当谈论自然数时，自然数的公理定义是必要的。为此，我们将展示如何定义自然数的基本运算。 皮亚诺公理 最初，我们将公理地定义自然数集合 $\mathbb{N}$。为了描述这些属性，我们将使用符号 0（零）和 s（后继）。 (a) $0 \in \mathbb{N};$ 零属于自然数集合。 (b) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \in \mathbb{N};$ 对于属于自然数集合的每个数字，后继者都属于自然数。 (c) $\forall n \in \mathbb{N}\quad s(n) \neq 0;$ 对于属于自然数集合的每个数，后继都不同于零。 (d) $\forall m,n \in \mathbb{N}\quad s(n)=s(m) \Rightarrow n=m;$ 对于属于自然集合的每两对数字，使得后继者相等，这意味着这些数字是相等的。 (e) 令 $P(x)$ 为 $\mathbb{N}.$ 元素的属性应用： (i) $P(0);$ (ii) $\forall n \in \mathbb{N}, \quad P(n)\Rightarrow P(s(n))$ 那么它对所有 $n \in \mathbb{N}.$ 都有效 $P(n)$ 公理 $(e)$ 被称为归纳原理。如果我们将符号 $s(n)$ 解释为 $n + 1.$，则集合 $\\{0, 1, 2, \dots\\}$ 满足上述属性。要注意归纳原理在这样的集合中成立，假设它不成立。然后是 $n$ 最小的值，不值得 P(n)。