两个看起来一样的问题： 问题 答案 $\sqrt9$ 等于多少？ $3$ 哪些实数满足 $x^2=9$？ $3$ 和 $-3$ 很多人觉得第一行很奇怪。既然 $(-3)^2$ 也等于 $9$，为什么 $\sqrt9$ 不是“$\pm3$”？答案在第 1 章里，在这个符号古老的名字里。Radix quadrati 就是正方形的边。面积为 $9$ 的正方形边长是 $3$，没有哪条边的长度是 $-3$。 面积为 9 的正方形，边长是 3。方程 x² = 9 有两个解，但边长只有一个。为本书绘制的教学示意图。 一个符号，一个值 现代数学把对正方形的记忆保存在一个定义里：对于 $a\ge0$，符号 $\sqrt a$ 表示平方等于 $a$ 的那个唯一的非负数。这也有句法上的理由。一个符号如果接收一个数后，有时给出一个值、有时给出两个值，就无法参与计算：$\sqrt9+1$ 是多少？$4$ 还是 $-2$？要让 $\sqrt{\phantom{a}}$ 像其他运算一样工作，它就必须给出一个答案，而几何告诉我们是哪一个。 这并没有抹掉 $-3$。它仍然是 $x^2=9$ 的解，显示两个解的写法是 $$x^2=9\iff x=\sqrt9\ \text{ 或 }\ x=-\sqrt9\iff x=\pm3.$$$\pm$ 出现在根号外面，因为有两个解的是方程，而不是符号。这就是为什么二次方程求根公式在根号前面写了一个 $\pm$：根号本身只给出一个值，$\pm$ 要求两个都要。