐含） $x$（写明） 二阶导数 $\ddot y$ $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ 细条之和 没有固定符号 $\displaystyle\int y\,dx$ 链式法则 记住法则 $\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}$ 牛顿的点更短。但请注意它隐藏了什么：对哪个变量求导。对牛顿来说，那总是时间，这在他的物理学里是对的。当一个量依赖的不是时间，或者同时依赖好几个量时，点就没有地方说明这一点了。

October 13, 2026 阅读