流数：如何度量瞬时变化
一辆汽车从一座城市出发，一小时后到达 90 公里外的另一座城市。平均速度是 90 公里/小时。但每一瞬间，速度表上的读数都不一样。它到底在测量什么？速度是距离除以时间，可在一个瞬间里，既没有走过距离，也没有经过时间。零除以零给不出答案。
这正是牛顿在 1665 年想要回答的问题。他的答案就是流数法。
流动的量 牛顿把每个变化的量想象成随时间流动的东西，就像河里的水。流动的量，他称为流量（fluent）；它流动的速率，称为流数（fluxion）。为了标记流数，他在字母上方加一个小点。在 1704 年出版的《曲线求积论》中，他写道：
设 $x$、$y$、$z$ 为流量，它们的流数分别记作 $\dot x$、$\dot y$、$\dot z$。
— 艾萨克·牛顿，《曲线求积论》（1704） 如果 $x$ 是位置，$\dot x$ 就是速度。换句话说，速度是从空间中“流”出来的。两个点 $\ddot x$ 表示流数的流数：加速度。
牛顿的算法 为了弄清 $y=x^2$ 如何变化，牛顿让一个极小的时间间隔流过，他把它记作 $o$。在这段时间里，$x$ 变成 $x+\dot x\,o$，$y$ 变成 $y+\dot y\,o$。由于关系 $y=x^2$ 仍然成立：
$$y+\dot y\,o=(x+\dot x\,o)^2=x^2+2x\dot x\,o+\dot x^2o^2.$$两边减去 $y=x^2$，再除以 $o$：
$$\dot y=2x\dot x+\dot x^2\,o.$$接下来是大胆的一步：既然 $o$ 是“无穷小”，牛顿就把最后一项丢掉了。剩下 $\dot y=2x\dot x$，也就是说，$y$ 的变化速度是 $x$ 的 $2x$ 倍。
消逝量的幽灵
先除以 $o$，再假装 $o$ 等于零，这一步让很多人不安。1734 年，爱尔兰主教乔治·贝克莱出版了《分析学家》，对微积分发起攻击。他问：这些时而存在、时而消失的量，难道不是“消逝量的幽灵”吗？这一批评是中肯的。答案直到 19 世纪才出现，那就是柯西和魏尔斯特拉斯的极限定义。 同样的计算，今天的写法 借助极限，我们可以不靠“幽灵”重新论证。在 $x$ 与 $x+h$ 之间（$h\neq0$），割线的斜率是
