当位置就是算法：乘法与比例法则
上一篇文章我们看到，符号的位置是公式意义的一部分：括号、指数和分数线显示零件如何组合。有些完整的计算方法把这个想法推到了极致：每个数写在什么位置，本身就是算法。知道把数放在哪里的人，就已经会做这道题了。本站早期的文章收集了三个例子，分属三个不同的时代。
埃及人：靠加倍做乘法 三千五百多年前，埃及书吏不用乘法表就能做乘法。他们用两栏：左栏是从 $1$ 开始的 $2$ 的幂；右栏是其中一个因数，每次加倍。计算 $21\times37$：
1 的加倍 37 的加倍 ✓ $1$ $37$ $2$ $74$ ✓ $4$ $148$ $8$ $296$ ✓ $16$ $592$ 在左栏中，标出加起来等于 $21$ 的那几行：$16+4+1=21$。在右栏中，只把标出的行相加：$592+148+37=777$。完成：$21\times37=777$。
这看起来像魔术，本站早期的文章问道：“这是神秘主义吗？”不是。左栏的标记把 $21$ 写成了二进制：
$$21=1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=10101_2,$$而计算不过是分配律：$21\times37=(16+4+1)\times37$。埃及书吏做二进制算术，比莱布尼茨写到它早了三千多年。他们的表就是一种记号：打了 ✓ 的行和没打 ✓ 的行，就是 1 和 0。
帕乔利：在窗格里做乘法 1494 年，方济各会修士卢卡·帕乔利在威尼斯出版了《算术、几何、比与比例概要》，这是一部收录商人需要知道的一切的百科全书。在各种乘法中，他教了一种在被对角线切开的格子里做的方法，并解释了它的名字：
我们所说的 gelosia，是指那种通常装在有女眷居住的房屋窗户上的格栅。
— 卢卡·帕乔利，《算术概要》（1494） gelosia 是一种木制格窗，让人能看到街上，自己却不被看见。这种算法的版面就像那种格栅：
用格子乘法计算 23 × 12。每一格写上方数字与右侧数字之积；沿对角线相加，读出 0、2、7、6。根据本站早期文章为本书绘制的教学示意图。 把 $23$ 的各位写在上方，$12$ 的各位写在右侧。每一格填入相交的两个数字之积，十位写在对角线上方，个位写在下方：$1\times2=02$，$1\times3=03$，$2\times2=04$，$2\times3=06$。然后沿每一条对角带从下往上相加：$6$；$4+0+3=7$；$0+0+2=2$；$0$。结果是 $0276$，也就是 $23\times12=276$。
秘密又一次在于位置。格子里的对角带就是数位：第一条装个位，第二条装十位，第三条装百位。格子自己完成了学校算法中用“进位”和“每行左移一位”所做的事。本站早期的文章还用一张数位表展示了同一道题：
