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マリア・ガエターナ・アニェージの生涯

年表 17185 月 16 日、ミラノに生まれる。裕福な絹商人ピエトロ・アニェージの 21 人の子の第一子。 1727九歳で、女性の学問を擁護する演説をラテン語で暗唱する。 1738父の家の集まりで弁護した哲学と自然科学の 191 の命題をまとめた『哲学命題集』を出版する。 1739修道院に入りたいと父に願い出るが、断られる。 1748女帝マリア・テレジアにささげた『解析教程』第一巻を出版する。第二巻は 1749 年に出る。 1750教皇ベネディクトゥス十四世が彼女をボローニャ大学の数学の講座に任命する。彼女は一度もボローニャへ行かない。 1752父が亡くなる。アニェージは数学を離れ、貧しく病気の女性たちの世話を始める。 1771ミラノに貧しい老人のための救護院ピオ・アルベルゴ・トリヴルツィオが開かれる。アニェージは女性棟の運営をまかされる。 17991 月 9 日、救護院で亡くなり、共同墓穴に葬られる。 サロンの少女 マリア・ガエターナ・アニェージは 1718 年 5 月 16 日、ミラノに生まれた。この町は当時、ウィーンのハプスブルク家が治める公国の首都だった。父ピエトロ・アニェージは絹の商いで財をなし、一家がミラノの社交界で地位を上げることを望んでいた。彼は三度結婚し、21 人の子をもうけた。マリア・ガエターナはその最初の子である。 ピエトロは、娘が並はずれてやすやすと物事を覚えることにすぐ気づき、町でいちばんの教師たちを雇った。十一歳になる前に、マリア・ガエターナはイタリア語のほか、フランス語、ラテン語、ギリシア語、ヘブライ語、ドイツ語、スペイン語を話し、訪問客から「七つの言葉の神託」と呼ばれた。ピエトロは家の集まりで娘を披露するようになった。学者、貴族、外国の旅行者が哲学、物理学、数学の質問をし、彼女はそれぞれの相手の言葉で答えた。妹のマリア・テレーザはそうした夜にチェンバロを弾き、のちに作曲家になった。 地球儀をかたわらに置いて机に向かうアニェージ。ジャン・フランソワ・ボジオの素描で、ニューヨークのメトロポリタン美術館が所蔵する。Jean François Bozio · Wikimedia Commons · CC0 1727 年、九歳の彼女はそうした集まりのひとつで、長いラテン語の演説を暗唱した。教師のひとりがイタリア語で書き、それを彼女がラテン語に訳したもので、女性にも男性と同じように学ぶ権利があると主張していた。1738 年には『哲学命題集』を出版した。客の前で弁護した、論理学、力学、天文学、化学、植物学、鉱物学にわたる 191 の命題の一覧である。 訪問客のひとり、フランスの司法官シャルル・ド・ブロスは 1739 年にアニェージ家を訪れ、記録を残している。彼が会ったのは二十歳の娘で、ラテン語で物理学と幾何学の問題を論じ、こうした場で見せ物にされるのは好きではないと打ち明けたという。 かなわなかった修道院 伝記作者たちによれば、マリア・ガエターナが修道院に入りたいと父に願い出たのは、このころのことである。年下のきょうだいの教育も家の名声も彼女に頼っていたピエトロは、これを断った。二人は取り決めをした。彼女は家にとどまるが、質素な服を着て、いつでも教会へ行き、宴会やサロンから身を引いてよい、というものである。 披露の場から解放されたアニェージは、数学に向かった。導き手となったのは、新しい微積分をよく知るオリヴェト会の修道士で数学者のラミロ・ランピネッリである。十年近くのあいだ、彼女は弟たちに、さらには広くイタリアの若者に解析を教えるための本に取り組んだ。 本 『イタリアの若者のための解析教程』（Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana）は、ミラノで 1748 年（第一巻）と 1749 年（第二巻）に出た。数式の組版を間近で見守れるよう、本はアニェージ家のなかに設けた印刷所で刷られた。本は女帝マリア・テレジアにささげられ、女帝は礼として手紙とダイヤモンドの指輪、ダイヤモンドをちりばめた水晶の小箱を贈った。 『解析教程』第一巻の扉、ミラノ、1748 年。アニェージはボローニャ科学アカデミーの会員として記されている。Maria Gaetana Agnesi · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 成功はすぐに訪れた。1749 年、パリ科学アカデミーの委員会がこの著作を審査し、この種の論考のなかでもっとも完全で、もっともよく構成されたものだと評した。本に何が書かれていたかは、『解析教程』で紹介する。

October 28, 2026 読んだ
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アニェージの曲線

自分の名がついた曲線を、アニェージが発見したわけではない。しかしこの曲線が知られるようになったのは彼女の本を通じてだった。彼女はこれを、幾何学的な作図から方程式へ移る方法の例として使った。それこそがデカルトの新しい方法の約束していたことである。 作図 直径 $OM = a$ の円を、$O$ を下、$M$ を上にして描き、$M$ で円に接する直線を引く。そして 接線の上に任意の点 $N$ をとる。 直線 $ON$ を引く。これは円と点 $A$ で交わる。 曲線の点 $P$ は、$N$ を通る縦の線と、$A$ を通る横の線の上にある。 $N$ を接線にそって動かすと、点 $P$ は釣鐘の形の曲線をえがく。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 方程式 $O$ を原点におき、$y$ 軸を直径にそってとる。円の中心は $\left(0, \frac{a}{2}\right)$、半径は $\frac{a}{2}$ だから $$x^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 = ay.$$$M$ での接線は直線 $y = a$ で、点 $N$ は $(n, a)$ である。直線 $ON$ 上の点は $(tn, ta)$ の形をしている。円の方程式に代入すると

October 28, 2026 読んだ
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『解析教程』

十八世紀の半ば、微積分を学ぼうとする人はひとつの問題にぶつかった。ニュートンとライプニッツの発明はまだ七十年しかたっておらず、その成果は学術誌の論文や手紙、ラテン語やフランス語や英語で書かれた本のなかに、ばらばらの記法で散らばっていた。唯一有名な教科書、ロピタル侯爵の 1696 年の『無限小解析』は、微分法しか扱っていなかった。学生を代数から微分方程式まで一歩ずつ導いてくれる本はなかったのである。 アニェージの『解析教程』こそが、その本だった。 二巻四部 全体はおよそ千ページあり、四つの部に分かれている。 有限量の解析（第 I 巻、1748 年）：代数、方程式の解法、解析幾何、円錐曲線とそのほかの曲線、そして「方程式の作図」、すなわち図形を使って方程式を解く方法。ヴェルシエラが登場するのはここである。 微分法（第 II 巻、1749 年）：導関数、接線、極大、極小、変曲点。 積分法：積分、面積、体積、曲線の長さ、級数。曲線の下の面積を参照。 接線の逆方法：今日微分方程式と呼ばれるもの。 アニェージは自分の発見を発表しようとしたのではない。この本の価値は構成にある。どの主題も、それが依存する事柄のあとに置かれ、どの方法にも解いてみせた例がたくさんついている。そして微積分はすべて、$dx$ と $\int$ を使うライプニッツの記法で書かれている。のちにもっとも実用的だとわかる記法である。 マリア・ガエターナ・アニェージ。マリア・ロンギの素描にもとづくエルネスタ・レニャーニ・ビージのビュラン版画、1812 年。Ernesta Legnani Bisi、Maria Longhi による · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 定規とコンパスで方程式を解く 本のなかでもっとも古い部分は、いまでは消えてしまった当時の習慣を伝えている。方程式を計算で解くだけでなく、数学者たちは解を作図すること、つまり線分として描くことを好んだのである。 いちばん簡単な例は方程式 $x^2 = ab$ で、$a$ と $b$ は与えられた線分である。$a$ と $b$ を一直線上につなげて置き、全体の線分 $a + b$ を直径とする半円を描く。$a$ と $b$ の境目の点から半円まで垂線を立てる。この垂線の長さ $h$ が方程式の解で、$h^2 = ab$ となる。 なぜだろうか。直径の両端と半円上の点がつくる三角形は直角三角形である（半円に内接しているから）。そして直角三角形の高さは斜辺を二つに分け、その二つの長さの積は高さの二乗に等しい。アニェージはもっとずっと複雑な場合、たとえば二つの円錐曲線の交わりで作図する三次や四次の方程式も扱っている。 異例の反響 1749 年、パリ科学アカデミーの委員会がこの本を審査し、この主題についてこれまでに書かれたなかでもっとも完全で、もっともよく構成された論考だと判断した。第二巻は 1775 年にシャルル・ボシュの補足つきでフランス語に訳された。ケンブリッジの教授ジョン・コルソンによる英訳は 1801 年に出た。 なぜイタリア語なのか 当時、本格的な数学の本はラテン語かフランス語で書かれていた。アニェージがイタリア語で書いたのは、題名のとおり、この本が ad uso della gioventù italiana、イタリアの若者が使うためのものだったからである。彼女自身は子どものころからラテン語を自在に使えた。この選択によって、本はイタリア語の科学用語の歴史に残る里程標となったが、翻訳が出るまで、イタリアの外への広がりは限られた。

October 28, 2026 読んだ
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極大、極小、変曲点

『解析教程』の第二部は微分法にあてられており、その主な応用のひとつは、学生なら誰もが学ぶ極大と極小の求め方である。アニェージは曲線や幾何の問題の例を何十もあげてこの方法を教えるが、手順はいつも同じだ。量を式に書き、微分し、微分をゼロとおき、確かめる。 いちばん高い点 極大や極小の点では、曲線は一瞬だけ水平になる。接線の傾きがゼロになるのである。接線の傾きは導関数だから、極大と極小の候補は $y' = 0$ となる点である。 $a = 1$ のアニェージの曲線では $y = \frac{1}{1 + x^2} = (1 + x^2)^{-1}$ である。合成関数の微分法により $$y' = -(1 + x^2)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2}.$$導関数がゼロになるのは $x = 0$ だけである。$x < 0$ では正（曲線は上がる）、$x > 0$ では負（曲線は下がる）。したがって $x = 0$ が極大で、$y = 1$ である。 曲がり方が変わるところ 頂上の近くでは、ヴェルシエラはふたのように下向きに曲がっている。頂上から離れ、軸に近づくところでは、おわんのように上向きに曲がっている。曲がる向きが変わる点を変曲点という。アニェージは当時の数学者たちと同じく、二階の微分を使って変曲点を見つけた。$y''$ の符号が変わるところで、曲がる向きが変わるのである。 商の微分法で $y'$ を微分すると $$\begin{aligned} y'' &= \frac{-2(1 + x^2)^2 + 2x \cdot 2(1 + x^2) \cdot 2x}{(1 + x^2)^4} \\ &= \frac{-2(1 + x^2) + 8x^2}{(1 + x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1 + x^2)^3}. \end{aligned}$$分母はつねに正だから、符号は $6x^2 - 2$ の符号で決まり、これは次の点でゼロになる。

October 29, 2026 読んだ
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曲線の下の面積と π

『解析教程』の第三部は積分法、つまり曲線の下の面積、体積、長さを扱う。ヴェルシエラは驚くべき例を与えてくれる。この曲線は $x$ 軸にけっして触れず、左右に果てしなく延びている。それなのに、曲線と軸のあいだの領域の面積は有限なのである。 おなじみの原始関数 $a = 1$ とすると、曲線は $y = \frac{1}{1 + x^2}$ である。導関数が $\frac{1}{1 + x^2}$ になる関数が必要だ。それは存在し、しかも古なじみである。逆正接だ。$u = \arctan x$ とすれば $x = \tan u$ で $$\begin{aligned} \frac{dx}{du} &= \frac{1}{\cos^2 u} = 1 + \tan^2 u = 1 + x^2 \\ &\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}. \end{aligned}$$よって $-X$ から $X$ までの面積は $$\int_{-X}^{X} \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan X - \arctan(-X) = 2\arctan X.$$$X$ を限りなく大きくすると $\arctan X$ は $\frac{\pi}{2}$ に近づき、面積全体は

October 29, 2026 読んだ
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接線の逆問題

微分法はひとつの問いに答える。曲線が与えられたとき、各点での接線は何か。十七世紀の数学者たちは、逆の問いのほうが難しく、しかも役に立つことにすぐ気づいた。接線がもつべき性質が与えられたとき、曲線は何か。この問題は接線の逆方法と呼ばれ、『解析教程』の第四部、最後の部の主題になっている。今日ではこれを微分方程式を解くという。 1638 年の問題 この種の問題の最初期のひとつは、1638 年にフランスの法律家で数学愛好家のフロリモン・ド・ボーヌがルネ・デカルトに出したものである。デカルトはそれを完全には解けなかった。解決したのは 1684 年、ライプニッツが微積分についての最初の論文を発表し、求める曲線が対数にかかわることを示したときだった。新しい方法が、古い幾何学の届かない問題を解けることの証明だった。 一定の接線影 当時の教科書によく見られる古典的な例に、接線影を使うものがある。曲線上の点 $(x, y)$ で接線を引き、$x$ 軸と交わるところまで延ばす。接線影とは、その交点と縦座標の足とのあいだの水平距離である。その距離のあいだに接線は $y$ だけ上がるから、傾きは $y' = \frac{y}{s}$、すなわち $$s = \frac{y}{y'}.$$接線影がどの点でも一定で $k$ に等しい曲線は何か。条件は $y' = \frac{y}{k}$ である。変数を分離する、つまり $y$ にかかわるものを一方に、$x$ にかかわるものを他方に集めると $$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{k} \quad\Longrightarrow\quad \ln y = \frac{x}{k} + C \quad\Longrightarrow\quad y = A\,e^{x/k}.$$接線影が一定の曲線は指数関数であり、当時は「対数曲線」と呼ばれていた。 ヴェルシエラも解である アニェージの曲線そのものも、ある微分方程式の解になっている。$a = 1$ で $y = \frac{1}{1 + x^2}$ とすると、導関数は $$y' = -\frac{2x}{(1 + x^2)^2} = -2x \cdot \left(\frac{1}{1 + x^2}\right)^2 = -2x\,y^2.$$つまりヴェルシエラは、各点での接線の傾きが高さの二乗の $-2x$ 倍になる曲線なのである。下の練習では逆にたどり、この性質から出発して曲線を取りもどす。

October 29, 2026 読んだ
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統計学のなかの魔女：コーシー分布

1799 年に亡くなったアニェージは、自分の曲線が幾何学から遠く離れたところで第二の人生を送るとは思いもしなかっただろう。十九世紀、この曲線は確率論のなかに、統計学でもっとも油断のならない例のひとつとして再び現れた。 確率密度 曲線の下の面積で見たように、$y = \frac{1}{1 + x^2}$ の下の面積全体は $\pi$ である。$\pi$ で割ると面積は 1 になり、曲線は確率密度になる。 $$f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}.$$これがコーシー分布である。一回の抽出が $c$ と $d$ のあいだに入る確率は、その区間での曲線の下の面積 $\frac{1}{\pi}(\arctan d - \arctan c)$ に等しい。描いてみると正規曲線によく似ている。ゼロを中心とする左右対称の釣鐘である。違いはすそにある。正規分布は $e^{-x^2/2}$ のように減り、その速さのせいで巨大な値はほとんど出てこない。アニェージの曲線は $\frac{1}{x^2}$ のようにしか減らない。 存在しない平均 この違いが驚くべき結果を生む。分布の平均は $x\,f(x)$ の積分である。コーシー分布では、正の側の積分は $$\int_0^{X} \frac{x}{\pi(1 + x^2)}\,dx = \frac{1}{2\pi}\ln(1 + X^2)$$で、$X$ が大きくなると限りなく大きくなる。負の側も反対向きに同じことになり、計算は「無限大ひく無限大」になる。この分布には平均がないのである。分散もない。 実際には、何回抽出してもその平均が落ち着かないということだ。平均と分散が有限であることを必要とする大数の法則も中心極限定理も、ここではまったく使えない。さらに悪いことに、$n$ 回のコーシー抽出の平均は、一回の抽出とまったく同じ分布をもつことが証明できる。データを集めても何の助けにもならないのである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 一方、中央値はとてもよく機能する。面積の半分はゼロの左に、半分は右にあり、多くの抽出の中央値はゼロに近づく。だから統計学者はアニェージの曲線を警告として使う。平均を計算する前に、データのすそが軽いか重いかを知っておくべきだ、というわけである。 ポアソン、コーシー、そして物理学 この問題に最初に気づいたのはシメオン＝ドニ・ポアソンで、1824 年にこの分布をラプラスの誤差論への反例として使った。名前は、1853 年にイレネ＝ジュール・ビエネメと最小二乗法をめぐって論争したときにこれを論じた、オーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する。 物理学では、同じ曲線がヘンドリック・ローレンツにちなんだローレンツ型という別の名前で現れる。原子や分子のスペクトル線の形、共鳴の近くでの振動子の応答、そして素粒子物理学では不安定な粒子を示すピークの形（ブライト＝ウィグナーの公式）を表す。何かが振動しながら少しずつエネルギーを失うところでは、アニェージの魔女が顔を出しやすいのである。 浜辺の灯台 コーシー分布がどこから現れうるかを示す古典的な例がある。まっすぐな浜辺から 1 km のところに灯台があり、回転しながら、どの角度も同じ確率で、でたらめな方向に光のパルスを出す。浜辺に届いたパルスの着地点は、ちょうどコーシー分布に従う。角度が 90° に近づくと、パルスは浜辺のはるか遠くに届く。平均が存在しないのは、こうしたまれな遠い点のせいである。 練習：四分位点コーシー分布からの一回の抽出が $-1$ と $1$ のあいだに入る確率はいくらか。 $\frac{1}{\pi}(\arctan 1 - \arctan(-1)) = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$。抽出の半分が $-1$ と $1$ のあいだに入る。これが分布の四分位点である。標準正規分布では、半分が $-0.674$ と $0.674$ のあいだに入る。コーシー分布は中央でもいくらか「広がって」おり、すそではずっと広がっている。

October 29, 2026 読んだ
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大学のなかの女性：1727 年の演説とボローニャの講座

Oratio qua ostenditur artium liberalium studia a femineo sexu neutiquam abhorrere. — アニェージの演説の題、1727 年 このラテン語の文は「自由学芸の学問が女性にけっしてふさわしくないものではないことを示す演説」という意味である。1727 年、父の客の前でこれを暗唱したとき、アニェージは九歳だった。原稿は教師のひとりがイタリア語で書いたもので、彼女がそれをラテン語に訳して暗記した。 自由学芸 「自由学芸」とは、中世以来、高等教育の土台をなしてきた科目である。一方に文法、修辞学、論理学、他方に算術、幾何学、天文学、音楽があった。それは大学の科目であり、大学は男のためのものだった。1727 年の演説は、女性の本性のなかにそれを学ぶことをさまたげるものは何もないと主張し、古代や近い時代の学識ある女性たちを例にあげた。 わずかな例外 十八世紀のイタリアでは、何人かの女性が壁を破ることに成功していた。1678 年、エレナ・コルナーロ・ピスコピアがパドヴァで哲学の博士号を受けた。女性に与えられた最初の博士号である。1732 年にはボローニャ大学が二十歳のラウラ・バッシに博士号を与え、まもなく自然哲学の講座も与えた。彼女はのちに、イタリアでニュートン物理学を広めた代表的な人物のひとりになる。 イタリアの外では、フランスのエミリー・デュ・シャトレが 1740 年に『物理学教程』（Institutions de physique）を出版した。題がアニェージの Instituzioni と似ているのは偶然ではない。どちらの本も教科書をめざしていたのである。彼女は晩年をニュートンの『プリンキピア』のフランス語訳にささげ、その訳はいまも使われている。 教皇ベネディクトゥス十四世の発意によるマリア・ガエターナ・アニェージの任命を記録した、1750 年のボローニャ大学の文書。ボローニャ大学 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 教皇と講座 ボローニャには強力な味方がいた。この町の大司教プロスペロ・ランベルティーニは 1740 年にベネディクトゥス十四世として教皇に選ばれ、その後も大学とその科学研究所を守りつづけた。ラウラ・バッシを支えたのも彼であり、1750 年に『解析教程』を読んだあと、アニェージを数学の講座に任命したのも彼だった。 アニェージは礼を述べて称号を受けたが、教えるためにミラノを離れることは一度もなかった。任命はひとつの栄誉として、およそ 45 年のあいだ大学の記録に残った。多くの歴史家にとって、このできごとは承認とその限界を同時に示している。女性が講座という栄誉を受けることはできても、若い男たちでいっぱいの教室に彼女が本当に立つとは、誰も思っていなかったのである。 受け入れられなかったアカデミー 同じころ、パリとロンドンの科学アカデミーは女性を会員として認めていなかった。科学研究所と結びついたボローニャ科学アカデミーは、すでにラウラ・バッシを迎えており、アニェージも会員にした。『解析教程』の扉には、彼女がその会員として記されている。パリ科学アカデミーに初めて女性が選ばれたのは 1979 年、イヴォンヌ・ショケ＝ブリュアのときで、二百年以上もあとのことだった。 練習：ローマ数字の年『解析教程』の扉には MDCCXLVIII という年が記されている。何年か。また、アニェージが亡くなった 1799 年はどう書くか。 M = 1000、D = 500、CC = 200、XL = 40（50 の前に 10）、VIII = 8。合計は $1000 + 500 + 200 + 40 + 8 = 1748$ である。1799 年は M（1000）+ DCC（700）+ XC（90）+ IX（9）= MDCCXCIX となる。

October 29, 2026 読んだ
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マリア・ガエターナ・アニェージの遺産

長いあいだ、アニェージは彼女のしたこととはあまり関係のない二つのかたちで記憶されてきた。英語圏の数学者にとっては、魔女というあだ名の曲線の名前だった。ミラノの人びとにとっては、若いころに難しい本を書いた慈善の聖女だった。どちらの像も、十八世紀でもっとも影響力のあった数学書のひとつの著者を覆い隠していた。 本 何十年ものあいだ、『解析教程』はヨーロッパで手に入るもっとも完全な微積分の教程だった。イタリアでは何世代もの学生がこれを使った。1775 年の第二巻のフランス語訳と 1801 年のジョン・コルソンの英訳は、本をほかの読者のもとへ運んだ。代数から曲線へ、導関数から積分と微分方程式へというアニェージの選んだ順序は、いまの微積分の授業の順序とほとんど変わらない。 曲線 アニェージの曲線は、思いもよらないところに現れつづけている。 統計学ではコーシー分布として。平均をもたない分布の古典的な例である。 物理学ではローレンツ型の曲線として。スペクトル線や共鳴の形である。 数値解析ではルンゲの関数 $\frac{1}{1 + 25x^2}$ として。1901 年、カール・ルンゲは、この関数を等間隔の点を通る多項式で近似すると、点をふやすほど両端近くの誤差がかえって大きくなることを示した。数値計算法の授業ならどこでも警告として教える「ルンゲ現象」である。 地理学と気象学では、丘の断面の簡単なモデルとして。山を越えて吹く風の研究に使われる。 ミラノのブレラ宮の中庭、アーケードの下にあるマリア・ガエターナ・アニェージの胸像。Giovanni Dall’Orto · Wikimedia Commons · クレジット表示 名前 小惑星 16765 Agnesi と金星のクレーターが彼女の名をもっている。ミラノには彼女の名がついた通りや学校があり、ブレラ宮の中庭には胸像が、記念墓地のファメディオには横顔の像が、亡くなった場所には銘板がある。 マリア・ガエターナ・アニェージが 1799 年に亡くなった場所にある、彼女をしのぶミラノの銘板。Bramfab · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 神の数学者 ここ数十年、マッシモ・マッツォッティやポーラ・フィンドレンのような歴史家が、アニェージの世界、つまりカトリックでありながら啓蒙の空気にふれた十八世紀のミラノを再構成し、数学と慈善が二つの別々の人生ではなかったことを示した。アニェージにとって、幾何学を学ぶことは神へと導く理性をきたえる方法であり、貧しい人びとに仕えることは同じ信仰の帰結だった。マッツォッティの本の副題が、この読み方を要約している。アニェージ、神の数学者。 今日微積分を学ぶ人に残されているのは、三十歳で、自分が学んでいたときにあってほしかった本を書き、しかもそれをあまりにみごとに書いたので、ヨーロッパじゅうの数学者が教えるのに使った、という人物の手本である。 練習：ルンゲの関数ルンゲの関数は $y = \frac{1}{1 + 25x^2}$ である。これがアニェージの曲線であることを示し、もとになる円の直径 $a$ を求め、曲線の下の面積全体を計算せよ。 $\frac{1}{1 + 25x^2} = \frac{1/25}{x^2 + 1/25}$ と書く。直径 $a$ のアニェージの曲線は $\frac{a^3}{x^2 + a^2}$ で、$a^2 = \frac{1}{25}$、すなわち $a = \frac{1}{5}$ とすると $\frac{1/125}{x^2 + 1/25}$ になる。これはルンゲの関数のちょうど $\frac{1}{5}$ である。つまりルンゲの関数は、縦方向に 5 倍に引きのばしたヴェルシエラなのである。面積は $5 \cdot \pi a^2 = 5 \cdot \frac{\pi}{25} = \frac{\pi}{5}$。置換 $u = 5x$ を使っても、$\int \frac{dx}{1 + 25x^2} = \frac{1}{5}\int \frac{du}{1 + u^2} = \frac{\pi}{5}$ となる。

October 29, 2026 読んだ
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画像クレジット

歴史的な画像と写真 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを幅 800 ピクセルに縮小し、それ以外の編集はしていません。 マリア・ガエターナ・アニェージの肖像、マリア・ロンギの素描にもとづくエルネスタ・レニャーニ・ビージのビュラン版画（1812）：元のページ · パブリックドメイン。 机に向かうアニェージ、ジャン・フランソワ・ボジオの素描、メトロポリタン美術館：元のページ · CC0。 『解析教程』第一巻の扉（ミラノ、1748）：元のページ · パブリックドメイン。 ヴェルシエラの作図の図版、『解析教程』第一巻（1748）より：元のページ · パブリックドメイン。 ボローニャ大学への任命の文書（1750）：元のページ · パブリックドメイン。 アントニオ・フランチェスコ・フリージ『歴史的頌辞』の肖像（1799）：元のページ · パブリックドメイン。 ピオ・アルベルゴ・トリヴルツィオ、ミラノ、Joaquin008 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 ブレラ宮のアニェージの胸像、ミラノ、Giovanni Dall’Orto 撮影：元のページ · クレジット表示で自由に利用可。 アニェージが亡くなった場所の銘板、ミラノ、Bramfab 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 ブログのために作った図 表紙と四つのインタラクティブな図（ヴェルシエラの作図、接線と変曲点、曲線の下の面積、コーシー分布からの抽出の平均）は、このサイトのオリジナルのイラストで、文字はサイトの各言語の版があります。 記録 ファイル data/agnesi_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 マリア・ガエターナ・アニェージの全トピック · ← マリア・ガエターナ・アニェージの遺産

October 29, 2026 読んだ