条形图似乎不需要解释：条越高，数越大。用第2章的话说，它是一种图像符号：高度与数量相似。但每张图表背后都有一个眼睛读不到的约定：刻度。一旦约定改变，图像符号依然以同样的自信说话，只是说的已经是另一回事。 截断的坐标轴 一家公司连续四年的销售额是 $96$、$98$、$101$ 和 $104$。增长不大：三年增长 $8.3\%$。现在画条形图，让纵轴从 $95$ 而不是 $0$ 开始。第一根条的高度是 $1$，最后一根是 $9$。最后一根看起来是第一根的九倍。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 图并没有在任何一个数上说谎：所有的数都写在那里。它说谎的是数与数之间的关系，而这恰恰是条形图承诺要显示的。1954 年，美国记者达莱尔·哈夫在《统计数字会撒谎》一书中，把这个把戏称为“哇噻图”（gee-whiz graph），这本书至今仍是统计学课程的必读书。 条形图的规则很简单：它们比较长度，因此必须从零开始。折线图则不同：它显示的是变化，让坐标轴从数据附近开始可以是合理的，前提是刻度写清楚，且不把线的高度当作大小的度量。 对数刻度 有些刻度是故意扭曲的，而且是出于好意。一个在每段时间里都翻倍的量，比如细菌的数量或疫情初期的病例数，增长得如此爆炸，以至于在普通图表上，最初的值贴在地面上，最后的值跑出了页面。 在对数刻度上，纵轴的刻度不是 $0, 10, 20, 30$，而是 $1, 10, 100, 1000$：每走同样长的一步，就乘以 10。于是指数增长变成了一条直线，直线的斜率表示倍增的速度。2020 年，许多报纸用两种刻度展示疫情曲线，很多读者这才发现，同样的数据可以看起来像爆炸，也可以看起来像平缓的坡道。 对数刻度是一个需要学习的符号的好例子。眼睛把高度读作数量；在对数刻度上，高度表示的是数量级。没有注意到约定改变的人，就会读错图。 图框的长宽比 即使坐标轴从零开始、刻度也是普通的，图框的形状也会改变印象。同一组数据，画在又宽又矮的矩形里显得平稳；画在又窄又高的矩形里，则像是在飙升。统计学家威廉·克利夫兰提出了一条实用规则：选择长宽比，使重要的斜率接近 $45°$，这是眼睛最能分辨斜率差异的角度。 以面积骗人的地图 选举地图把每个地区涂上获胜者的颜色。但一个地区的面积与选民人数毫无关系：一个辽阔而空旷的州，比一个小而人口稠密的城市占用更多颜料。眼睛把面积读作重要性，地图似乎在说某个政党赢得比实际多得多。变形地图（统计地图）让地区变形，使面积与人口成正比，纠正了这个图像符号，结果看起来很怪——这正是诚实的代价。 练习：坐标轴的夸大坐标轴从 $90$ 开始时，$104$ 的条看起来是 $96$ 的条的多少倍？从 $100$ 开始呢？ 坐标轴从 $90$ 开始，可见高度是 $104-90=14$ 和 $96-90=6$：最后一根看起来是 $\frac{14}{6}\approx2.3$ 倍。坐标轴从 $100$ 开始，$96$ 的条根本不出现，$104$ 的条高度为 $4$：图表失去了意义。真实的比值始终是 $\frac{104}{96}\approx1.08$。 练习：对数刻度上的直线一个种群每天翻倍：$1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ 在以 $10$ 为底的对数刻度上，高度每天上升多少？ 高度是数值的 $\log_{10}$，而 $\log_{10}(2^n)=n\log_{10}2\approx0.301\,n$。每天高度上升 $0.301$ 个单位：每天上升同样多，所以图是一条直线。大约 $3.3$ 天上升整整一个单位，也就是乘以 10。
直到十八世纪末，数字都是用表格发表的。表格很精确，却迫使读者一行一行地比较，把数值记在脑子里。数据图表用一瞥取代了这种阅读：差异、趋势和峰值在读到任何数字之前就显现出来。四张图表展示了这项发明怎样改变了人们能看见的东西。 普莱费尔发明折线图 1700 年至 1780 年英国与非洲的进出口，出自威廉·普莱费尔的《商业与政治图集》（1786）。两条线之间的面积显示贸易差额。William Playfair · Wikimedia Commons · 公有领域 1786 年，生平跌宕的苏格兰工程师兼小册子作者威廉·普莱费尔出版了《商业与政治图集》，其中有 44 张关于英国贸易的图表。以时间为横轴的折线图和条形图，第一次在这里系统地出现。1801 年他又加上了饼图。普莱费尔为这些图辩护说，眼睛把握一串数字的形状，远胜于记忆保存这些数字。 斯诺与宽街水泵 约翰·斯诺 1854 年绘制的伦敦苏活区地图。每一例霍乱死亡是一条叠在房门口的黑色短线；这些叠起的短线聚集在宽街水泵周围。John Snow · Wikimedia Commons · 公有领域 1854 年 8 月和 9 月，一场霍乱在伦敦苏活区夺去了数百人的生命。主流理论认为疾病来自“瘴气”，即坏空气。医生约翰·斯诺怀疑是水。他在街区地图上标出每一例死亡，在房门口画一条短线，结果这些短线堆积在一个公共水泵周围——宽街的那个水泵。斯诺说服当局在 9 月 8 日卸下了水泵的把手。 水泵被停用时，疫情已经在减弱，而那张最有名的地图是事后为报告绘制的。但论证的力量在于这张图：读者在读到任何统计数字之前，就看见了源头。这是流行病学诞生的里程碑之一。 南丁格尔的玫瑰图 弗洛伦斯·南丁格尔的东方英军死亡原因图（1858）。每一片是一个月；蓝色面积是可预防疾病造成的死亡，红色是伤亡，黑色是其他原因。Florence Nightingale · Wikimedia Commons · 公有领域 克里米亚战争中，英国护士弗洛伦斯·南丁格尔看到，士兵死于肮脏医院里的疾病，远多于死于战斗中的伤口。1858 年回国后，她必须说服那些不读表格的将军和大臣。她画了一种新的图，形状像一朵玫瑰：每个月是一片，每种颜色的面积与死亡人数成正比。可预防疾病的巨大蓝色斑块，吞没了伤亡的那一小片红色。 数学细节很重要。要让面积与人数成正比，每一片的半径必须与人数的平方根成正比。如果她让半径与人数成正比，糟糕的月份就会显得比实际严重得多。1858 年，南丁格尔成为第一位当选英国皇家统计学会会员的女性。 米纳德与拿破仑的行军 查尔斯·米纳德绘制的 1812 年俄国战役（1869）。带子的宽度是军队的人数：去莫斯科时是米色，返回时是黑色。下方是撤退途中的气温。Charles Minard · Wikimedia Commons · 公有领域 1869 年，法国工程师查尔斯·米纳德画出了拿破仑在俄国的那场灾难性战役。一张纸上容纳了六个变量：带子的宽度（军队的人数，从出发时的 42.2 万人到返回时的 1 万人）、地图上的二维位置、方向（去或回）、气温和日期。统计学家爱德华·塔夫特称它也许是有史以来画得最好的统计图。