1637 年笛卡儿出版《几何学》时，他既没有发明曲线，也没有发明方程。两者都已存在了几个世纪。他发明的是两者之间的一座桥：通过测量到一条参考直线的距离，把每条曲线变成一个方程，把每个方程变成一条曲线（今天所说的笛卡儿坐标系中那两条互相垂直的坐标轴，是在他之后才确立的）。笛卡儿平面首先是一部把一种书写翻译成另一种书写的机器。 这种翻译我们太熟悉了，以至于忘了它有多难。法国人雷蒙·杜瓦尔毕生研究为什么那么多计算很好的学生，一看到图像就卡住了，他得出的一个想法，今天已是数学教育的核心。 表征语域 杜瓦尔把有自己规则的符号系统称为表征语域：葡萄牙语或中文、代数书写、表格、笛卡儿坐标图、几何图形。同一个对象，比如“加倍再加一”的函数，在所有这些语域中都会出现： 用文字说：“对每个输入，输出是它的两倍加一”； 用公式写：$f(x)=2x+1$； 用表格列：数对 $(0,1)$、$(1,3)$、$(2,5)$； 用图像画：一条在 $1$ 处与纵轴相交、每向右走 $1$ 就上升 $2$ 的直线。 拖动下面的图，在三种语域中追踪同一个点： 改变输入 x，在公式、表格和图像之间切换。高亮的点在三种语域中追踪的是同一个关系 f(x) = 2x + 1。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 没有哪一种语域是其他语域的副本。公式最适合计算 $f(100)$。表格展示具体的情形，但只是一部分。图像一眼就显示出函数在增长，以及增长多少。文字说明我们在谈论什么。每一种都照亮了对象的一部分，又把另一部分留在暗处。 处理与转换 杜瓦尔最有用的区分，把两种看似相同、实则不同的活动分开了。 处理是在一个语域内部进行的变换。解方程是一种代数处理： $$2x+1=7\iff 2x=6\iff x=3.$$约分、多项式因式分解、把表格各栏相加，也都是处理。它们遵循语域自身的规则，而学校把这类任务训练得很好。 转换是从一个语域到另一个语域的过渡：从公式到图像，从句子到方程，从表格到公式。要画出 $f(x)=2x+1$ 的图像，必须知道那个 $1$ 变成了直线与纵轴的交点，那个 $2$ 变成了斜率。没有任何代数规则教你这一点；你必须知道两个语域如何对应。 数对 (0, 1)、(1, 3)、(2, 5) 都在 f(x) = 2x + 1 的图像上。为本书绘制的教学示意图。 上面的表格给出了三个点。为什么可以用直线把它们连起来？不是因为这些点：三个共线的点也可以落在无穷多条弯弯曲曲的曲线上。可以连成直线，是因为公式说明了这个函数是一次函数。从表格到图像的转换，依赖于只有公式才有的信息。
如果说有谁配得上“现代记号的建筑师”这个称号，那就是莱昂哈德·欧拉。他写下的数学篇幅比历史上任何人都多，而且他是为了让人读懂而写的：他的书被用来教学，他采用的约定也随着这些书传播开来。许多仿佛自古就有的符号，都经过了他的手。 莱昂哈德·欧拉（1707–1783），雅各布·伊曼纽尔·汉德曼绘于 1753 年。雅各布·伊曼纽尔·汉德曼 · 公有领域 1706威廉·琼斯用 $\pi$ 表示圆周与直径之比，几乎没有人注意到。 1727在一份手稿中，欧拉把对数为 $1$ 的那个数叫作 $e$。 1734欧拉写下 $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$：函数记号 $f(x)$ 诞生了。 1736在《力学》中，欧拉采用了琼斯的 $\pi$；随着《无穷分析引论》（1748），这个符号成了标准。 1755欧拉用 $\Sigma$ 表示求和。 1777欧拉用 $i$ 表示 $\sqrt{-1}$，这篇文章直到他去世后才发表。 这些符号的共同点是：每一个都把一段描述变成了一个名字。在欧拉之前，要谈论一个函数，就得描述它的规则（“由 $x$ 平方再加一所构成的量”）。有了 $f(x)$ 之后，规则有了一个简短的名字，而名字可以进入别的计算：$f(x+h)-f(x)$、$f(g(x))$、$f'(x)$。函数变成了一个对象，可以像过去操作数那样操作它。关于每个符号的更多细节，请看欧拉留给我们的语言。 函数：一个带空位的句子 “函数”（function）一词来自拉丁文 functio，源自动词 fungi：完成一项任务，履行一项职责。函数就是做某件事的东西。这个符号花了将近一百年才走到 $f(x)$： 年份 作者 函数的样子 1637 勒内·笛卡儿 $x$ 与 $y$ 之间的一个方程，与一条曲线相联系 1667 詹姆斯·格雷戈里 quantitas，由其他量得到的量 1671 艾萨克·牛顿 流量，流动的量 1673 莱布尼茨 functio 这个词 1718 约翰·伯努利 $\varphi x$，没有括号 1734 莱昂哈德·欧拉 $f\!\left(\frac{x}{a}+c\right)$，带括号 1837 彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷 现代定义：任何一种对每个 $x$ 对应唯一 $y$ 的规则 本站早期的文章提出过一种有趣的读函数的方式：把它读成一个带空位的句子。“加倍”这个函数就是