正多边形

第 16 章 — 正多边形

16 Capítulo 16 · Neste capítulo você vai 正多边形识别正多边形并证明它们是不可描述的和可外接的；识别中心、边心距和中心角；计算正方形、六边形和等边三角形的边长和边心距作为半径的函数；获取正则十边形和五边形的边并识别黄金线段。六角螺母、蜂窝、停车标志、时钟齿轮：正多边形是您需要围绕中心重复相同部件的地方。在本章中，我们证明每个正多边形都精确地拟合在具有相同中心的两个圆之间，并根据半径计算其边长和边心距 - 大约两千多年前的计算被用来创建第一个三角表。蜂窝：正六边形无间隙地组合在一起。六角螺母和螺钉头。一、概念和性质将圆分成相等的部分会产生正多边形。反之亦然：每个正多边形都有一个穿过所有顶点的圆和另一个接触所有边的圆。谁发现的内接和外接正多边形是欧几里德（约公元前 300）第四卷几何原本的主题：他用尺子和圆规构造了等边三角形、正方形、五边形（命题IV.11)、六边形 (IV.15) 和 15 边多边形 (IV.16)。两千多年来没有人超越这一点，直到卡尔·弗里德里希·高斯在1796中构造了正17边多边形，并在1801中展示了可以构造哪些正多边形；在 1837 中，Pierre Wantzel 证明了其他人的不可能。欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域卡尔·弗里德里希·高斯。克里斯蒂安·阿尔布雷希特·詹森 (1792–1870) · 维基共享资源 · 公共领域故事 Gauss 和 Wantzel 的结果表明，当 $n$ 是 2 的幂乘以不同的费马素数（形式为 $2^{2^k} + 1$ 的素数，例如 3、5、17 时，可以用直尺和圆规构造具有 $n$ 边的正多边形， 257 和 65 537。这就是为什么七边形（7边）和九边形（9边）无法构造，但具有257边的多边形可以：在1832中，Friedrich Richelot发布了其构造。

October 12, 2026 阅读

正多边形的周长比

在之前的文章中我们讨论了斯图尔特定理，这里我们将讨论正多边形中的周长关系。圆和正多边形之间的关系是几何学中一个令人着迷且复杂的话题。正多边形是具有全等边和角的几何图形，而圆可以看作具有无限条边的正多边形的极限情况。当正多边形内接于圆时，它的每个顶点都与圆相切，并且多边形的中心与圆的中心重合。这样可以在圆的半径和多边形的尺寸（例如边和边心距）（从中心到边的距离）之间建立精确的关系。例如，在圆内切正方形的情况下，圆的直径等于正方形的对角线，通过应用毕达哥拉斯定理，可以找到正方形的边长与圆的半径之间的关系。对于正内接六边形，六边形的边等于圆的半径，因为六边形的每条边都等于从中心延伸到顶点的半径之一。历史欧几里得是对这一领域做出贡献的最早也是最有影响力的数学家之一，他的著作《几何原本》建立了许多公理和定理，用于理解圆内接和外接的正多边形的性质。他将圆划分为全等弧以及从这些弧形成正多边形的工作仍然是几何研究的基础。另一位著名的数学家是佩尔加的阿波罗尼乌斯，他以圆锥曲线的研究而闻名，这也有助于理解多边形和圆之间的关系。他对椭圆、抛物线和双曲线性质的研究有助于发展将多边形与其外接圆联系起来的理论。贡献佩尔加的阿波罗尼乌斯在伊斯兰世界，比鲁尼和奥马尔·海亚姆等数学家也做出了重大贡献。 Al-Biruni 开发了计算面积和体积的方法，包括正多边形的面积和体积，而 Omar Khayyam 致力于分类和求解三次方程，这对多边形的几何有直接影响。近代，被誉为“数学家王子”的卡尔·弗里德里希·高斯做出了深刻影响几何学的发现。他的正多边形定理证明，如果数字 n 是 2 的幂和任何不同的费马素数的乘积，则可以用直尺和圆规构造正 n 边多边形。 Leonhard Euler 的著名定理 V-E+F=2（其中 V 是多面体的顶点数，E 是边数，F 是多面体的面数）也有助于理解不同几何尺寸之间的关系，该定理可应用于分析正多边形及其与圆的关系。这些只是塑造我们对几何关系理解的众多数学家中的一小部分。他的贡献继续影响着当代数学，并激励新一代数学家探索几何的深度。日常生活中的应用外接正多边形是那些边与内圆相切的多边形。这种独特的特性使工程师和建筑师能够利用这些形状来优化空间并确保结构中力的均匀分布，从而确保结构的稳定性和安全性。自古罗马以来，工程师就使用外接多边形来设计耐用的建筑物。如今，这种做法仍然具有现实意义，证明了数学知识的永恒性和重要性。理解这些概念对于解决需要精度和效率的实际问题至关重要，尤其是在工程和建筑领域。应用这些原理的一个典型例子是在圆的帮助下计算正多边形的测量值，例如边和边心距。这些测量值是根据内接圆周的半径确定的，有利于桥梁、塔楼和具有复杂几何形状的建筑物等结构的设计。此外，多边形边长与内切圆半径之间的精确数学关系是精确计算周长和面积的基础，为安全高效的建筑设计提供有力的工具。例如，边数较多的多边形往往接近圆形，这对于需要形状平滑度的设计是有利的。这些数学关系不仅仅是理论上的；而且是真实的。它们对日常生活有直接影响。例如，当设计轮子、齿轮，甚至在圆形空间中布置家具时，都会应用外接多边形的原理来达到最佳效果。概念具有全等边的多边形为等边，如果具有全等角，则为等角。等边四边形等角四边形定义：凸多边形是正多边形当且仅当它具有所有全等的边 (等边) 和所有全等的角 (等角)。正三角形 (等边) 正四边形（正方形）特性 **定理：**当我们将圆分成$n$时，其中$n$大于或等于3，全等弧。所以： 1。由两个连续分割点确定的所有弦连接在一起，形成一个正多边形，其边长$n$内接于圆。 2。由分割点绘制的切线确定一个正多边形，其$n$边外接于圆周。演示：案例 1：设$A$、$B$、$C$、$D$、$\dots$、$M$和$N$为圆$\lambda$的$n$分割点。多边形 $ABCD\dots MN$ 内接于圆。这样，弧就全等了： $$\stackrel{\frown}{AB} \equiv \stackrel{\frown}{BC}\equiv \stackrel{\frown}{CD} \equiv \stackrel{\frown}{DE} \equiv \dots \equiv \stackrel{\frown}{MN} \equiv \stackrel{\frown}{NA}$$结果是：

July 18, 2024 阅读

在之前的文章中，我们讨论了有关多边形的一些一般概念。正多边形是封闭的、平坦的、迷人的几何图形，在整个历史上引起了数学家和艺术家的兴趣。这些图形的特点是所有边和内角都相等，是对称与和谐的体现。边长相等、内角相等的平面几何图形。这意味着正多边形不仅看起来平衡，而且遵循精确的数学规则，可以通过优雅且有用的公式来表达。例如，正多边形的周长可以通过将一侧的长度乘以总边数（$P = n \times l$）来计算，其中$P$表示周长，$n$表示边数，$l$表示一侧的长度。这一特性使得正多边形对于几何学及其实际应用的研究特别有趣。除了周长之外，正多边形的另一个重要方面是其内角的测量。正多边形的内角和可以通过公式($S = (n - 2) ⋅ 180°$)求出，其中$n$是边数。这使我们能够通过将总和除以边数来计算每个内角的尺寸。日常生活中的用途正多边形也因其美学特性而闻名。自古以来，它们就被用于艺术和建筑中，创造出令人赏心悦目的图案和结构。它们是世界各地历史遗址中发现的许多马赛克和瓷砖图案的基础。然而，正多边形不仅美观，而且美观。它们非常有用。在工程和设计中，它们用于创建需要均匀性和精度的形状和结构。例如，使用正六边形来设计螺钉和螺母，确保它们完美地配合在一起。在自然界中，正多边形出现在许多情况下，也许最著名的是蜜蜂的蜂窝，它由完美对齐的正六边形组成。这种图案不仅最大化了存储空间，而且还最大限度地减少了施工所需的蜡量，展示了这些几何形状的效率。历史数学家在整个历史中一直在研究正多边形的概念，但没有与之相关的单一数学“第一”。不过，我可以分享一些关于正多边形的相关信息： **欧几里得：**希腊数学家欧几里得以其几何学著作而闻名，在他的著作《几何原本》中描述了正多边形的性质。他建立了构建内接于圆的正多边形的规则。 **阿基米德：**另一位希腊数学家阿基米德也研究了正多边形。他开发了计算圆内接和外接多边形的面积和周长的方法。 **列奥纳多·斐波那契：**著名的意大利数学家斐波那契（也称为比萨的列奥纳多）研究了数字序列，并间接研究了正多边形。它的斐波那契数列与黄金分割率有关，黄金分割率存在于许多正多边形中。总之，随着时间的推移，几位数学家为正多边形的研究做出了贡献。他们探索了它的几何特性，并将这些知识应用于建筑和设计等各个领域。正多边形具有全等边的多边形为等边，如果具有全等角，则为等角。等边四边形等角四边形定义：凸多边形是正多边形当且仅当它具有所有全等的边 (等边) 和所有全等的角 (等角)。正三角形 (等边) 正四边形（正方形）现在如何识别正多边形：等边六边形等角六边形正六边形简而言之，正多边形不仅仅是几何图形。它们是数学如何在自然美和人类创造中体现的例子。它的研究不仅丰富了我们的几何知识，而且有助于我们更好地了解周围的世界。这里对正多边形做了一点小小的贡献，等待下一篇文章。

June 27, 2024 阅读