数五可以写成 $5$、$\text{V}$、“五”、five、二进制的 $101$，或者本子上的五道划痕。写法在变，数始终是同一个。到这里为止，没有什么值得惊讶的。 惊讶在于有人问：那么，五这个数到底在哪里？不在纸上，因为纸上只有写法。也不在一堆五个苹果里，因为苹果有颜色、重量和气味，而数一样也没有。从来没有人见过、也永远不会见到“本人”的数五。我们只能看到它的表示。 法国心理学家和哲学家雷蒙·杜瓦尔花了几十年研究人们如何学习数学，他给这个问题起了一个名字： 数学对象不像物理世界的对象那样可以通过感知接触到。我们只能通过表示接触它们。然而，又不能把对象与它的任何一种表示混为一谈。 — 雷蒙·杜瓦尔，论数学的“认知悖论”（2006，意译） 在生物学中，怀疑一张青蛙照片的人，可以到池塘去看看那只青蛙。在数学里，没有池塘。所以学数学在很大程度上就是学会在不同的表示中认出同一个对象，同时不把其中任何一种表示当成对象本身。 一个分数，多种读法 看看 $\frac12$。你看到了什么？一道横线和两个数字？一个除法？一块被掰成两半的巧克力？数轴上 $0$ 和 $1$ 之间的一个点？ 情境 对 $\frac12$ 的读法 一个比萨切成相等的两块 整体中的一部分 一升果汁由两个人平分 商 $1\div2$：每人半升 数轴 $0$ 与 $1$ 正中间的那个数 “30 个学生的一半” 一个算子：乘以 $\frac12$ “每射门两次进一个球” 两个量之间的比 这些读法都对，指的也都是同一个数。但每一种都照亮了它的不同侧面。“整体的一部分”这种读法，要求知道整体是什么：一小块巧克力的一半和一大块巧克力的一半，是同一个分数，却是不同数量的巧克力。 每根长条的一半保持了同样的比例，但数量取决于所选的单位。为本书绘制的教学示意图。 谁来计数，谁来命名 分数各部分的名称本身，就蕴含着一堂符号学课。分母（denominator）来自拉丁文 denominare，“命名”：下面的数说明这是哪一种部分，是二分之几、三分之几还是四分之几。分子（numerator）来自 numerare，“计数”：上面的数说明这样的部分有几个。在 $\frac34$ 中，$4$ 给出名字（四分之），$3$ 来计数（三个）。这和我们说话的方式完全一样：“四分之三”。 分开两者的那道横线也有自己的历史。印度数学家把一个数写在另一个数上面，中间不画线。北非的阿拉伯人大约在十二世纪加上了横线，比萨的列奥纳多正是从他们那里学到的。在 1202 年的《计算之书》中，他给出了本站早期文章喜欢引用的定义： 当任何一个数的上方出现一道横线，横线上方又写了另一个数时，上面的数比下面的数；下面的叫作分母，上面的叫作分子。 — 比萨的列奥纳多，《计算之书》（1202），意译 注意“上面的数比下面的数”：对斐波那契来说，分数已经是一个比，是两个数之间的关系，而不只是一块比萨。斜线 $3/4$ 出现得晚得多。它在 1784 年墨西哥的一份报纸上出现，1845 年英国人奥古斯塔斯·德摩根出于一个实际理由提倡使用它：在印刷的一行文字中，横线迫使排字工排出三行铅字，而斜线一行就够了。省了空间，也失去了一点清晰，我们在讲公式语法的那篇文章里会看到。 同一个数，四种写法 $$\frac12=\frac24=0.5=50\%.$$每种写法各有所长。当比萨被切成四块时，$\frac24$ 最合适。用计算器、或与 $0.48$ 比较时，小数 $0.5$ 最合适。要和别的百分数（比如银行利率）比较时，百分数最合适。选择表示本身就是解题的一部分：“$\frac38$ 和 $0.4$ 哪个大？”这个问题，一旦把两个量写成同一种形式，就变得容易了。