$1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$ 等于多少？这样分组，$(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots = 0$；那样分组，$1 - (1 - 1) - (1 - 1) - \cdots = 1$。欧拉和莱布尼茨认为“正确”的答案是 $\frac{1}{2}$，即两者的平均。在十八世纪，人们随意地处理这样的和，这种习惯有时会导致荒谬的结果。 部分和 在《分析教程》第 6 章，柯西从根本上解决了这个问题。级数 $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots$ 有部分和 $$s_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}.$$如果当 $n$ 增大时 $s_n$ 趋近于一个极限 $s$，级数就是收敛的，$s$ 就是它的和。否则级数是发散的，用柯西的话说，它“没有和”。对于 $1 - 1 + 1 - \cdots$，部分和永远在 1 和 0 之间跳来跳去：它没有和，既不是 $\frac{1}{2}$，也不是别的什么。