在数论或算术中，我们可以使用加法、减法、乘法和除法等运算。在集合论中，运算有并、交、差。其中一些已在上一篇文章中定义。在这篇文章中，我们将讨论集合之间的运算结果。 组间差异 首先，我们来谈谈集合之间的区别。为此，定义如下： 定义（集合之间的差异）： 设 A 和 B 为两个集合，我们表示集合 $A$ 和 $B,$ 之间的差异 由$A \setminus B$或$A−B,$组成的集合是$A$中且不在$B.$中的元素形成的集合。我们象征性地写道： $$A - B = \\{x; \quad x \in A \wedge x \notin B\\}.$$ 如果 $A \subseteq B,$ 集合 $B − A$ 也被称为 A 在 B 中的补集，并且 由$A^c_B$表示。 如果 $A$ 包含在全域集 $U,$ 中，则 $U$ 中的 $A$ 简单地表示为 $$A^c = \\{x;\quad x \notin A \\}.$$集合间运算的性质 定理 1。 设 A、B 和 C 为集合。然后： (a) 协会： $A \cup(B \cup C) = (A \cup B)\cup C$ $A \cap(B \cap C) = (A \cap B)\cap C.$ (b) 交换性： $A \cup B = B \cup A$ $A \cap B = B \cap A.$ (c) 分配率： $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).$ (d) 幂等性： $A \cup A = A$ $A \cap A = A.$ (e) 差异： $A − B \subseteq A$ $(A − B) \cap B = \emptyset.$ (f) 差异 1： $A − B = \emptyset \quad \Leftrightarrow \quad A \subseteq B$ $A − (A − B) = B \quad \Leftrightarrow \quad B \subseteq A .$ 如果$A$和$B$是同一宇宙集合U的子集，则： (g) 摩根定律 $(A \cup B)^c= A^c \cap B^c$ $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c.$ (h) 附加： $(A^c)^c = A$ $A \cap A^c = \emptyset.$ (i) $A \subseteq B$ 当且仅当 $B^c \subseteq A^c.$