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参考文献、图片来源与全书结语

延伸阅读 Martzloff, Jean-Claude. A History of Chinese Mathematics. Berlin: Springer, 1997. Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony W.-C. The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford: Oxford University Press, 1999. Ifrah, Georges. Histoire universelle des chiffres. Paris: Robert Laffont, 1994. Ascher, Marcia; Ascher, Robert. Code of the Quipu. Ann Arbor: University of Michigan Press, 1981. Alder, Ken. The Measure of All Things: The Seven-Year Odyssey and Hidden Error That Transformed the World. New York: Free Press, 2002. Einstein, Albert. Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. Annalen der Physik, 49, 1916, pp. 769–822. Weil, André. Souvenirs d’apprentissage. Basel: Birkhäuser, 1991. Iverson, Kenneth E. A Programming Language. New York: Wiley, 1962. Iverson, Kenneth E. Notation as a tool of thought. Communications of the ACM, 23(8), 1980, pp. 444–465. Knuth, Donald E. Two notes on notation. American Mathematical Monthly, 99(5), 1992, pp. 403–422. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics. Reading: Addison-Wesley, 1989. 中译本：《具体数学》。 Backus, John et al. The FORTRAN automatic coding system. Proceedings of the Western Joint Computer Conference, 1957, pp. 188–198. Stigler, Stephen M. Stigler’s law of eponymy. Transactions of the New York Academy of Sciences, 39, 1980, pp. 147–157. Carraher, Terezinha N.; Carraher, David W.; Schliemann, Analúcia D. Mathematics in the streets and in schools. British Journal of Developmental Psychology, 3, 1985, pp. 21–29. Carraher, Terezinha N.; Carraher, David W.; Schliemann, Analúcia D. Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1988. D’Ambrosio, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. Gerdes, Paulus. Geometry from Africa: Mathematical and Educational Explorations. Washington: Mathematical Association of America, 1999. Appel, Kenneth; Haken, Wolfgang. Every planar map is four colorable. Illinois Journal of Mathematics, 21, 1977, pp. 429–567. Hales, Thomas et al. A formal proof of the Kepler conjecture. Forum of Mathematics, Pi, 5, 2017, e2. Moura, Leonardo de; Ullrich, Sebastian. The Lean 4 theorem prover and programming language. CADE 28, Springer, 2021. 图片来源 图片 来源 许可 秦九韶《数书九章》中的筹算数字（1247） 维基共享资源 公共领域 《德累斯顿抄本》第 62 页，西尔韦纳斯·莫利复制 维基共享资源 公共领域 利马拉尔科博物馆的印加结绳 维基共享资源 CC BY 2.0，bobistraveling 阿南的十进制时间表盘（约 1793） 维基共享资源 公共领域 1921 年的阿尔伯特·爱因斯坦，费迪南德·施穆策绘 维基共享资源 公共领域 打着 Fortran 语句的穿孔卡片 维基共享资源 公共领域 朱世杰《四元玉鉴》中的三角形（1303） 维基共享资源 公共领域 乌比拉坦·丹布罗西奥接受肯尼斯·O·梅奖章（2001） 维基共享资源 CC BY-SA 4.0，ICHM 用四种颜色着色的地图 维基共享资源 CC BY-SA 3.0，Inductiveload 交互图形（一个数的三种写法和十进制时间）在本站的四种语言中都能使用。所下载图片的记录及每个文件的哈希值，见 data/semiotica_imagens.json。

October 26, 2026 阅读
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记号与文化：指南与术语表

本章把记号当作人、地方和工具的产物来阅读。下面的指南汇集了有助于对任何符号进行这种阅读的问题。 面对一种记号的五个问题 它诞生于什么工具？ 算筹的算板、穿孔卡片、APL 的键盘、黑板。符号的形状常常保留着工具的形状。 哪个群体在用它？ 物理学家、工程师、程序员、集市小贩。同一个字母在每个部落里可以有不同的意思，比如 $\log$ 或 $j$。 它取代了什么，为什么？ 米取代了地方度量，因为商业从中获益；十进制时间什么也没取代，因为谁也得不到好处。 它把谁挡在了外面？ 每一种缩写都向不懂约定的人收取过路费。为众多读者写作的人，至少会把捷径还原一次。 它使什么变得可以思考？ 红筹和黑筹使负数变得可以思考；艾弗森括号把计数变成求和；形式化的书写使机器检验证明成为可能。 对一个符号的完整解读：程序中的等号 考虑超市收银程序中的一行 total = total + price。 工具： 穿孔卡片和 Fortran 的键盘，符号很少，从公式中继承了等号。 群体： 程序员，对他们来说等号的意思是“存入”。对数学家来说，这一行是一个迫使 $\text{price} = 0$ 的方程。 它取代了什么： 收银员逐件商品手工进行的“加上并记下”。 它把谁挡在了外面： 刚刚在学校学到等号表示断言相等的学生。 它使什么变得可以思考： 把名字看作一个随时间变化的盒子，这是一切迭代算法的基础。 术语表 筹算数字。 中国的写数方式，复制自算板，算筹在相邻数位之间纵横交替。 二十进制。 每一位是前一位的二十倍的记数系统，玛雅人使用，有专门表示零的符号。 结绳（quipu）。 印加人用来以十进位值制记录数的一组打结的绳子。 十进制时间。 把一天分成 10 小时、每小时 100 分、每分 100 秒的制度，法国大革命于 1794 年推行，1795 年放弃。 百分度（gon）。 直角为 100 的角度单位。在计算器的 GRAD 模式中保留下来。 爱因斯坦约定。 对一项中出现两次的每个指标默认求和的规则。 下取整与上取整。 $\lfloor x \rfloor$，不大于 $x$ 的最大整数；$\lceil x \rceil$，不小于 $x$ 的最小整数（艾弗森）。 艾弗森括号。 命题 $P$ 为真时 $[P]$ 为 $1$，为假时为 $0$。 赋值。 把一个值存进一个名字的命令：Fortran 和 C 中的 x = x + 1，Algol 和 Pascal 中的 x := x + 1，高德纳的 $x \leftarrow x + 1$。 斯蒂格勒定律。 没有哪项发现以最早发现者的名字命名。斯蒂格勒把它归于默顿。 以人名命名（eponym）。 给定理、公式或对象冠以人名，如“帕斯卡三角形”。 民族数学。 研究各文化群体在学校内外计数、度量和计算方式的领域（丹布罗西奥）。 证明助手。 逐步检验用形式语言写成的证明的程序，如 Coq 和 Lean。 练习：运用指南把问题 1、2 和 5 用于百分号 $\%$。 工具： 这个符号来自意大利商业中对 per cento（每百）的缩写，手写在账簿上，随着时间推移缩成了 $\%$。2. 群体： 先是商人和银行家，然后才是数学家。5. 它使什么变得可以思考： 把分母不同的比例放在同一个标准 $100$ 上比较：$\frac{3}{8}$ 和 $\frac{7}{20}$ 难以比较，$37.5\%$ 和 $35\%$ 则不难。

October 26, 2026 阅读
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定理上的名字：斯蒂格勒定律

定理、公式和数的名字，是记号中几乎没有人质疑的部分。我们写“帕斯卡三角形”、“佩尔方程”、“洛必达法则”，仿佛名字是一个中性的标签。其实不然：名字记录了谁被阅读过，被谁阅读，用的是什么语言。 一条自我证实的定律 1980 年，美国统计学家斯蒂芬·斯蒂格勒发表了一篇文章，提出一条挑衅性的定律：没有哪项科学发现是以其最早发现者的名字命名的。为了圆满，他把这条定律归功于社会学家罗伯特·K·默顿，后者早已研究过这一现象。于是，斯蒂格勒的命名定律本身就是它自己的一个例子。它有些夸张，但正确的频率高得令人不安。 有许多名字的三角形 每个数都是上面两个数之和的那个数字三角形，冠的是布莱兹·帕斯卡的名字，他在 1654 年写过一篇关于它的论文。但它早已出现在约公元 1000 年的波斯人卡拉吉和欧玛尔·海亚姆的书中；出现在 10 世纪印度的哈拉尤达的注释里；而在中国，数学家杨辉于 1261 年发表了它，并归功于两个世纪前的贾宪。在中国，它至今仍叫杨辉三角；在意大利，叫塔尔塔利亚三角形；在伊朗，叫海亚姆三角形。 朱世杰《四元玉鉴》（1303）中的三角形，标题为“古法七乘方图”。数用筹算数字写出，一直到第八行。朱世杰 · 维基共享资源 · 公共领域 上面朱世杰的三角形比帕斯卡早了 350 年，而且请注意，其中的数是用本章第一篇中的算筹写的。“帕斯卡的”这个名字说的不是谁最早看到它，而是说：传到世界各地学校里的数学是欧洲的，欧洲人读帕斯卡在先，读杨辉在后。 什么都没做的佩尔 寻求整数解的方程 $x^2 - N y^2 = 1$ 叫做佩尔方程。英国人约翰·佩尔和它几乎没有关系。印度人婆罗摩笈多在 628 年研究过它，找到了组合解的法则；婆什迦罗第二在 1150 年左右给出了能解所有情形的方法，即环法（chakravala）。在欧洲，费马在 1657 年把它作为挑战提出，威廉·布龙克尔解决了它。是欧拉把佩尔和布龙克尔弄混了，起错了名字，而这个名字就此流传下来。 买来的法则 通过对分子和分母求导来计算 $\frac{0}{0}$ 型极限的法则，冠的是洛必达侯爵的名字，他在 1696 年把它发表在第一本微分学教科书里。但这个结果是他的私人教师约翰·伯努利的。1694 年，两人达成了一项协议：洛必达每年付给伯努利一笔年金，作为交换，他得到伯努利的发现，可以随意使用。在这里，记号记录的是一份合同。 斐波那契的兔子和印度的诗人 数列 $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$ 冠的是斐波那契的名字，他在 1202 年的一道兔子问题中用到了它。几个世纪以前，维拉汉卡以及后来的赫马钱德拉等印度诗人和语法学家，在计算用长短音节组成一行诗有多少种方式时，就已经发现了它。问题关乎节奏，而不是兔子。 现在改名是不可能的，甚至也未必可取：名字是符号的一部分，改了会造成混乱。但知道名字从何而来，会改变它们所教给我们的东西。一个有许多名字的三角形，也在告诉我们：数学是在许多地方创造的。 练习：朱世杰的最后一行朱世杰三角形的最后一行给出 $(a+b)^8$ 的系数。把它写出来，并检验其和。 $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$。和为 $256 = 2^8$，每一行都是如此：令 $a = b = 1$，$(1+1)^8 = 2^8$。在图中找到最后一行正中的 $70$：十位上的 $7$ 用的是算筹的横式，一根代表五的纵筹加两根横筹。

October 26, 2026 阅读
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别样的书写，别样的数学：算筹、点和结

我们今天写数的方式之所以显得自然，是因为它是我们唯一学过的方式。但其他文化用不同的办法解决了同一个问题——写下数量并用它们计算——而每一种解法，都在这些文化能够思考的东西上留下了印记。 中国的算筹 将近两千年里，中国的数学家用算筹计算：竹、骨或金属做的小棍，摆在分成一列列的算板上。每一列是一个十进位，1 到 5 的数字用同样多根算筹摆出；6 到 9 则用一根代表五的算筹再加几根。为了不让相邻的列混淆，算筹的摆法交替变换：个位纵摆，十位横摆，百位又纵摆。 秦九韶《数书九章》（1247）中用筹算数字写出的一道计算。空位已经用一个小圆圈标出，也就是零。秦九韶 · 维基共享资源 · 公共领域 算筹记数法是一种工具的记号：它复制了算板。空位就是没有算筹的一列；当数被搬到纸上，空位变成了空格，到 13 世纪又变成了一个小圆圈，就像上面那一页。 而且算筹有颜色。大约成书于公元前后的《九章算术》教人用“正”数和“负”数解方程组，注释者刘徽在 263 年解释说，一种用红筹，另一种用黑筹，并有加减它们的法则。在欧洲，一千多年以后负数还被称为“荒谬的数”。一种有两种颜色的工具，使欧洲那只用一种墨水的书写迟迟不肯接受的东西变得可以思考。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 玛雅的点和横 中美洲的玛雅人以二十为单位计数。一个点代表一，一条横代表五，1 到 19 的数字最多用三条横和四个点表示。数位自下而上叠放，空位有一个专门的符号，像一枚贝壳：一个位值的零，在 4 世纪的铭文中已在使用，与印度的零彼此独立。 《德累斯顿抄本》第 62 页，这是少数留存下来的玛雅书籍之一，此为西尔韦纳斯·莫利的复制本。数用点和横写成，有黑有红，夹在蛇形图案之间。Sylvanus Morley · 维基共享资源 · 公共领域 在历法计算中，第三位不是 $20 \cdot 20 = 400$，而是 $18 \cdot 20 = 360$，接近一年的天数。这套记号为天文和祭祀服务：掌握它的祭司能提前几百年算出日食和金星的周期。 印加人的结 印加人没有字母文字，但有结绳（quipu）：挂在一根主绳上的许多细绳，在不同高度上打着结。1923 年，美国人利兰·洛克证明，许多结绳以十进位值制记录数：结在细绳上的高度表示数位（个位在下，十位在上，依此类推），结的类型表示数字。制作和解读结绳的专家，即 quipucamayoc，用它们保存整个帝国的人口普查、贡赋和仓储。 利马拉尔科博物馆收藏的一件印加结绳。每根垂下的细绳都用结的位置和类型保存着一个数。bobistraveling · 维基共享资源 · CC BY 2.0 留下来的六十进制 最后，最古老的位值书写——巴比伦人的书写——在我们的书写里活了下来。他们用六十进制计数，所以一小时有 60 分钟，一分钟有 60 秒，一度有 60 角分。当我们说 $1\text{ h } 23\text{ min } 45\text{ s}$ 时，我们写的是一个三位的六十进制数。

October 26, 2026 阅读