我们来推导计算任意两个实数$a$和$b$的和$(a + b)$与差$(a - b)$的三角函数的公式，称为$a$和$b$的循环函数。 故事 节点 天文学大成, 托勒密 证明，在内接四边形中，对角线的乘积等于对边乘积之和—— 托勒密定理。应用于边长等于直径的四边形时，它精确地给出了两条弧的和与差的弦公式，托勒密用它来组装他的半度数表。波斯天文学家的公式以正弦形式出现 阿布·瓦法 （十世纪），我们在第二章中已经知道了。我们将要做的演示——基于两点之间的距离——使用笛卡尔的解析几何，并且是更新的。 托勒密如何计算 1° 的弦 利用正多边形以及和、差和半公式，托勒密可以达到 $72^\circ$、$60^\circ$、$12^\circ$、$6^\circ$、$3^\circ$、$1\frac{1}{2}^\circ$ 和 $\frac{3}{4}^\circ$ 的弦，但不能达到 $1^\circ$ 的弦，因为不可能将一个角分成三部分：尺子和指南针。结果是不等式：对于小弓，弦的生长速度比弓慢一点，所以 $$\tfrac{2}{3}\,\text{crd}\,1\tfrac{1}{2}^\circ < \text{crd}\,1^\circ < \tfrac{4}{3}\,\text{crd}\,\tfrac{3}{4}^\circ.$$根据60计算，在半径为60的圆内，两个极值重合达到表格精度：$1;2,50$，即$1 + \frac{2}{60} + \frac{50}{3600} \approx 1{,}04722$。现代值为 $120\operatorname{sen} 0{,}5^\circ \approx 1{,}04718$。 克劳狄斯·托勒密（Claudius Ptolemy，c. 100–170），后来的艺术表现，带有浑天仪。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 托勒密定理：在内接四边形中，对角线的乘积是对边乘积之和。拖动顶点；然后将 $AD$ 放在直径上。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.