内心 — 角平分线 内部
三角形的三个内部 角平分线 在 内心 处相交，即位于其内部的最大圆的中心。
谁发现的 该构造位于欧几里得的几何原本的命题IV.4（c. 300 BC）：“在给定的三角形中内切一个圆”。欧几里得从两个角度画出角平分线，取交点并表明它到三个边的距离相同。由于第三个角平分线也经过这一点，因此三人是竞争对手。一个著名的公式将这个圆的半径与面积联系起来：它位于亚历山大海伦（公元一世纪）的公制中，以及他的三边面积公式。
欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 亚历山大的苍鹭，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 几何原本 的第四册专门讨论圆的内接和外接图形。 内心 出现在那里并不是作为一个奇怪的问题，而是作为一个实际构造问题的解决方案：在哪里放置指南针的尖端以绘制接触三个边的圆。
角平分线在内心中；等于边的距离决定了内切圆的半径。来自博客的原始教学插图。 海伦证明，三角形的面积等于内接圆的半径乘以周长的一半。这个想法是将三角形分成三个顶点位于 内心 的三角形，每个三角形的高度等于半径。
在日常生活中 **最大的圆桌。**在房间或三角形地块上，适合的最大桌子、泳池或圆床以 内心 为中心。 **环岛。**在三角形三路交叉口，三条街道的等距点是内心。 **板材切割。**要从三角形金属或木材废料中切割出尽可能大的圆盘，切割中心为 内心。 **观察点。**距三角形湖三岸相同距离的哨所位于 内心。 来源： 元素，命题 IV.4 · 亚历山大苍鹭 (MacTutor)。
理论与结构 Teorema · 来自内部的竞争 角平分线
三角形的三个内部 角平分线 相交于同一点，距边的距离相等：
$$\overline{AS_1} \cap \overline{BS_2} \cap \overline{CS_3} = \lbrace S \rbrace, \qquad d_{S,a} = d_{S,b} = d_{S,c}.$$ **演示。**令 $S$ 为 $\overline{BS_2}$ 和 $\overline{CS_3}$ 的交集。由于$S$在$\hat{B}$的角平分线中，$d_{S,a} = d_{S,c}$；如$\hat{C}$、$d_{S,a} = d_{S,b}$。因此，$d_{S,b} = d_{S,c}$、$S$也在角平分线或$\hat{A}$中（与角各边等距的内点在角平分线中）。
