有些方程没有求根公式。$e^x+x-3=0$ 没有像一元二次方程那样的公式，而三次方程的公式又繁琐得几乎没人使用。这时候的办法是逼近：先猜一个值，看看差多少，再修正猜测。问题在于如何修正得好。 牛顿的例子 在 1669 年的《分析》中，牛顿选了这个方程： $$y^3-2y-5=0.$$试算之后，他发现根在 $2$ 附近，因为 $2^3-2\cdot2-5=-1$。于是他写 $y=2+p$，其中 $p$ 是还缺的修正量，代入得到： $$(2+p)^3-2(2+p)-5=p^3+6p^2+10p-1=0.$$既然 $p$ 很小，$p^2$ 和 $p^3$ 就更小。牛顿把它们丢掉，只留下 $10p-1=0$，得 $p=0.1$。新的猜测：$y=2.1$。再用 $y=2.1+q$ 重复同样的想法，得到 $q\approx-0.0054$，依此类推。几步之后，他得到 $y\approx2.09455148$。 牛顿、拉弗森与辛普森 牛顿每一步都要重新代入，每次得到一个新的多项式。1690 年，约瑟夫·拉弗森发表了一个更实用的版本，始终使用原方程。今天课本上用导数表示的形式，是托马斯·辛普森在 1740 年给出的。所以这个方法也叫牛顿–拉弗森法。 几何思想：沿着切线走 丢掉 $p^2$ 和 $p^3$，等于用曲线的切线来代替曲线。在切点附近，切线几乎与曲线重合，而求直线与坐标轴的交点很容易。 从猜测值 $x_n$ 出发，函数 $f$ 的图像在该点的切线是 $$y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n).$$它在 $y=0$ 处与横轴相交。解出 $x$，就得到新的猜测： $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$用文字说：新猜测 = 猜测 − f(猜测) ÷ f′(猜测)。 用于牛顿的方程，$f(y)=y^3-2y-5$，$f'(y)=3y^2-2$，公式给出： 步骤 $y$ 0 2 1 2.1 2 2.0945681 3 2.0945514817 4 2.0945514815 每走一步，正确的小数位数大约翻一倍。 例子：平方根 要计算 $\sqrt2$，我们解 $x^2-2=0$。由 $f'(x)=2x$，公式变成