来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2025 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布解答题的官方解答（第二阶段的官方 答案只涉及葡萄牙语选择题）；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个 公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 1 除以 $x^2 - x + 1$ 的余式 $a = -1$，$b = 3$ 2 椭圆：$y/x$ 的最大值 $r = \sqrt{3}$ 3 三角方程组 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$ 4 旁切圆 $15\sqrt{3}$ 5 $3^{100}$ 的首位数字 5 6 概率：第 $n$ 次抛出第四个正面 $n = 6$ 和 $n = 7$ 7 有二重根的多项式与直角三角形 $a = \pm\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$，$b = \mp\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ 8 行列式之和 1013 9 满足 $A^{-1} = A^T$ 的整数矩阵 3840 10 立方体沿体对角线方向的投影 $4\sqrt{3}$ 第 1 题：除以 x² − x + 1 的余式 题目 求实数 $a$、$b$，使多项式 $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$ 除以 $x^2 - x + 1$ 的余式为 $2x + 1$。
来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2025 第一阶段共有 48 道选择题：数学 12 道、物理 12 道、化学 12 道、英语 12 道。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 1 至 12。 试卷约定。 横轴和纵轴记作 $O_x$ 和 $O_y$，$O$ 为原点；$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$； $i^2 = -1$；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线。 答案一览 题号 内容 答案 1 复数：三角形 $1$、$z$、$z^2$ 的面积 B 2 多面体：是否存在 E 3 二项式定理：常数项 C 4 函数：单射与满射 D 5 数列、等差数列与等比数列 D 6 含参数的指数方程 B 7 同解的线性方程组 A 8 三角函数的定义域 E 9 旋转体 作废 10 两个多项式的公共根 D 11 共焦点的椭圆与双曲线 A 12 约数的个数 C 第 1 题：以 1、z、z² 为顶点的三角形 题目 设复数 $z = a + 2i$，其中 $a \in \mathbb{R}$ 为正数。使 $1$、$z$、$z^2$ 在复平面上对应的点构成 面积为 200 的三角形的 $a$ 的值为
来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2023 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答 由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 1 齐次线性方程组 $b = 2a$；$\{(-15t, -16t, 17t) : t \in \mathbb{R}\}$ 2 矩阵：$M$ 何时可逆 $\alpha \notin \{0, 2, 3 - \sqrt{15}, 3 + \sqrt{15}\}$ 3 底数含变量的对数不等式 $]-2, 0[$ 4 多项式除法与根 $q = x^6 + x^5 - x - 1$，$r = 0$；根为 $\operatorname{cis}\frac{\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{3\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{7\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{9\pi}{5}$ 5 三角：和差化积 $\sin(\alpha - \beta) = \frac{2AB}{A^2 + B^2}$ 6 内切圆半径 $\frac{6\sqrt{7} - 3\sqrt{3}}{10}$ 7 椭圆：两焦半径夹角为 60° $\left(\pm\frac{4\sqrt{2}}{3}, \pm\frac{1}{3}\right)$ 8 等边圆柱与球 $400\pi$ cm² 和 $\frac{4000\pi}{3}$ cm³ 9 正弦定理：三角形的边 $6 + \sqrt{11}$ 和 $6 - \sqrt{11}$ 10 计数：十边形的对角线对 175 第 1 题：齐次方程组何时有非零解 题目 设 $a$、$b$ 为正实数。考虑关于未知数 $x$、$y$、$z$ 的线性方程组：
来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2023 第一阶段共有 60 道选择题，每科 12 道（物理、葡萄牙语、英语、数学、化学）。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 37 至 48。 试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i^2 = -1$；$M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线；$m(\overline{AB})$ 为 $\overline{AB}$ 的长度；$A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点的角；$\det A$ 为 $A$ 的行列式。 答案一览 题号 内容 答案 37 行列式与有唯一解的方程 C 38 复数：迭代 $f(z) = z^2 + i$ E 39 凸多边形与等差数列 B 40 多项式：根的调和平均数 C 41 指数函数：不等式 B 42 平面几何：三角形中的矩形 D 43 复数：幂之和 D 44 双曲线：与焦点构成的三角形 A 45 概率：硬币游戏 B 46 旋转体：两个圆锥 E 47 三角方程 A 48 多项式：次数为 3 的倍数的项的系数 C 第 37 题：含行列式且有唯一解的方程 题目 设 $A \in M_3(\mathbb{R})$，使得恰有一个实数 $x$ 满足方程 $\det(\sqrt[3]{2}\,x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2$。则 $x + \det A$ 等于