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雅各布·伯努利的一生

年表 16551 月 6 日生于巴塞尔，一个香料商人家庭。 1671获得哲学硕士学位。遵从父亲的意愿，继续攻读神学。 1676完成神学学业，开始游历。在日内瓦教一位盲人女孩数学。 1681访问英国，结识罗伯特·玻意耳和罗伯特·胡克。撰文讨论 1680 年的大彗星。 1683回到巴塞尔，讲授实验物理，研究复利问题。 1684与朱迪特·斯图帕努斯结婚。开始阅读莱布尼茨关于微积分的论文。 1687成为巴塞尔大学数学教授，一直任职到去世。 1689发表关于无穷级数的第一篇论文，其中讨论了调和级数。 1690解决等时曲线问题，第一次使用 integral（积分）一词。 1694描述双纽线。 1697因最速降线问题与弟弟约翰公开决裂。 17058 月 16 日在巴塞尔去世，《猜度术》尚未完成。 1713侄子尼古劳斯出版《猜度术》。 ◀ 上一站 沿路线走一遍 下一站 ▶ 1655–1676 巴塞尔生于香料商人家庭。遵父命学神学，自己偷偷学数学。 1676 日内瓦担任盲女伊丽莎白·冯·瓦尔德基希的家庭教师，教她读书、写字和一点数学。 1677–1680 法国研究笛卡尔和马勒伯朗士的哲学。 1681 荷兰结识新实验哲学的科学家们。 1681 英格兰结识罗伯特·玻意耳和罗伯特·胡克，写了一本关于 1680 年大彗星的小书。 1683–1705 巴塞尔回到家乡，自学莱布尼茨的微积分，在大学任教直到 1705 年去世。 请启用 JavaScript 以查看地图。各站列在下方。 雅各布·伯努利的游学岁月：从巴塞尔到英格兰，再回到巴塞尔。 地图：© OpenStreetMap 贡献者 1655–1676 · 巴塞尔1676 · 日内瓦1677–1680 · 法国1681 · 荷兰1681 · 英格兰1683–1705 · 巴塞尔 雅各布·伯努利的游学岁月：从巴塞尔到英格兰，再回到巴塞尔。 一个商人家庭 伯努利家族原是安特卫普的新教徒，十六世纪末为躲避西班牙的迫害而出逃，最后落脚在瑞士的巴塞尔，靠经营香料发了家。雅各布的父亲尼古劳斯·伯努利是商人，也是市议会议员。他对儿子们早有安排：长子当牧师，小儿子约翰经商。

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永不停止的利息与数 e

想象一家慷慨的银行，年利率 100%。你一月存入 1 元，到十二月就有 2 元。现在银行换个方式：不在年底一次付 100%，而是每半年付 50%，上半年的利息在下半年也能生息。这样划算吗？如果每月付、每天付、每秒付呢？能变得无限富有吗？ 这正是雅各布·伯努利在 1683 年前后问自己的问题，他在 1690 年把它发表在《学者学报》上。它看上去像记账，答案却是数学中最重要的数之一。 算一算 如果把一年分成 $n$ 个相等的时段，每个时段付 $\frac{100\%}{n}$，也就是余额乘以 $1+\frac1n$。经过 $n$ 个时段后，1 元变成 $$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n.$$分两个时段，$a_2=1.5^2=2.25$，比 2 多。时段越多，结果越好： 付息方式 $n$ 年末余额 一次 1 2.000000 每半年 2 2.250000 每季度 4 2.441406 每月 12 2.613035 每天 365 2.714567 每小时 8 760 2.718127 余额在增长，但增长得越来越少。从按月付息改成按天付息，只多出大约一角钱；从按天改成按小时，还不到半分钱。余额似乎在逼近 $2.718$ 附近的一个上限。 为什么有上限 伯努利还没有今天意义上的"极限"一词，但他有 牛顿二项式。展开 $a_n$： $$a_n=1+n\cdot\frac1n+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac1{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{2\cdot3}\cdot\frac1{n^3}+\cdots$$把每一项整理一下， $$\begin{aligned}a_n={}&1+1+\frac1{2!}\left(1-\frac1n\right)\\&+\frac1{3!}\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right)+\cdots\end{aligned}$$当 $n$ 增大时发生两件事。括号 $\left(1-\frac kn\right)$ 越来越接近 1，所以每一项都在 变大；同时又出现新的项，而且都是正的。因此 $a_n$ 只增不减。另一方面，每个括号都小于 1，所以 $$a_n<1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\cdots$$而这个和很容易控制：因为 $3!=6>4$，$4!=24>8$，一般地 $k!\geq 2^{k-1}$， $$a_n<1+\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots\right)=1+2=3.$$伯努利得出的正是这个结论：余额一直上升，但 始终介于 2 和 3 之间。不管银行把一年分得多细，1 元永远变不成 3 元。一个只增不减又越不过上限的数列，一定会趋近某个值：

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调和级数与一份求助

正如无穷级数被有限的和所包含，在无界之中可以辨认出界限，无垠的灵魂也栖居于微小之中，而在最狭窄的界限里并无界限。 — 雅各布·伯努利，《无穷级数论》（1689） 1689 年到 1704 年间，雅各布·伯努利在巴塞尔发表了五篇关于 无穷级数 的论文，也就是有无穷多项的和。这是一个新颖而危险的题目。有些这样的和会得到一个数，例如 $$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$另一些则不停地增长。难就难在判断每个和属于哪一类，因为常识会骗人。 调和级数 考虑正整数倒数之和： $$1+\frac12+\frac13+\frac14+\frac15+\cdots$$音乐家称它为 调和 级数，因为 $\frac12,\frac13,\frac14,\dots$ 正是产生一个音的各个泛音的弦长。各项越来越小，趋于零。直觉告诉我们，这个和应该停在某处。可是它增长得太慢，让人看不出端倪： 项数 近似和 10 2.93 1 000 7.49 1 000 000 14.39 $10^{43}$ 100.0 要超过 $10^{43}$ 项才能达到 100。即便如此，雅各布证明了这个和会超过 任何 数。 雅各布的证明 他把级数分成以平方数结尾的若干段。取一个数 $a$，以及从 $\frac1a$ 到 $\frac1{a^2}$ 的各项。把 $\frac1a$ 放在一边，剩下 $a^2-a$ 项，每一项都至少是其中最小的 $\frac1{a^2}$。于是 $$\frac1a+\left(\frac1{a+1}+\cdots+\frac1{a^2}\right)\geq\frac1a+\frac{a^2-a}{a^2}=\frac1a+1-\frac1a=1.$$每一段都至少等于 1。接下来只要把它们一段段接起来：从 $\frac12$ 到 $\frac14$，从 $\frac15$ 到 $\frac1{25}$，从 $\frac1{26}$ 到 $\frac1{676}$，依此类推： $$1+\underbrace{\frac12+\frac13+\frac14}_{\geq1}+\underbrace{\frac15+\cdots+\frac1{25}}_{\geq1}+\underbrace{\frac1{26}+\cdots+\frac1{676}}_{\geq1}+\cdots$$段数无穷多，每段至少为 1，所以和会超过任何数。它 发散。 雅各布承认弟弟约翰比他更早找到了另一种证明，并把它发表在同一篇论文里。兄弟俩都不知道，法国人尼古拉·奥雷斯姆早在 1350 年前后就做过同样的事，他把各项分成 1、2、4、8……项一组。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

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奇妙的螺线与双纽线

有了莱布尼茨的微积分，伯努利兄弟开始四处"猎取"曲线。对每一条曲线，他们都要问：切线是什么，长度是多少，面积是多少，曲率是多少？其中许多曲线从古希腊起就为人所知，但直到这时，这些问题才能用一条普遍的规则来回答。有两条曲线从此永远带上了雅各布的名字。 形状不变的螺线 笛卡儿和托里拆利已经研究过 对数 螺线。在极坐标中，每个点由它到中心的距离 $r$ 和角度 $\theta$ 确定，这条螺线是 $$r=a\,e^{b\theta}.$$每转一整圈，角度增加 $2\pi$，半径总是乘以同一个因子 $e^{2\pi b}$。所以各圈之间不是等距的：每一圈都按同样的比例比前一圈大。 由此得出让雅各布着迷的性质：把螺线 旋转 一个角度 $\alpha$，效果与把它 放大 $e^{b\alpha}$ 倍相同。如果把这条螺线的照片放大，得到的还是同一条螺线，只是转了一下。它在任何尺度下都与自身相同。 左边是雅各布要求刻在墓碑上的对数螺线：每一圈都比前一圈宽。右边是石匠刻下的阿基米德螺线：各圈间距相等。Euler’s Eyes 绘图 不变的角 在螺线上的一点，从中心出发的半径与曲线的切线成一个角 $\psi$。当角 $\theta$ 增加一点点 $d\theta$ 时，这个点在垂直于半径的方向上移动 $r\,d\theta$，沿半径方向移动 $dr$。所以 $$\tan\psi=\frac{r\,d\theta}{dr}=\frac{r}{dr/d\theta}=\frac{r}{b\,r}=\frac1b.$$$r$ 被约掉了：这个角在 所有 点上都一样。所以这条曲线也叫 等角螺线。一只昆虫如果始终与灯保持固定的角度飞行，就像人们说飞蛾对月亮那样，它就会画出这样一条螺线，最后撞到灯上。 雅各布还发现了更多。由螺线各点曲率中心构成的曲线，是另一条与原来相同的对数螺线。从中心发出、经螺线反射的光线，又形成一条相同的螺线。无论从哪里看，这条曲线都会以同样的样子重生。他称之为 spira mirabilis，奇妙的螺线。 鹦鹉螺壳的剖面。每转一圈，腔室几乎按同样的比例增大，形状接近对数螺线。Florian Elias Rieser · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 大自然出于同样的原因偏爱这条曲线。像鹦鹉螺这样一层层生长而形状不变的动物，会长出对数螺线形的壳。许多星系的旋臂和飓风的云带也呈现类似的形状。 Eadem mutata resurgo 雅各布把这条螺线看作复活的象征：身体会变，人却复生如故。所以他要求把它刻在墓碑上，配上座右铭 Eadem mutata resurgo，“虽经变化，我复生如故”。石匠刻成了阿基米德螺线，而它没有这个性质：放大后各圈间距变大，曲线就变了。这块刻错的墓碑至今还在巴塞尔大教堂。 双纽线：横躺的 8 字 1694 年，雅各布在《学者学报》的一篇文章里提出了一条新曲线。取两个定点，即 焦点 $F_1=(-c,0)$ 和 $F_2=(c,0)$。椭圆上的点到两焦点距离之 和 为常数。雅各布把和换成了 积：

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猜度术：计算机会

猜度一件事，就是度量它的概率。因此我们把猜度术，或称随机术，定义为尽可能准确地度量事物概率的技艺，使我们在判断和行动中，总能选择或遵循在我们看来更好、更令人满意、更稳妥或更审慎的做法。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第四部分 1654 年，帕斯卡和费马 通信讨论一局中断的赌博该如何分配赌注。1657 年，荷兰人克里斯蒂安·惠更斯出版了一本十五页的小册子，讲掷骰子游戏中的计算。这些都是客厅里的问题：骰子、纸牌、赌注。 雅各布·伯努利想要的远不止这些。在他看来，概率是对 确定程度 的度量，是一个介于 0（不可能）和 1（必然）之间的数，可以用来在法庭上衡量证词、预测一个人还能活多久、评估一份保险，或者判断一种药是否有效。他花了二十年写一本书来说明如何做到。他把它称为 Ars conjectandi，《猜度术》。 《猜度术》的扉页，1713 年在巴塞尔出版，距雅各布去世已有八年。Wikimedia Commons · 公有领域 四部分的书 《猜度术》分为四部分。第一部分重印了惠更斯的书，雅各布写的评注比原文还长。第二部分是一门完整的 组合学 课程：排列、组合，以及其中如今以雅各布命名的 幂和。第三部分把这些应用到几十种游戏上。第四部分没有完成，讨论概率在公民、道德和经济生活中的应用，黄金定理 就在这里。 伯努利试验 书中最简单的想法，成了统计学中用得最多的想法之一。设想一个只有两种可能结果的试验：硬币是不是正面，病人是否痊愈，零件是不是次品。其中一种结果叫 成功，概率为 $p$；另一种叫 失败，概率为 $q=1-p$。这个词只是一个标签：在工厂里，被计数的"成功"可能是发现一个次品。 如今这样的试验叫作 伯努利试验。雅各布的问题是：在相同条件下把试验重复 $n$ 次，且各次结果互不影响，恰好得到 $k$ 次成功的概率是多少？ 一步步推出公式 先看一个小例子。掷一颗骰子 3 次，“成功"是掷出 6，$p=\frac16$。恰好掷出两个 6 的机会是多少？ 一种可能的序列是 6、6、其他。它的概率是每次投掷机会的乘积： $$\frac16\cdot\frac16\cdot\frac56=\frac5{216}.$$但还有其他含两个 6 的顺序：6、其他、6 和 其他、6、6。每一种的概率都是 $\frac5{216}$，因为同样的因子只是换了顺序。共有 3 种顺序，所以 $$P(\text{两个 6})=3\cdot\frac5{216}=\frac{15}{216}\approx6.9\%.$$顺序的个数，就是选出 哪几次 投掷成功的方法数：从 3 次中选 2 次，即 $\binom32=3$。一般地，每个含 $k$ 次成功、$n-k$ 次失败的序列概率为 $p^kq^{n-k}$，这样的序列有 $\binom nk$ 个。加起来：

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黄金定理：大数定律

即使是最愚笨的人，也凭着某种天性，无需任何指点就自己相信：观察的次数越多，偏离目标的危险就越小。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第四部分 对一颗骰子，我们事先就知道每一面的机会：$\frac16$。可是，一个 40 岁的男人再活二十年的机会是多少？明天下雨的机会呢？一种药有效的机会呢？这些情形里没有相同的面可以数。雅各布提出了另一条路：多次观察，用频率来估计概率。如果在许多 40 岁的男人中，有一半活到了 60 岁，那么这个机会应该接近一半。 正如上面的引文所说，人人都已经这样想了。雅各布的问题更深一层：这能 证明 吗？随着观察次数增加，频率真的会接近概率吗，还是误差可能一直很大？要达到实际上的确定，需要多少次观察？他花了二十年才回答这个问题，并且对结果非常自豪，称之为 黄金定理。 罐子 雅各布用一个看不见内部的罐子来表述这个问题：罐中有 3 000 颗白石子和 2 000 颗黑石子。不能往里看的人想知道白石子所占的比例，也就是 $\frac35$。为此，他取出一颗石子，记下颜色，放回去，再重复。 $n$ 次抽取中有 $S_n$ 次白色，观察到的频率就是 $\frac{S_n}n$。精确的问题是：需要抽多少次，才能 道德上确定，也就是以至少 $\frac{1000}{1001}$ 的机会保证频率落在 $\frac{29}{50}$ 与 $\frac{31}{50}$ 之间，即与 $\frac35$ 相差不到 $\frac1{50}$？ 定理说了什么 雅各布的回答有两部分。第一部分是定性的：对任何误差范围 $\varepsilon$，不论多小，当 $n$ 增大时，频率偏离 $p$ 超过 $\varepsilon$ 的机会趋于零。用今天的语言写， $$\boxed{\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|>\varepsilon\right)=0.}$$这是 大数定律 的第一个版本，这个名称是泊松在 1837 年起的。第二部分是数值的：雅各布算出，对这个罐子，25 550 次抽取 就足以达到道德上的确定。 模拟的抛硬币。起初正面所占比例波动很大；抛了几千次后，它接近 1/2。横轴采用对数刻度。Euler’s Eyes 绘图 用今天的工具证明 雅各布的证明用了好几章篇幅，讨论二项式各项之间的不等式。今天，同样的想法用几行就能写完，用到的是俄国人切比雪夫在 1867 年发表的一个不等式。 每次抽取，白石子记为 $1$，黑石子记为 $0$。每次抽取的均值是 $p$，它的 方差，即围绕均值波动的程度，是 $p(1-p)$。把 $n$ 次独立抽取相加再除以 $n$，均值仍是 $p$，方差却除以了 $n$：

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伯努利数：七分钟算出一千个幂的和

借助这张表，我用了不到半刻钟（七分半钟）就求出：前一千个数的十次幂之和等于 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第二部分 传说少年 高斯 把第一个数和最后一个数配对，几秒钟就算出了 1 到 100 的和：$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$。平方和与立方和也有公式，从阿基米德和阿拉伯数学家起就已为人所知： $$\begin{aligned}1^2+2^2+\cdots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\\ 1^3+2^3+\cdots+n^3&=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.\end{aligned}$$那么四次、五次、十次幂呢？十七世纪，好几位数学家一个一个地推导这些公式，写满了一页又一页。法国人伊斯梅尔·布里奥在 1682 年出版了一部厚书，费尽力气也只推到六次幂。雅各布·伯努利找到了一条能给出 所有 公式的规则。 那张表 在《猜度术》的第二部分，雅各布把这些公式一个接一个地写下来，仔细端详： $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k&=\tfrac12n^2+\tfrac12n\\ \sum_{k=1}^n k^2&=\tfrac13n^3+\tfrac12n^2+\tfrac16n\\ \sum_{k=1}^n k^3&=\tfrac14n^4+\tfrac12n^3+\tfrac14n^2\\ \sum_{k=1}^n k^4&=\tfrac15n^5+\tfrac12n^4+\tfrac13n^3-\tfrac1{30}n\\ \sum_{k=1}^n k^5&=\tfrac16n^6+\tfrac12n^5+\tfrac5{12}n^4-\tfrac1{12}n^2\end{aligned}$$这里有规律。$m$ 次幂之和总是 $m+1$ 次多项式。第一个系数是 $\frac1{m+1}$，与积分 $\int_0^n x^m\,dx=\frac{n^{m+1}}{m+1}$ 一样。第二个系数总是 $\frac12$。后面的系数看起来像 二项式 $(n+1)^{m+1}$ 的系数，只是分别乘上了某些固定的数。 神秘的数 雅各布意识到，只需要一列数，今天记作 $B_0,B_1,B_2,\dots$，称为 伯努利数，就能一次写出所有公式： $$\boxed{\sum_{k=1}^n k^m=\frac1{m+1}\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j\,n^{m+1-j}}$$怎样求出 $B_j$？有个简单的诀窍：公式必须对 $n=1$ 成立，此时和只是 $1^m=1$。令 $n=1$，$n$ 的所有幂都变成 1，剩下 $$\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j=m+1.$$从 $B_0=1$ 开始，每个 $m$ 值给出下一个数： $m=1$：$1+2B_1=2$，所以 $B_1=\frac12$。 $m=2$：$1+3\cdot\frac12+3B_2=3$，所以 $B_2=\frac16$。 $m=3$：$1+4\cdot\frac12+6\cdot\frac16+4B_3=4$，所以 $B_3=0$。 $m=4$：$1+5\cdot\frac12+10\cdot\frac16+0+5B_4=5$，所以 $B_4=-\frac1{30}$。 继续下去，$B_6=\frac1{42}$，$B_8=-\frac1{30}$，$B_{10}=\frac5{66}$，而下标为大于 1 的奇数的都等于零。这些数没有明显的规律：$B_{12}=-\frac{691}{2730}$，此后增长得非常快。

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雅各布·伯努利的遗产

雅各布·伯努利只活了五十岁，生前发表的东西不多，几乎都是《学者学报》上的短文。即便如此，很少有数学家像他一样，留下这么多我们至今天天在用的词语、符号和思想：积分、伯努利试验、二项分布、伯努利数、大数定律、随机。 “积分"这个词 莱布尼茨把导数的逆运算称为 calculus summatorius，即求和的演算，并用 $\int$ 来写它，这是 summa（和）的首字母 S 拉长后的样子。1690 年 5 月，雅各布在解决等时曲线问题时写道，两个表达式有"相等的积分”。这是 积分（integral）一词第一次出现在印刷的数学文本里。约翰采用了这个术语；1696 年，莱布尼茨同意把他的"求和演算"改称伯努利兄弟的 积分学。符号沿用莱布尼茨的，名称则来自雅各布。 年份 作者 记号或名称 出处 1659 彼得罗·门戈利 omnia $x$ Geometriae speciosae elementa 1675 莱布尼茨 $\int x$ 1675 年 10 月 29 日的手稿 1690 雅各布·伯努利 “integral” 《学者学报》 1696 莱布尼茨与约翰·伯努利 calculus integralis 通信 1822 傅里叶 $\int_a^b f(x)\,dx$ 《热的解析理论》 悬挂的链子 在 1690 年的同一篇文章里，雅各布问：两端悬挂的链子是什么形状？伽利略曾以为是抛物线。1691 年，约翰、莱布尼茨和惠更斯发表了正确答案，即 悬链线，今天用双曲余弦写作 $y=a\cosh\frac xa$。雅各布在这场比赛中输给了弟弟，但问题是他提出的。悬链线 的故事在约翰的学习路线里。 棣莫弗与正态曲线 黄金定理指出频率会接近概率，但雅各布对所需观察次数的估计过于夸大。1733 年，流亡伦敦的法国人亚伯拉罕·棣莫弗为 $n$ 很大时的二项式各项寻找更好的近似，发现了钟形曲线 $$y=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}.$$这是 正态曲线 的首次出现，后来拉普拉斯和高斯把它放到了统计学的中心。有了它，雅各布的罐子只需大约 6 500 次抽取，而不是他算出的 25 550 次。

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历史图片 全部来自维基共享资源（Wikimedia Commons）。我们使用共享资源提供的缩略图，未作编辑。 雅各布·伯努利像，1687 年由他的弟弟尼克劳斯·伯努利所绘：原始页面 · 公有领域。 《猜度术》扉页，巴塞尔，1713 年：原始页面 · 公有领域。 雅各布·伯努利的墓碑，位于巴塞尔大教堂回廊，Wladyslaw Sojka 摄：原始页面 · 自由艺术许可。 鹦鹉螺壳剖面，Florian Elias Rieser 摄：原始页面 · CC BY-SA 4.0。 本站绘图 封面、两种螺线的示意图，以及模拟抛硬币中正面比例的图表，都是本站原创插图，并为网站的每种语言制作了相应版本。遗产一文中积分记号的表格，是根据本站旧微积分课程中的一张表重新整理的。 记录 文件 data/bernoulli_imagens.json 记录了每张下载图片的来源、许可、核实日期和 SHA-256 哈希值。各主题的历史资料来源列在每篇文章末尾。 雅各布·伯努利的全部主题 · ← 雅各布·伯努利的遗产

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