来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2025 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布解答题的官方解答（第二阶段的官方 答案只涉及葡萄牙语选择题）；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个 公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 1 除以 $x^2 - x + 1$ 的余式 $a = -1$，$b = 3$ 2 椭圆：$y/x$ 的最大值 $r = \sqrt{3}$ 3 三角方程组 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$ 4 旁切圆 $15\sqrt{3}$ 5 $3^{100}$ 的首位数字 5 6 概率：第 $n$ 次抛出第四个正面 $n = 6$ 和 $n = 7$ 7 有二重根的多项式与直角三角形 $a = \pm\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$，$b = \mp\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ 8 行列式之和 1013 9 满足 $A^{-1} = A^T$ 的整数矩阵 3840 10 立方体沿体对角线方向的投影 $4\sqrt{3}$ 第 1 题：除以 x² − x + 1 的余式 题目 求实数 $a$、$b$，使多项式 $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$ 除以 $x^2 - x + 1$ 的余式为 $2x + 1$。
来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2025 第一阶段共有 48 道选择题：数学 12 道、物理 12 道、化学 12 道、英语 12 道。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 1 至 12。 试卷约定。 横轴和纵轴记作 $O_x$ 和 $O_y$，$O$ 为原点；$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$； $i^2 = -1$；$\overline{AB}$ 为线段，$AB$ 为过 $A$、$B$ 的直线。 答案一览 题号 内容 答案 1 复数：三角形 $1$、$z$、$z^2$ 的面积 B 2 多面体：是否存在 E 3 二项式定理：常数项 C 4 函数：单射与满射 D 5 数列、等差数列与等比数列 D 6 含参数的指数方程 B 7 同解的线性方程组 A 8 三角函数的定义域 E 9 旋转体 作废 10 两个多项式的公共根 D 11 共焦点的椭圆与双曲线 A 12 约数的个数 C 第 1 题：以 1、z、z² 为顶点的三角形 题目 设复数 $z = a + 2i$，其中 $a \in \mathbb{R}$ 为正数。使 $1$、$z$、$z^2$ 在复平面上对应的点构成 面积为 200 的三角形的 $a$ 的值为