索菲·热尔曼素数与密码学
如果素数 $p$ 满足 $2p+1$ 也是素数，就称 $p$ 为索菲·热尔曼素数。5 是，因为 11 是素数。7 不是，因为 $15=3\cdot5$。这个序列是这样开始的：
$$2,\ 3,\ 5,\ 11,\ 23,\ 29,\ 41,\ 53,\ 83,\ 89,\ 113,\ 131,\ldots$$与每个 $p$ 对应的素数 $2p+1$ 称为安全素数：$5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, \ldots$ 索菲·热尔曼在她的费马定理中需要它们。两个世纪后，它们在保护互联网连接。
会用完吗？ 100 以内有 10 个索菲·热尔曼素数；1000 以内有 37 个。它们越来越稀少，但一直在出现。没有人能证明它们有无穷多个。这是一个悬而未决的问题，与孪生素数猜想属于同一类，后者问的是：像 $11$ 和 $13$ 这样相差 2 的素数对是否有无穷多个。
链 有时这个操作可以重复。从 $2$ 开始：
$$2\to5\to11\to23\to47,$$全都是素数，直到 $2\cdot47+1=95$ 不是。这样的序列称为坎宁安链，以 20 世纪初研究它们的英国军人兼数学家艾伦·坎宁安命名。从 89 开始的链也很长：$89\to179\to359\to719\to1439\to2879$，连续六个素数。
欧拉与拉格朗日的一个定理 梅森数 $2^p-1$ 是寻找巨大素数时最受青睐的候选者。欧拉提出、拉格朗日在 1775 年证明了：安全素数会让这场寻找扫兴。
如果 $p$ 是索菲·热尔曼素数，且 $p\equiv3\pmod4$，那么 $2p+1$ 整除 $2^p-1$。
