来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2024 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答 由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 1 等差数列与等比数列 $n = 4$ 2 走过所有桥的路线（欧拉路径） 32（每个方向 16） 3 含对数绝对值的不等式 $-4 < x < -\frac14$ 或 $\frac14 < x < 4$ 4 正定矩阵 $-1 < b < 1$ 5 关于 $x = 1$ 对称的多项式 $1 \pm \sqrt{3}$ 和 $1 \pm i\sqrt{6}$ 6 立体内最长的线段 $\frac{4\sqrt{161}}{5}$ 7 与 $y$ 轴相切的圆 $(x - 4 - \sqrt{6})^2 + (y - 3 + \sqrt{6})^2 = (4 + \sqrt{6})^2$ 8 顶点在抛物线上的梯形 $\frac{483}{64}$ 9 复数根与面积 $4\sqrt{5}$ 10 半角的正切 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$、$\frac{\sqrt{5}}{5}$ 和 $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ 第 1 题：等比数列前几项之和为 −80？ 题目 设 $(a_n)$ 是等差数列，$(b_n)$ 是等比数列。若 $(a_n)$ 的公差为 $r$（$r \ne 0$），$(b_n)$ 的公比为 $q = 1/r$，$a_1 = b_1 = 4$，且
来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2024 第一阶段共有 60 道选择题，每科 12 道（物理、葡萄牙语、英语、数学、化学）。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 37 至 48。 试卷约定。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$A - B$ 为集合 $A$ 与 $B$ 的差集；$i^2 = -1$； $M_n(\mathbb{R})$ 为 $n \times n$ 实矩阵的集合；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线； $m(\overline{AB})$ 为 $\overline{AB}$ 的长度；$A\hat{B}C$ 为以 $B$ 为顶点的角；$\det A$ 为行列式， $A^T$ 为 $A$ 的转置。 答案一览 题号 内容 答案 37 集合运算 B 38 矩阵方程组 E 39 含反正切的二倍角 A 40 计数：抽屉原理 B 41 多项式：120 个多项式的根之和 D 42 成等比数列的根 C 43 圆柱与等比数列 E 44 多面体：欧拉公式 D 45 平面几何：四边形的面积 C 46 复数：$a^m = b^m$ D 47 解析几何：外角平分线 A 48 包含一个圆的椭圆 C 第 37 题：三个集合恒等式 题目 设 $A, B, C \subseteq \mathbb{R}$，且 $C \subseteq A$。考虑以下命题：