对数把乘法变成加法：要把两个数相乘，就把它们的对数相加，再变回来。拉普拉斯变换对微分方程做了类似的事：把导数换成乘法。先解一个代数方程，再变回来。 起源 拉普拉斯是通过概率得到这个想法的。在 1812 年的《概率的解析理论》中，他用母函数来组织计算：不直接处理一串概率，而是处理一个把它们全部储存起来的函数。这个想法的连续版本是一个积分，欧拉早先用过，但拉普拉斯对它做了系统的探索： $$F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.$$每个函数 $f(t)$ 都变成一个新函数 $F(s)$，即它的拉普拉斯变换，记作 $\mathcal{L}\{f\}$。 几个例子 对常数 $f(t) = 1$： $$\mathcal{L}\{1\} = \int_0^{\infty} e^{-st}\,dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s} \quad (s > 0).$$对指数函数 $f(t) = e^{at}$，两个指数合并： $$\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t}\,dt = \frac{1}{s-a} \quad (s > a).$$导数变成乘法 使变换有用的性质来自一次分部积分： $$\mathcal{L}\{f'\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f'(t)\,dt = \Big[e^{-st}f(t)\Big]_0^{\infty} + s\int_0^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt = sF(s) - f(0).$$对 $f$ 求导，相当于把 $F$ 乘以 $s$（再减去初始值）。微分方程变成代数方程，而初始值已经包含在计算里了。 一个电路 在一个由电阻和电容组成、接在电池上的电路中，电容两端的电压 $y(t)$ 在适当的单位下满足 $$y' + y = 1, \qquad y(0) = 0.$$对两边做变换：$sY - 0 + Y = \frac{1}{s}$，即